资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．在平面直角坐标系中，点P（﹣1，2）关于原点的对称点的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣2） B．（1，﹣2） C．（2，﹣1） D．（﹣2，1）
2．如果点A（﹣5，y1），B（﹣，y2），C（，y3），在双曲线y＝上（k＜0），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y1＜y3＜y2
3．如图，在边长为1的小正方形网格中，点都在这些小正方形的顶点上，则的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
4．在一个布袋中装有红、白两种颜色的小球，它们除颜色外没有任何其他区别．其中红球若干，白球5个，袋中的球已搅匀．若从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，则红球的个数是（ ）
A．4个 B．5个 C．不足4个 D．6个或6个以上
5．为了估计湖里有多少条鱼，小华从湖里捕上条并做上标记，然后放回湖里，经过一段时间待带标记的鱼完全混合于鱼群中后，第二次捕得条，发现其中带标记的鱼条，通过这种调查方式，小华可以估计湖里有鱼（ ）
A．条 B．条 C．条 D．条
6．甲、乙两人参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一项，那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．下列美丽的壮锦图案是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
9．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．掷一次骰子，向上一面的点数是6
B．13个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月
C．射击运动员射击一次，命中靶心
D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
10．河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为
A．12米 B．4米 C．5米 D．6米
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，等边边长为2，分别以A，B，C为圆心，2为半径作圆弧，这三段圆弧围成的图形就是著名的等宽曲线——鲁列斯三角形，则该鲁列斯三角形的面积为___________．
12．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上，连接CE，则CE的长是________．
13．如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC的中点恰好与D点重合，AB'交CD于点E，若AB＝3cm，则线段EB′的长为_____．
14．如图，AC为圆O的弦，点B在弧AC上，若∠CBO=58°，∠CAO=20°，则∠AOB的度数为___________
15．若两个相似三角形的面积之比为1:4，则它们对应角的角平分线之比为___．
16．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点，若AM＝2，则线段ON的长为_____．
17．如图，已知直线l：y＝﹣x+4分别与x轴、y轴交于点A，B，双曲线（k＞0，x＞0）与直线l不相交，E为双曲线上一动点，过点E作EG⊥x轴于点G，EF⊥y轴于点F，分别与直线l交于点C，D，且∠COD＝45°，则k＝_____．
18．如图，正方形的顶点分别在轴和轴上，边的中点在轴上，若反比例函数的图象恰好经过的中点，则的长为__________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图①，在直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以OA为边在第一象限内作正方形OABC，点D是x轴正半轴上一动点（OD＞1），连接BD，以BD为边在第一象限内作正方形DBFE，设M为正方形DBFE的中心，直线MA交y轴于点N．如果定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形．
（1）试找出图1中的一个损矩形；
（2）试说明（1）中找出的损矩形的四个顶点一定在同一个圆上；
（3）随着点D位置的变化，点N的位置是否会发生变化？若没有发生变化，求出点N的坐标；若发生变化，请说明理由；
（4）在图②中，过点M作MG⊥y轴于点G，连接DN，若四边形DMGN为损矩形，求D点坐标．
20．（6分）如图，已知直线的函数表达式为，它与轴、轴的交点分别为两点．
（1）若的半径为2，说明直线与的位置关系；
（2）若的半径为2，经过点且与轴相切于点，求圆心的坐标；
（3）若的内切圆圆心是点，外接圆圆心是点，请直接写出的长度．
21．（6分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且．点在第四象限且在抛物线上．
（1）如（图1），当四边形面积最大时，在线段上找一点，使得最小，并求出此时点的坐标及的最小值；
（2）如（图2），将沿轴向右平移2单位长度得到，再将绕点逆时针旋转度得到，且使经过、的直线与直线平行（其中），直线与抛物线交于、两点，点在抛物线上．在线段上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（8分）矩形中，线段绕矩形外一点顺时针旋转，旋转角为，使点的对应点落在射线上，点的对应点在的延长线上．
（1）如图1，连接、、、，则与的大小关系为______________．
（2）如图2，当点位于线段上时，求证：；
（3）如图3，当点位于线段的延长线上时，，，求四边形的面积．
23．（8分）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，﹣3），点B（﹣1，﹣3），点C（﹣1，﹣1）．
（1）画出△ABC；
（2）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A1点的坐标： ；
（3）以O为位似中心，在第一象限内把△ABC扩大到原来的两倍，得到△A2B2C2，并写出A2点的坐标： ．
24．（8分）一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标注数字1，2，3，每个小球除所标注数字不同外，其余均相同．小勇先从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后放回并搅匀，再次从口袋中随机摸出一个小球．用画树状图（或列表）的方法，求小勇两次摸出的小球所标数字之和为3的概率．
25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．
（1）求证：OP⊥CD；
（2）连接AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，OA＝2，求OP的长．
26．（10分）某超市销售一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱36元，每月可销售60箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱，设每箱牛奶降价x元（x为正整数），每月的销量为y箱．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【解析】用关于原点的对称点的坐标特征进行判断即可.
