资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．在下列命题中，真命题是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．同位角相等
C．三角形的外角和是 D．角平分线上的点到角的两边相等
2．对一批衬衣进行抽检，得到合格衬衣的频数表如下，若出售1200件衬衣，则其中次品的件数大约是（ ）
抽取件数（件）
50
100
150
200
500
800
1000
合格频数
48
98
144
193
489
784
981
A．12 B．24 C．1188 D．1176
3．如图，已知∥∥，，那么的值是（ ）
A． B． C． D．2
4．下列四个几何体中，主视图是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．方程无实数解
B．在某交通灯路口，遇到红灯
C．若任取一个实数a，则
D．买一注福利彩票，没有中奖
6．下列四组、、的线段中，不能组成直角三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
7．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED＝20°，则∠BCD的度数为( )
A．100° B．110° C．115° D．120°
8．把两个同样大小的含45°角的三角板如图所示放置，其中一个三角板的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点，且另三个锐角顶点在同一直线上，若，则的长是（ ）
A． B． C．0.5 D．
9．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE与BC不平行，那么下列条件中，不能判断△ADE∽△ACB的是（ ）
A．∠ADE＝∠C B．∠AED＝∠B C． D．
10．二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，在中，，，点为边上一点，作于点，若，，则的值为____.
12．已知二次函数(m为常数)，若对于一切实数m和均有y≥k，则k的最大值为____________.
13．剪掉边长为2的正方形纸片4个直角，得到一个正八边形，则这个正八边形的边长为____________.
14．如图，在中，，，，点为边上一点，，将绕点旋转得到（点、、分别与点、、对应），使，边与边交于点，那么的长等于__________.
15．如图，菱形的边长为1，，以对角线为一边，在如图所示的一侧作相同形状的菱形，再依次作菱形，菱形，……，则菱形的边长为_______．
16．已知点B位于点A北偏东30°方向，点C位于点A北偏西30°方向，且AB=AC=8千米，那么 BC=________千米．
17．已知一元二次方程有一个根为，则另一根为________．
18．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD=________.
三、解答题(共66分)
19．（10分）解方程：
（1）
（2）
20．（6分）已知⊙中，为直径，、分别切⊙于点、．
（1）如图①，若，求的大小；
（2）如图②，过点作∥，交于点，交⊙于点，若，求的大小．
21．（6分）组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，则比赛组织者应邀请多少个队参赛？
22．（8分）解方程：2x2+3x﹣1=1．
23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝30°．
（1）求∠BAD的度数；
（2）若AD＝，求DB的长．
24．（8分）如图，四边形是平行四边形，，，点为边的中点，点在的延长线上，且．点在线段上，且，垂足为．
（1）若，且，，求的长；
（2）求证：．
25．（10分）如图，在中，点在边上，点在边上，且，．
（1）求证：∽；
（2）若，，求的长．
26．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，点D是半圆的中点，连接CD交OB于点E，点F是AB延长线上一点，CF＝EF．
（1）求证：FC是⊙O的切线；
（2）若CF＝5，，求⊙O半径的长．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】根据对顶角的定义、同位角的定义、三角形的外角和、角平分线的性质逐项判断即可.
【详解】A、由对顶角的定义“如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角”可得，对顶角必相等，但相等的角未必是对顶角，此项不是真命题
B、只有当两直线平行，同位角必相等，此项不是真命题
C、根据内角和定理可知，任意多边形的外角和都为，此项是真命题
D、由角平分线的性质可知，角平分线上的点到角的两边距离相等，此项不是真命题
故选：C.
【点睛】
本题考查了对顶角的定义、同位角的定义、三角形的外角和、角平分线的性质，熟记各定义和性质是解题关键.
2、B
【分析】由表中数据可判断合格衬衣的频率稳定在0.98，于是利于频率估计概率可判断任意抽取一件衬衣是合格品的概率为0.98，从而得出结论．
【详解】解：根据表中数据可得任抽取一件衬衣是合格品的概率为0.98，次品的概率为0.02，
出售1200件衬衣，其中次品大约有1200×0.02=24（件），
故选：B．
【点睛】
此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
3、A
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到AC：CE=BD：DF=1：2，然后利用比例性质即可得出答案进行选择．
【详解】解：∵AB∥CD∥EF，
∴AC：CE=BD：DF，
∵，
∴AC：CE=BD：DF=1：2，即CE=2AC，
∴AC：AE=1：3=.
