资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．若数据，，…，的众数为，方差为，则数据，，…，的众数、方差分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
2．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长都为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是( )
A． B． C．2 D．
3．华为手机锁屏密码是6位数，若密码的前4位数字已经知道，则一次解锁该手机密码的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，等腰与等腰是以点为位似中心的位似图形，位似比为，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，OA交⊙O于点B，AD切⊙O于点D，点C在⊙O上．若∠A＝40°，则∠C为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
6．已知反比例函数y＝﹣的图象上有三个点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3），若x1＞x2＞0＞x3，则下列关系是正确的是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1
7．把抛物线y＝（x﹣1）2+2沿x轴向右平移2个单位后，再沿y轴向下平移3个单位，得到的抛物线解析式为（ ）
A．y＝（x﹣3）2+1 B．y＝（x+1）2﹣1 C．y＝（x﹣3）2﹣1 D．y＝（x+1）2﹣2
8．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A．球体 B．圆锥 C．棱柱 D．圆柱
9． “学雷锋”活动月中，“飞翼”班将组织学生开展志愿者服务活动，小晴和小霞从“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．将抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的表达式为( )
A． B．
C． D．
11．已知x=1是一元二次方程mx2–2=0的一个解，则m的值是（ ）.
A． B．2 C． D．1或2
12．如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则sin∠BDE的值是 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．从实数中，任取两个数，正好都是无理数的概率为________．
14．在四边形ABCD中，AD＝BC，AD∥BC．请你再添加一个条件，使四边形ABCD是菱形．你添加的条件是_________．(写出一种即可)
15．如图，正五边形ABCDE的边长为2，分别以点C、D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点F，则的长为_____．
16．已知关于x方程x2﹣3x+a=0有一个根为1，则方程的另一个根为_____．
17．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边在其坐标轴上，以轴上的某一点为位似中心作矩形，使它与矩形位似，且点，的坐标分别为，，则点的坐标为__________．
18．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°），若∠1=110°，则∠α= ．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，一次函数y=kx+b（k≠0）与反比例函数y=（m≠0）的图象有公共点A（1，a）、D（﹣2，﹣1）．直线l与x轴垂直于点N（3，0），与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B、C．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象回答，x在什么范围内，一次函数的值大于反比例函数的值；
（3）求△ABC的面积．
20．（8分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC，若，且AC=14，求DE的长.
21．（8分）计算：2sin60°+|3﹣|+（π﹣2）0﹣（）﹣1
22．（10分）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等),我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”.
理解：
（1）如图1，已知Rt△ABC在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点 D,使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形（画出1个即可）；
（2）如图2，在四边形ABCD中，，对角线BD平分∠ABC.
求证: BD是四边形ABCD的“相似对角线”；
运用：
（3）如图3，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”，∠EFH＝∠HFG＝.连接EG,若△EFG的面积为，求FH的长.
23．（10分）如图，有四张质地完全相同的卡片，正面分别写有四个角度，现将这四张卡片洗匀后，背面朝上．
(1)若从中任意抽取--张，求抽到锐角卡片的概宰；
(2)若从中任意抽取两张，求抽到的两张角度恰好互补的概率．
24．（10分）如图，直线y1=3x﹣5与反比例函数y2=的图象相交A（2，m），B（n，﹣6）两点，连接OA，OB．
（1）求k和n的值；
（2）求△AOB的面积；
（3）直接写出y1＞ y2时自变量x的取值范围．
25．（12分）如图，点D是∠AOB的平分线OC上任意一点，过D作DE⊥OB于E，以DE为半径作⊙D，
①判断⊙D与OA的位置关系，并证明你的结论．
②通过上述证明，你还能得出哪些等量关系？
26．如图，已知矩形的边，，点、分别是、边上的动点.
（1）连接、，以为直径的交于点.
①若点恰好是的中点，则与的数量关系是______；
②若，求的长；
（2）已知，，是以为弦的圆.