【详解】点P(-1,2)关于原点的对称点的坐标为(1,-2),
故选: B.
【点睛】
根据两个点关于原点对称时, 它们的坐标符号相反.
2、A
【分析】先根据k＜0可判断出函数图象所在的象限及其增减性，再由各点横坐标的值即可得出结论．
【详解】∵双曲线y＝上（k＜0），
∴函数图象的两个分支分别位于二四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．
∵−5＜−＜0，0＜，
∴点A（−5，y1），B（−，y1）在第二象限，点C（，y3）在第四象限，
∴y3＜y1＜y1．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
3、D
【分析】由题意可知AD=2，BD=3，利用勾股定理求出AB的长，再根据余弦的定义即可求出答案．
【详解】解：如下图，
根据题意可知，AD=2，BD=3，
由勾股定理可得：，
∴的余弦值是：．
故选：D．
【点睛】
本题考查的知识点是利用网格求角的三角函数值，解此题的关键是利用勾股定理求出AB的长．
4、D
【解析】由取出红球的可能性大知红球的个数比白球个数多，据此可得答案．
【详解】解：∵袋子中白球有5个，且从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，
∴红球的个数比白球个数多，
∴红球个数满足6个或6个以上，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查可能性大小，只要在总情况数目相同的情况下，比较其包含的情况总数即可．
5、B
【分析】利用样本出现的概率估计整体即可.
【详解】设湖里有鱼x条
根据题意有
解得，
经检验，x=800是所列方程的根且符合实际意义，
故选B
【点睛】
本题主要考查用样本估计整体，找到等量关系是解题的关键.
6、B
【解析】试题解析：可能出现的结果
小明
打扫社区卫生
打扫社区卫生
参加社会调查
参加社会调查
小华
打扫社区卫生
参加社会调查
参加社会调查
打扫社区卫生
由上表可知，可能的结果共有种，且都是等可能的，其中两人同时选择“参加社会调查”的结果有种，
则所求概率
故选B.
点睛：求概率可以用列表法或者画树状图的方法.
7、B
【分析】首先根据已知等式得出，然后代入所求式子，即可得解.
【详解】∵
∴
∴
故答案为B.
【点睛】
此题主要考查利用已知代数式化为含有同一未知数的式子，即可解题.
8、A
【解析】根据中心对称图形的定义逐项进行判断即可得.
【详解】A、是中心对称图形，故此选项正确；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是中心对称图形，故此选项错误，
故选A．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键；把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.
9、B
【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，即发生的概率是1的事件．
【详解】解：A．掷一次骰子，向上一面的点数是6，属于随机事件；
B.13个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月，属于必然事件；
C．射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事件；
D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件；
故选B．
【点睛】
此题主要考查事件发生的概率，解题的关键是熟知必然事件的定义.
10、A
【分析】试题分析：在Rt△ABC中，BC=6米，，∴AC=BC×=6（米）.
∴（米）.故选A.
【详解】请在此输入详解！
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】求出一个弓形的面积乘3再加上△ABC的面积即可．
【详解】
过A点作AD⊥BC，
∵△ABC是等边三角形，边长为2，
∴AC=BC=2，CD=BC=1
∴AD=
∴弓形面积=
.