故选A.
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例即三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
4、B
【解析】主视图是三角形的一定是一个锥体，只有B是锥体．
故选B．
5、A
【分析】根据必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件即可得出答案．
【详解】解：A、方程2x2+3＝0的判别式△＝0﹣4×2×3＝﹣24＜0，因此方差2x2+3＝0无实数解是必然事件，故本选项正确；
B、在某交通灯路口，遇到红灯是随机事件，故本选项错误；
C、若任取一个实数a，则（a+1）2＞0是随机事件，故本选项错误；
D、买一注福利彩票，没有中奖是随机事件，故本选项错误；
故选：A．
【点睛】
本题主要考察随机事件，解题关键是熟练掌握随机事件的定义.
6、B
【分析】根据勾股定理的逆定理判断三角形三边是否构成直角三角形，依次计算判断得出结论．
【详解】A.∵，，
∴，A选项不符合题意．
B.∵，，
∴，B选项符合题意．
C.∵，，
∴，C选项不符合题意．
D.∵，
∴，D选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查三角形三边能否构成直角三角形，熟练逆用勾股定理是解题关键．
7、B
【分析】连接AD，BD，由圆周角定理可得∠ABD＝20°，∠ADB＝90°，从而可求得∠BAD＝70°，再由圆的内接四边形对角互补得到∠BCD=110°.
【详解】如下图，连接AD，BD，
∵同弧所对的圆周角相等，∴∠ABD=∠AED＝20°，
∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°-20°=70°，
∴∠BCD=180°-70°=110°.
故选B
【点睛】
本题考查圆中的角度计算，熟练运用圆周角定理和内接四边形的性质是关键.
8、D
【分析】过点D作BC的垂线DF，垂足为F，由题意可得出BC=AD=2，进而得出DF=BF=1，利用勾股定理可得出AF的长，即可得出AB的长．
【详解】解：过点D作BC的垂线DF，垂足为F，
由题意可得出，BC=AD=2，
根据等腰三角形的三线合一的性质可得出，DF=BF=1
利用勾股定理求得：
∴
故选：D．
【点睛】
本题考查的知识点是等腰直角三角形的性质，灵活运用等腰直角三角形的性质是解此题的关键．
9、C
【解析】根据已知条件知∠A＝∠A，再添加选项中的条件依次判断即可得到答案.
【详解】解：∵∠A＝∠A，
∴添加∠ADE＝∠C，△ADE∽△ACB，故A正确；
∴添加∠AED＝∠B，△ADE∽△ACB，故B正确；
∴添加，△ADE∽△ACB，故D正确；
故选：C．
【点睛】
此题考查相似三角形的判定定理，已知一个角相等时，再确定另一组角相等或是构成已知角的两边对应成比例，即可证明两个三角形相似.
10、D
【分析】根据抛物线的图像，判断出的符号，从而确定一次函数、反比例函数的图像的位置即可．
【详解】解：由抛物线的图像可知：横坐标为1的点，即在第四象限，因此；
∴双曲线的图像分布在二、四象限；
由于抛物线开口向上，∴，
∵对称轴为直线，∴；
∵抛物线与轴有两个交点，∴；
∴直线经过一、二、四象限；
故选：．
【点睛】
本题主要考查二次函数，一次函数以及反比例函数的图象与解析式的系数关系，熟练掌握函数解析式的系数对图像的影响，是解题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】作辅助线证明四边形DFCE是矩形,得DF=CE,根据角平分线证明∠ACD=∠CDE即可解题.
【详解】解：过点D作DF⊥AC于F,
∵，
∴DF=3,
∵,
∴四边形DFCE是矩形,
CE=DF=3,
在Rt△DEC中,tan∠CDE==,
∵∠ACD=∠CDE,
∴=.
【点睛】
本题考查了三角函数的正切值求值,矩形的性质,中等难度, 根据角平分线证明∠ACD=∠CDE是解题关键.
12、
【分析】因为二次函数系数大于0，先用含有m的代数式表示出函数y的最小值，得出，再求出于m的函数的最小值即可得出结果.