①若圆心恰好在边的延长线上，求的半径：
②若与矩形的一边相切，求的半径.
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】根据众数定义和方差的公式来判断即可，数据，，…，原来数据相比都增加2，,则众数相应的加2，平均数都加2，则方差不变．
【详解】解：∵数据，，…，的众数为，方差为，
∴数据，，…，的众数是a+2，这组数据的方差是b．
故选：C
【点睛】
本题考查了众数和方差，当一组数据都增加时，众数也增加，而方差不变．
2、D
【解析】首先构造以A为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解．
【详解】连接BD，
则BD＝，AD＝2，
则tanA＝＝＝．
故选D．
【点睛】
本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，构造直角三角形是本题的关键．
3、C
【分析】根据排列组合，求出最后两位数字共存在多少种情况，即可求解一次解锁该手机密码的概率．
【详解】根据题意，我们只需解锁后两位密码即可，两位数字的排列有 种可能
∴一次解锁该手机密码的概率是
故答案为：C．
【点睛】
本题考查了排列组合的问题，掌握排列组合的公式是解题的关键．
4、A
【分析】根据位似比为，可得，从而得：CE=DE=12，进而求得OC=6，即可求解．
【详解】∵等腰与等腰是以点为位似中心的位似图形，位似比为，
∴，即：DE=3BC=12，
∴CE=DE=12，
∴，解得：OC=6，
∴OE=6+12=18，
∴点的坐标是：．
故选A．
【点睛】
本题主要考查位似图形的性质，掌握位似图形的位似比等于相似比，是解题的关键．
5、B
【分析】根据切线的性质得到∠ODA＝90°，根据直角三角形的性质求出∠DOA，根据圆周角定理计算即可．
【详解】解：∵切于点
∴
∴
∵
∴
∴
故选：B
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆心与切点的连线垂直切线、圆周角定理以及直角三角形两锐角互余的性质，结合图形认真推导即可得解．
6、B
【分析】根据函数的解析式得出图象所在的象限和增减性，再进行比较即可．
【详解】解：∵反比例函数y＝﹣，
∴函数图象在第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵函数的图象上有三个点（x1，y1），（x2，y2）、（x3，y3），且x1＞x2＞0＞x3，
∴y2＜y1＜0，y3＞0
∴. y2＜y1＜y3
故选：B．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和函数的图象和性质，能灵活运用函数的图象和性质进行推理是解此题的关键．
7、C
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
【详解】把抛物线y＝（x﹣1）2+2沿x轴向右平移2个单位后，再沿y轴向下平移3个单位，得到的抛物线解析式为y＝（x﹣1﹣2）2+2﹣3，即y＝（x﹣3）2﹣1．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
8、D
【解析】试题分析：观察可知，这个几何体的俯视图为圆，主视图与左视图都是矩形，所以这个几何体是圆柱，故答案选D.
考点：几何体的三视图.
9、A
【分析】画树状图（用、、分别表示“图书馆、博物馆、科技馆”三个场馆）展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一场馆的结果数，然后根据概率公式求解.
【详解】画树状图为：（用分别表示“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆）
共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场馆的结果数为3，
所以两人恰好选择同一场馆的概率．
故选A．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率.
10、A
【分析】易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．
【详解】原抛物线的顶点为（0，0），向左平移3个单位，再向上平移1个单位，那么新抛物线的顶点为（−3，1）；
可设新抛物线的解析式为y＝−4（x−h）2＋k，代入得：y＝−4（x＋3）2＋1．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查的是函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定图形的变化是解题的关键．
11、B
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入mx2–2=0可得关于m的一元一次方程，解方程求出m的值即可得答案.
【详解】∵x=1是一元二次方程mx2–2=0的一个解，
∴m-2=0，
解得：m=2，
故选：B.
【点睛】
本题考查一元二次方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为方程求解的问题，能够使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解；熟练掌握定义是解题关键.