故答案为：
【点睛】
本题考查的是阴影部分的面积，掌握扇形的面积计算及等边三角形的面积计算是关键．
12、
【解析】解：连接AG，由旋转变换的性质可知，∠ABG=∠CBE，BA=BG=5，BC=BE，由勾股定理得，CG==4，
∴DG=DC﹣CG=1，则AG==，
∵ ，∠ABG=∠CBE，
∴△ABG∽△CBE，
∴，
解得，CE=，
故答案为．
【点睛】
本题考查的是旋转变换的性质、相似三角形的判定和性质，掌握勾股定理、矩形的性质、旋转变换的性质是解题的关键．
13、1cm
【分析】根据旋转后AC的中点恰好与D点重合，利用旋转的性质得到直角三角形ACD中，∠ACD＝30°，再由旋转后矩形与已知矩形全等及矩形的性质得到∠DAE为30°，进而求出AD，DE，AE的长，则EB′的长可求出．
【详解】解：由旋转的性质可知：AC＝AC'，
∵D为AC'的中点，
∴AD＝AC，
∵ABCD是矩形，
∴AD⊥CD，
∴∠ACD＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠CAB＝30°，
∴∠C'AB'＝∠CAB＝30°，
∴∠EAC＝30°，
∴∠DAE＝30°，
∵AB＝CD＝3cm，
∴AD＝cm，
∴DE＝1cm，
∴AE＝2cm，
∵AB＝AB'＝3cm，
∴EB'＝3﹣2＝1cm．
故答案为：1cm．
【点睛】
此题考查了旋转的性质，含30度直角三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．
14、76°
【分析】如图，连接OC．根据∠AOB＝2∠ACB，求出∠ACB即可解决问题．
【详解】如图，连接OC．
∵OA＝OC＝OB，
∴∠A＝∠OCA＝20°，∠B＝∠OCB＝58°，
∴∠ACB＝∠OCB−∠OCA＝58°−20°＝38°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝76°，
故答案为76°．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15、1：1
【分析】根据相似三角形的性质进行分析即可得到答案．
【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为1：4，
∴它们对应角的角平分线之比为1：=1：1，
故答案为：1：1．
【点睛】
本题考查对相似三角形性质的理解．
（1）相似三角形周长的比等于相似比．
（1）相似三角形面积的比等于相似比的平方．
（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
16、1．
【分析】作MH⊥AC于H，如图，根据正方形的性质得∠MAH＝45°，则△AMH为等腰直角三角形，再求出AH，MH，MB，CH，CO，然后证明△CON∽△CHM，再利用相似三角形的性质可计算出ON的长．
【详解】解：作MH⊥AC于H，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠MAH＝45°，
∴△AMH为等腰直角三角形，
∴AH＝MH＝AM＝×2＝，
∵CM平分∠ACB，MH⊥AC，MB⊥BC
∴BM＝MH＝，
∴AB＝2+，
∴AC＝AB＝2+2，
∴OC＝AC＝+1，CH＝AC﹣AH＝2+2﹣＝2+，
∵BD⊥AC，
∴ON∥MH，
∴△CON∽△CHM，
∴＝，即＝，
∴ON＝1．
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质及相似三角形的判定及性质，掌握正方形的性质及相似三角形的性质是解题的关键．
17、1
【解析】证明△ODA∽△CDO，则OD2＝CD•DA，而则OD2＝（4﹣n）2+n2＝2n2﹣1n+16，CD＝（m+n﹣4），DA＝n，即可求解．
【详解】解：点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，4），
即：OA＝OB，∴∠OAB＝45°＝∠COD，
∠ODA＝∠ODA，∴△ODA∽△CDO，
∴OD2＝CD•DA，
设点E（m，n），则点D（4﹣n，n），点C（m，4﹣m），
则OD2＝（4﹣n）2+n2＝2n2﹣1n+16，
CD＝（m+n﹣4），DA＝n，
即2n2﹣1n+16＝（m+n﹣4）×n，
解得：mn＝1＝k，
故答案为1．
【点睛】
本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，涉及到三角形相似、一次函数等知识点，关键是通过设定点E的坐标，确定相关线段的长度，进而求解．
18、
【分析】过点E作EG⊥x轴于G，设点E的坐标为（），根据正方形的性质和“一线三等角”证出△CEG≌△FCO，可得EG=CO=，CG=FO=OG－OC=，然后利用等角的余角相等，可得∠BAF=∠FCO，先求出tan∠BAF，即可求出tan∠FCO，即可求出x的值，从而求出OF和OC，根据勾股定理和正方形的性质即可求出CF、BF、AB、AF，从而求出OA.