【详解】解： ,
,
关于m的函数为,
,
∴,
∴k的最大值为.
【点睛】
本题考查二次函数的最值问题，先将函数化为顶点式，即可得出最值.
13、
【分析】设腰长为x，则正八边形边长2-2x，根据勾股定理列方程，解方程即可求出正八边形的边．
【详解】割掉的四个直角三角形都是等腰直角三角形，
设腰长为x，则正八边形边长2-2x,
，
（舍），，
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了正方形和正八边形的性质以及勾股定理的运用，解题的关键是设出未知数用列方程的方法解决几何问题．
14、
【分析】如图，作PH⊥AB于H．利用相似三角形的性质求出PH，再证明四边形PHGC′是矩形即可解决问题．
【详解】如图，作PH⊥AB于H．
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，sinB=，
∴=，
∴AB=13，BC==12，
∵PC=3，
∴PB=9，
∵∠BPH∽△BAC，
∴ ，
∴，
∴PH=，
∵AB∥B′C′，
∴∠HGC′=∠C′=∠PHG=90°，
∴四边形PHGC′是矩形，
∴CG′=PH=，
∴A′G=5-= ，
故答案为．
【点睛】
此题考查旋转变换，平行线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15、
【解析】过点作垂直OA的延长线与点，根据“直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半”求出，同样的方法求出和的长度，总结规律即可得出答案.
【详解】
过点作垂直OA的延长线与点
根据题意可得，，
则，∴
在RT△中，
又为菱形的对角线
∴，故菱形的边长为；
过点作垂直的延长线与点
则，
∴，∴
在RT△中，
又为菱形的对角线
∴，故菱形的边长为；
过点作垂直的延长线与点
则，
∴，∴
在RT△中，
又为菱形的对角线
∴，故菱形的边长为；
……
∴菱形的边长为；
故答案为.
【点睛】
本题考查的是菱形，难度较高，需要熟练掌握“在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半”这一基本性质.
16、8
【解析】因为点B位于点A北偏东30°方向,点C位于点A北偏西30°方向,所以∠BAC=60°,因为AB=AC,所以△ABC是等边三角形,所以BC=AB=AC=8千米,故答案为:8.
17、4
【分析】先把x=2代入一元二次方程，即可求出c，然后根据一元二次方程求解即可.
【详解】解：把x=2代入得
4﹣12+c=0
c=8,
（x-2）（x-4）=0
x1=2，x2=4,
故答案为4.
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程，解题的关键是求出c的值.
18、1
【解析】首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACO∽△BKO，然后由相似三角形的对应边成比例，易得KO：CO=1：3，即可得OF：CF=OF：BF=1：1，在Rt△OBF中，即可求得tan∠BOF的值，继而求得答案．
【详解】如图，连接BE，
∵四边形BCEK是正方形，
∴KF=CF=CK，BF=BE，CK=BE，BE⊥CK，
∴BF=CF，
根据题意得：AC∥BK，
∴△ACO∽△BKO，
∴KO：CO=BK：AC=1：3，
∴KO：KF=1：1，
∴KO=OF=CF=BF，
在Rt△PBF中，tan∠BOF==1，
∵∠AOD=∠BOF，
∴tan∠AOD=1．
故答案为1
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．
三、解答题(共66分)
19、（1），；（2）x1=2，x2=-1．
【分析】（1）方程移项后，利用完全平方公式配方，开方即可求出解；
（2）提取公因式化为积的形式，然后利用两因式相乘积为0，两因式中至少有一个为0，转化为两个一元一次方程来求解．
【详解】解：（1）方程整理得：，
配方得：，
即，
开方得：，
解得：，；
（2）方程变形得：，
即，
即或，
解得．
【点睛】
本题考查解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法，并能结合实际情况选择合适的方法是解决此题的关键．
20、（1）；（2）
【分析】（1）根据切线性质求出∠OBM=∠OAM=90°，根据圆周角定理求出∠COB，求出∠BOA，即可求出答案；
（2）连接AB、AD，得出平行四边形，推出MB=AD，推出AB=AD，求出等边三角形AMB，即可得出答案．
【详解】(1)连接OB，
∵MA、MB分别切⊙O于A. B，
∴∠OBM=∠OAM=90°，
∵弧BC对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC，∠BAC=25°，
∴∠BOC=2∠BAC=50°，
∴∠BOA=180°−50°=130°，
∴∠AMB=360°−90°−90°−130°=50°.