12、C
【分析】由矩形的性质可得AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，可得BE＝CE＝BC＝AD，由全等三角形的性质可得AE＝DE，由相似三角形的性质可得AF＝2EF，由勾股定理可求DF的长，即可求sin∠BDE的值．
【详解】∵四边形ABCD是矩形
∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC
∵点E是边BC的中点，
∴BE＝CE＝BC＝AD，
∵AB＝CD，BE＝CE，∠ABC＝∠DCB＝90°
∴△ABE≌△DCE（SAS）
∴AE＝DE
∵AD∥BC
∴△ADF∽△EBF
∴＝2
∴AF＝2EF，
∴AE＝3EF＝DE，
∴ sin∠BDE＝，
故选C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形的运用，熟练运用相似三角形的判定和性质是本题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】画树状图展示所有等可能的结果数，再找出两次选到的数都是无理数的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】画树状图为：
则共有6种等可能的结果，
其中两次选到的数都是无理数有()和()2种，
所以两次选到的数都是无理数的概率．
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
14、此题答案不唯一，如AB=BC或BC=CD或CD=AD或AB=AD或AC⊥BD等．
【分析】由在四边形ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，可判定四边形ABCD是平行四边形，然后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形与对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判定四边形ABCD是菱形，则可求得答案．
【详解】解：如图，
∵在四边形ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴当AB=BC或BC=CD或CD=AD或AB=AD时，四边形ABCD是菱形；
当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形．
故答案为：此题答案不唯一，如AB=BC或BC=CD或CD=AD或AB=AD或AC⊥BD等．
【点睛】
此题考查了菱形的判定定理．此题属于开放题，难度不大，注意掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形与对角线互相垂直的平行四边形是菱形是解此题的关键．
15、
【解析】试题解析：连接CF，DF，
则△CFD是等边三角形，
∴∠FCD=60°，
∵在正五边形ABCDE中，∠BCD=108°，
∴∠BCF=48°，
∴的长=，
故答案为．
16、1
【解析】分析：设方程的另一个根为m，根据两根之和等于-，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
详解：设方程的另一个根为m，
根据题意得：1+m=3，
解得：m=1．
故答案为1．
点睛：本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于-是解题的关键．
17、
【分析】首先求出位似图形的位似中心坐标，然后即可得出点D的坐标.
【详解】连接BF交轴于P，如图所示：
∵矩形和矩形，点，的坐标分别为，，
∴点C的坐标为
∵BC∥GF
∴
∴GP=1，PC=2，OP=3
∴点P即为其位似中心
∴OD=6
∴点D坐标为
故答案为：.
【点睛】
此题主要考查位似图形的性质，熟练掌握，即可解题.
18、．
【解析】试题分析：根据矩形的性质得∠B=∠D=∠BAD=90°，根据旋转的性质得∠D′=∠D=90°，∠4=α，利用对顶角相等得到∠1=∠2=110°，再根据四边形的内角和为360°可计算出∠3=70°，然后利用互余即可得到∠α的度数．
解：如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=∠D=∠BAD=90°，
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AB′C′D′，
∴∠D′=∠D=90°，∠4=α，
∵∠1=∠2=110°，
∴∠3=360°﹣90°﹣90°﹣110°=70°，
∴∠4=90°﹣70°=20°，
∴∠α=20°．
故答案为20°．
三、解答题（共78分）
19、（1）反比例函数的解析式为：y=，一次函数的解析式为：y=x+1；（2）当﹣2＜x＜0或x＞1时，一次函数的值大于反比例函数的值；（3）S△ABC=．
【解析】试题分析：（1）由反比例函数经过点D（﹣2，﹣1），即可求得反比例函数的解析式；然后求得点A的坐标，再利用待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）结合图象求解即可求得x在什么范围内，一次函数的值大于反比例函数的值；
（3）首先过点A作AE⊥x轴交x轴于点E，由直线l与x轴垂直于点N（3，0），可求得点E，B，C的坐标，继而求得答案．
试题解析：（1）∵反比例函数经过点D（﹣2，﹣1），
∴把点D代入y=（m≠0），
∴﹣1=，∴m=2，∴反比例函数的解析式为：y=，
∵点A（1，a）在反比例函数上，∴把A代入y=，得到a==2，∴A（1，2），
∵一次函数经过A（1，2）、D（﹣2，﹣1），
∴把A、D代入y=kx+b （k≠0），得到： ，解得：，
∴一次函数的解析式为：y=x+1；
（2）如图：当﹣2＜x＜0或x＞1时，一次函数的值大于反比例函数的值；
（3）过点A作AE⊥x轴交x轴于点E，
∵直线l⊥x轴，N（3，0），∴设B（3，p），C（3，q），
∵点B在一次函数上，∴p=3+1=4，
∵点C在反比例函数上，∴q=，
∴S△ABC=BC•EN=×（4﹣）×（3﹣1）=．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
20、DE =8.