【详解】解：过点E作EG⊥x轴于G，如下图所示
∵反比例函数的图象过点，设点E的坐标为（）
∴OG=x，EG=
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，∠ABC=∠BCD=90°
∵点E、F分别是CD、BC的中点
∴EC=CD=BC=CF
∵∠CEG＋∠ECG=90°，∠FCO＋∠ECG=90°，
∴∠CEG=∠FCO
在△CEG和△FCO中
∴△CEG≌△FCO
∴EG=CO=，CG=FO=OG－OC=
∵∠BAF＋∠AFB=90°，∠FCO＋∠COF=90°，∠AFB=∠COF
∴∠BAF=∠FCO
在Rt△BAF中，tan∠BAF=
∴tan∠FCO=tan∠BAF=
在Rt△FCO中，tan∠FCO=
解得：
则OF==，OC=
根据勾股定理可得：CF=
∴BF=CF=，AB=BC=2 CF=，
根据勾股定理可得：AF=
∴OA=OF＋AF=
故答案为：.
【点睛】
此题考查的是反比例函数、正方形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数和勾股定理，掌握利用反比例函数解析式设图象上点坐标、作辅助线构造全等三角形和等角的锐角三角函数相等是解决此题的关键.
三、解答题(共66分)
19、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）N点的坐标为（0，﹣1）；（4）D点坐标为（3，0）．
【解析】试题分析：（1）根据题中给出的损矩形的定义，从图找出只有一组对角是直角的四边形即可；
（2）证明四边形BADM四个顶点到BD的中点距离相等即可；
（3）利用同弧所对的圆周角相等可得∠MAD=∠MBD，进而得到OA=ON，即可求得点N的坐标；
（4）根据正方形的性质及损矩形含有的直角，利用勾股定理求解．
(1)四边形ABMD为损矩形；
(2)取BD中点H，连结MH，AH
∵四边形OABC，BDEF是正方形
∴△ABD，△BDM都是直角三角形
∴HA=BD HM=BD
∴HA=HB=HM=HD=BD
∴损矩形ABMD一定有外接圆
(3)∵损矩形ABMD一定有外接圆⊙H
∴MAD =MBD
∵四边形BDEF是正方形
∴MBD=45°
∴MAD=45°
∴OAN=45°
∵OA=1
∴ON=1
∴N点的坐标为（0，-1）
(4) 延长AB交MG于点P，过点M作MQ⊥轴于点Q
设MG=，则四边形APMQ为正方形
∴PM=AQ=-1 ∴OG=MQ=-1
∵△MBP≌△MDQ
∴DQ=BP=CG=-2
∴MN2
ND2
MD2
∵四边形DMGN为损矩形
∴
∴
∴=2.5或=1(舍去)
∴OD=3
∴D点坐标为(3，0).