(2)连接AD，AB，
∵BD∥AM，DB=AM，
∴四边形BMAD是平行四边形，
∴BM=AD，
∵MA切⊙O于A，
∴AC⊥AM，
∵BD∥AM，
∴BD⊥AC，
∵AC过O，
∴BE=DE，
∴AB=AD=BM，
∵MA、MB分别切⊙O于A. B，
∴MA=MB，
∴BM=MA=AB，
∴△BMA是等边三角形，
∴∠AMB=60°.
【点睛】
本题考查切线的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握切线的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质.
21、比赛组织者应邀请8个队参赛.
【解析】本题可设比赛组织者应邀请x队参赛，则每个队参加（x-1）场比赛，则共有场比赛，可以列出一个一元二次方程，求解，舍去小于0的值，即可得所求的结果．
解：设比赛组织者应邀请个队参赛.依题意列方程得：
，
解之，得，.
不合题意舍去，.
答：比赛组织者应邀请8个队参赛.
“点睛”本题是一元二次方程的求法，虽然不难求出x的值，但要注意舍去不合题意的解．
22、．
【分析】找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解．
【详解】解：这里a=2，b=3，c=﹣1，
∵△=9+8=17，
∴x=．
考点：解一元二次方程-公式法．
23、（1）60°；（2）3
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠B＝∠ACD＝30°，然后利用互余可计算出∠BAD的度数；
（2）利用含30度的直角三角形三边的关系求解．
【详解】解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝∠ACD＝30°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°；
（2）在Rt△ADB中，．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
24、（1）；（2）证明见解析
【分析】（1）由勾股定理求出BF，进而得出AE的长，再次利用勾股定理得出AB的长，最后根据平行四边形的性质与勾股定理求出AD的长；
（2）设，根据勾股定理求出CH的长，利用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得出EH的长，进而得出CE的长，根据得出，利用勾股定理求出BG，GH的长，根据求出BF，进而得证．
【详解】（1）解：∵，，且，，
∴由勾股定理知，，
∴，
∴由勾股定理知，，
∵四边形是平行四边形，，，
∴由勾股定理知，；
（2）证明：∵点为边的中点，，设，
∴，由勾股定理知，，
∵，
∴是斜边上的中线，
∴，
∴，
∵，即，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴在中，，
∴解得，，，
∵易证，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等，熟练掌握相似三角形的判定与勾股定理是解题的关键．
25、（1）证明见解析；（1）AB=1．
【分析】（1）由题意根据相似三角形的判定定理即可证明∽；
（1）根据题意利用相似三角形的相似比，即可分析求解.
【详解】解：（1）证明：∵，.
∴.
∵
∴ ，
∵为公共角，
∴∽.
（1）∵∽
∴
∴
∴（-1舍去）
∴.
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定和性质，能够证得∽是解答此题的关键．
26、（1）证明见解析；（2）AO＝.
【分析】（1）连接OD，利用点D是半圆的中点得出∠AOD与∠BOD是直角，之后通过等量代换进一步得出∠FCE+∠OCD=∠OED+∠ODC=90°从而证明结论即可；
（2）通过得出＝，再证明△ACF∽△CBF从而得出AF＝10，之后进一步求解即可.
【详解】证明：连接OD，
∵点D是半圆的中点，
∴∠AOD=∠BOD=90°.
∴∠ODC+∠OED=90°.
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD.
又∵CF=EF，
∴∠FCE=∠FEC.
∵∠FEC=∠OED，
∴∠FCE=∠OED.
∴∠FCE+∠OCD=∠OED+∠ODC=90°.
即FC⊥OC.
∴FC是⊙O的切线.
（2）∵tanA＝，
∴在Rt△ABC中，＝.
∵∠ACB＝∠OCF＝90°，
∴∠ACO＝∠BCF＝∠A.
∴△ACF∽△CBF，
∴＝＝＝.
∴AF＝10.
∴CF2＝BF·AF.
∴BF＝.
∴AO＝＝.
【点睛】
本题主要考查了圆的切线证明与综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
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