【分析】先根据角平分线的性质和平行线的性质证得，再根据平行线分线段成比例即可得.
【详解】如图，CD平分
又
，即
故DE的长为8.
【点睛】
本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、平行线分线段成比例，通过等角对等边证出是解题关键.
21、1
【分析】根据特殊角的三角函数值、零指数幂的运算法则、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质进行化简，计算即可．
【详解】原式=1×+3﹣+1﹣1=1．
【点睛】
此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
22、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）4
【分析】（1）根据“相似对角线”的定义，利用方格纸的特点可找到D点的位置.
（2）通过导出对应角相等证出∽，根据四边形ABCD的“相似对角线”的定义即可得出BD是四边形ABCD的“相似对角线”.
（3）根据四边形“相似对角线”的定义，得出∽，利用对应边成比例，结合三角形面积公式即可求.
【详解】解：（1）如图1所示.
（2）证明：
平分,
∽
∴BD是四边形的“相似对角线”.
(3)是四边形的“相似对角线”，
三角形与三角形相似.
又
∽
过点作垂足为
则
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质的综合应用及解直角三角形，对于这种新定义阅读材料题目读,懂题意是解答此题的关键.
23、（1）；（2）．
【分析】（1）用锐角卡片的张数除以总张数即可得出答案；
（2）根据题意列出图表得出所有情况数和两张角度恰好互补的张数，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】解:(1)一共有四张卡片，其中写有锐角的卡片有2张，因此， (抽到锐角卡片)= =；
(2)列表如下:
36°
54°
144°
126°
36°
(54°，36°)
(144°，36°)
(126°，36°)
54°
(36°，54°)
(144°，54°)
(126°，54°)
144°
(36°，144°)
(54°，144°)
(126°，144°)
126°
(36°，126°)
(54°，126°)
(144°，126°)
一共有12种等可能结果，其中符合要求的有4种结果，
即
因此， (抽到的两张角度恰好互补) =．
【点睛】
本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24、（1）k=3，n=；（1）；（3） 或 x＞1．
【分析】（1）把A，B的坐标代入直线的解析式求出m，n的值，再把B点坐标代入反比例函数解析式求出k的值；
（1）先求出直线与x轴、y轴的交点坐标，再求出即可．
（3）由图象可知取一次函数图象在反比例函数图象上方的x的取值范围即可．
【详解】解：（1）∵点B（n，﹣6）在直线y=3x﹣5上．
∴-6=3n-5，解得：n=．
∴B（，-6）；
∵反比例函数的图象也经过点B（，-6），
∴k-1=-6×()=1，解得：k=3；
（1）设直线y=3x﹣5分别与x轴，y轴相交于点C，点D，
当y=0时，即3x﹣5=0，x=，
∴OC=，
当x=0时，y=3×0-5=-5，
∴OD=5，
∵点A（1，m）在直线y=3x﹣5上，
∴m=3×1-5=1，即A（1，1）．
．
（3）由图象可知y1＞ y1时自变量x的取值范围为： 或 x＞1．
【点睛】
本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点问题、函数图象上点的坐标特征等知识点，能求出反比例函数的解析式是解此题的关键．
25、（1）⊙D与OA的位置关系是相切 ，证明详见解析；（2）∠DOA=∠DOE, OE=OF.