考点：本题考查的是确定圆的条件，正方形的性质
点评：解答本题的关键是理解损矩形的只有一组对角是直角的性质，
20、（1）直线AB与⊙O的位置关系是相离；（2）（，2）或（-，2）；（3）
【分析】（1）由直线解析式求出A（-4，0），B（0，3），得出OB=3，OA=4，由勾股定理得出AB==5，过点O作OC⊥AB于C，由三角函数定义求出OC=＞2，即可得出结论；
（2）分两种情况：①当点P在第一象限，连接PB、PF，作PC⊥OB于C，则四边形OCPF是矩形，得出OC=PF=BP=2，BC=OB-OC=1，由勾股定理得出PC=，即可得出答案；②当点P在的第二象限，根据对称性可得出此时点P的坐标；
（3）设⊙M分别与OA、OB、AB相切于C、D、E，连接MC、MD、ME、BM，则四边形OCMD是正方形，DE⊥AB，BE=BD，得出MC=MD=ME=OD=（OA+OB-AB）=1，求出BE=BD=OB-OD=2，由直角三角形的性质得出△ABO外接圆圆心N在AB上，得出AN=BN=AB=，NE=BN-BE=，在Rt△MEN中，由勾股定理即可得出答案．
【详解】解：（1）∵直线l的函数表达式为y=x+3，
∴当x=0时，y=3；当y=0时，x=4；
∴A（﹣4，0），B（0，3），
∴OB=3，OA=4，
AB==5，
过点O作OC⊥AB于C，如图1所示：
∵sin∠BAO=，
∴，
∴OC=＞2，
∴直线AB与⊙O的位置关系是相离；
（2）如图2所示，分两种情况：
①当点P在第一象限时，连接PB、PF，作PC⊥OB于C，
则四边形OCPF是矩形，
∴OC=PF=BP=2，
∴BC=OB﹣OC=3﹣2=1，
∴PC=，
∴圆心P的坐标为：（，2）；
②当点P在第二象限时，
由对称性可知，在第二象限圆心P的坐标为：（-，2）．
综上所知，圆心P的坐标为（，2）或（-，2）．
（3）设⊙M分别与OA、OB、AB相切于C、D、E，连接MC、MD、ME、BM，如图3所示：
则四边形OCMD是正方形，DE⊥AB，BE=BD，
∴MC=MD=ME=OD=（OA+OB﹣AB）=×（4+3﹣5）=1，
∴BE=BD=OB﹣OD=3﹣1=2，
∵∠AOB=90°，∴△ABO外接圆圆心N在AB上，
∴AN=BN=AB=，∴NE=BN﹣BE=﹣2=，
在Rt△MEN中，
MN=．
【点睛】
本题是圆的综合题目，考查了直线与圆的位置关系、直角三角形的内切圆与外接圆、勾股定理、切线长定理、正方形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握直线与圆的位置关系，根据题意画出图形是解题的关键．
21、（1）点，的最小值；（2）存在，点的坐标可以为，，或
【分析】（1）设，根据正切函数的定义求出点C，将其代入二次函数的表达式中，求出a，过点E作EH⊥OB，垂足为H，根据四边形面积=梯形OCEH的面积+△BHE的面积得到一个二次函数，进而可求出取最大值时点E的坐标，过点M作MF⊥OB，垂足为F，要使最小，则使最小，进而求解；
（2）分两种情况考虑，①线段BC为邻边时，则点N只能取点K，H，②线段BC为对角线时，设点，线段BC与线段PN的交点为点O，分别利用中点坐标公式进行求解．
【详解】解：（1）设，
∵，，
∴，即点，
将点C代入中，
解得， ，
∴，
设点，过点E作EH⊥OB，垂足为H，
∴四边形面积=梯形OCEH的面积+△BHE的面积
，
∴当时，四边形面积最大，
∴点，
过点M作MF⊥OB，垂足为F，
∵，
∴要使最小，即使最小，
∴过点E作EH⊥OB交BC于点M，垂足为H，此时取得最小值，
∴的最小值；
（2）存在；
由题意知，，线段所在的直线方程为，
分两种情况讨论：①线段BC为邻边时，则点N只能取点K，H，
∵ ，
解得，点K，H的横坐标分别为，，
∵四边形BCPN为平行四边形，设点，
当N取点K时，由中点坐标公式知， ，
解得，，
∴，即点，
同理可知，当点N取点K时，点；
②线段BC为对角线时，设点，线段BC与线段PN的交点为点O，
∴点，
∴由中点坐标公式得，，
∵，
∴解得，或，
∴点或，
综上所述，点的坐标可以为，，或．
【点睛】
本题是二次函数的综合题，考查了正切函数，二次函数的性质，平行四边形的性质，中点坐标公式，学会运用分类讨论的思想进行解题，是中考压轴题，难度较大．
22、（1）相等；（2）见解析；（3）
【分析】（1）由旋转得：旋转角相等，可得结论；