【分析】
①首先过点D作DF⊥OA于F，由点D是∠AOB的平分线OC上任意一点，DE⊥OB，根据角平分线的性质，即可得DF=DE，则可得D到直线OA的距离等于⊙D的半径DE，则可证得⊙D与OA相切．
②根据切线的性质解答即可．
【详解】
解：①⊙D与OA的位置关系是相切 ，
证明：过D作DF⊥OA于F，
∵点D是∠AOB的平分线OC上任意一点，DE⊥OB，
∴DF=DE，
即D到直线OA的距离等于⊙D的半径DE，
∴⊙D与OA相切．
②∠DOA=∠DOE，OE=OF．
26、（1）①；②1.5；（2）①5；②、，、5.
【解析】（1）①根据直径所对的圆周角是直角判断△APQ为等腰三角形，结合等腰三角形的两底角相等和圆周角定理证明；②证明△PBQ∽△QBA，由对应边成比例求解；
（2）①画出图形，由勾股定理列方程求解；②分与矩形的四边分别相切，画出图形，利用切线性质，由勾股定理列方程求解.
【详解】解：（1）①如图，PQ是直径，E在圆上，
∴∠PEQ=90°，
∴PE⊥AQ,
∵AE=EQ,
∴PA=PQ,
∴∠PAQ=∠PQA,
∴∠QPB=∠PAQ+∠PQA=2∠AQP,
∵∠QPB=2∠AQP.
\
②解：如图，∵BE=BQ=3，
∴∠BEQ=∠BQE,
∵∠BEQ=∠BPQ,
∵∠PBQ=∠QBA,
∴△PBQ∽△QBA,
∴ ,
∴,
∴BP=1.5;
（2）①如图， BP=3，BQ=1，设半径OP=r,
在Rt△OPB中，根据勾股定理得，PB2+OB2=OP2
∴32+(r-1)2=r2，
∴r=5,
∴的半径是5.
②如图，与矩形的一边相切有4种情况，
如图1，当与矩形ABCD边BC相切于点Q，过O作OK⊥AB于K,则四边形OKBQ为矩形，
设OP=OQ=r,则PK=3x,
由勾股定理得，r2=12+(3-r)2,
解得，r=,
∴半径为.
如图2，当与矩形ABCD边AD相切于点N，延长NO交BC于L,则OL⊥BC,过P作PS⊥NL于S，
设OS=x，则ON=OP=OQ=3+x，设PS=BL=y,
由勾股定理得， ，
解得 （舍去），，
∴ON=,
∴半径为.
如图3，当与矩形ABCD边CD相切于点M，延长MO交AB于R,则OR⊥AB,过O作OH⊥BC于H，
设OH=BR=x，设HQ=y, 则OM=OP=OQ=4-1-y=3-y，
由勾股定理得， ，
解得 （舍去），，
∴OM=,
∴半径为.
如图4，当与矩形ABCD边AB相切于点P，过O作OG⊥BC于G,则四边形AFCG为矩形，
设OF=CG=x，，则OP=OQ=x+4,
由勾股定理得(x+4)2=32+(x+3)2,
解得，x=1,
∴OP=5,
∴半径为5.
综上所述，若与矩形的一边相切，为的半径，，，5.
【点睛】
本题考查圆的相关性质，涉及圆周角定理，垂径定理，切线的性质等，综合性较强，利用分类思想画出对应图形，化繁为简是解答此题的关键.
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