（2）证明△AOB≌△EOF（SAS），得∠OAB=∠OEF，根据平角的定义可得结论；
（3）如解图，根据等腰三角形的性质得：∠OFB=∠OBF=30°，∠OAE=∠AEO=30°，根据30度角的直角三角形的性质分别求得OB、OG、BF，勾股定理求得BE的长，再根据三角形面积公式即可求得结论．
【详解】（1）由旋转得：∠AOE=∠BOF=，
故答案为：相等；
（2）∵，
∴，
在△AOB和△EOF中
，
∴△AOB≌△EOF（SAS），
∴，
∵OA=OE，
∴，
∴
；
（3）如图，过点O作 ，垂足为G，
根据旋转的性质知：∠BOF=120°，∠AOB=∠EOF，OB=OF，
△BOF中，∠OFB=∠OBF=30°，
∴∠ABO=60°，
△AOE中，∠AOE=120°，OA=OE，
∴∠OAE=∠AEO=30°，
∴∠AOB=90°，
在△AOB和△EOF中
，
∴△AOB≌△EOF（SAS），
∴，
在中，∠AOB=90°，，∠OAB=30°，
∴，
在中，∠OGB=90°，，∠OBG=30°，
∴，，
∴，
在中，∠EBF=90°，，，
∴，
∴
．
【点睛】
本题是四边形的综合题，题目考查了几何图形的旋转变换，四边形的面积，直角三角形30度角的性质等知识，解决此类问题的关键分析图形的旋转情况，在旋转过程中，旋转角相等，对应线段相等．
23、（1）详见解析；（2）详见解析，A1（﹣3，3）；（3）详见解析，A2（6，6）．
【解析】（1）根据A、B、C三点坐标画出图形即可；
（2）作出A、B、C关于轴的对称点A1、B1、C1即可；
（3）延长OC到C2，使得OC2=2OC，同法作出A2，B2即可；
【详解】（1）△ABC如图所示；
（2）△A1B1C1如图所示；A1（﹣3，3），
（3）△A2B2C2如图所示；A2（6，6）．
故答案为（﹣3，3），（6，6）．
【点睛】
本题考查作图﹣位似变换，轴对称变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
24、树状图见详解，
【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两次摸出的小球所标数字之和为3的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两次摸出的小球所标数字之和为3的结果数为2，
所以两次摸出的小球所标数字之和为3的概率＝．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率
25、（1）详见解析；（2）.
【分析】（1）方法1、先判断出Rt△ODP≌Rt△OCP，得出∠DOP＝∠COP，即可得出结论；
方法2、判断出OP是CD的垂直平分线，即可得出结论；
（2）先求出∠COD＝60°，得出△OCD是等边三角形，最后用锐角三角函数即可得出结论.
【详解】解：（1）方法1、连接OC，OD，
∴OC＝OD，
∵PD，PC是⊙O的切线，
∵∠ODP＝∠OCP＝90°，
在Rt△ODP和Rt△OCP中，，
∴Rt△ODP≌Rt△OCP(HL)，
∴∠DOP＝∠COP，
∵OD＝OC，
∴OP⊥CD；
方法2、∵PD，PC是⊙O的切线，
∴PD＝PC，
∵OD＝OC，
∴P，O在CD的中垂线上，
∴OP⊥CD
（2）如图，连接OD，OC，
∴OA＝OD＝OC＝OB＝2，
∴∠ADO＝∠DAO＝50°，∠BCO＝∠CBO＝70°，
∴∠AOD＝80°，∠BOC＝40°，
∴∠COD＝60°，
∵OD＝OC，
∴△COD是等边三角形，
由（1）知，∠DOP＝∠COP＝30°，
在Rt△ODP中，OP＝＝．
【点睛】
本题考查圆周角定理、切线的性质、全等三角形的判定(HL)和性质和锐角三角函数，解题的关键是掌握圆周角定理、切线的性质、全等三角形的判定(HL)和性质和锐角三角函数.
26、（1）y=60+10x；（2）定价为33元，最大利润是810元．
【分析】（1）根据价格每降低1元，平均每月多销售10箱，由每箱降价x元，多卖10x，据此可以列出函数关系式；
（2）由利润=（售价-成本）×销售量列出函数关系式，求出最大值．
【详解】解：（1）根据题意，得：y=60+10x，
（2）设所获利润为W，则W=（36﹣x﹣24）（10x+60）
=﹣10x2+60x+720
=﹣10（x﹣3）2+810，
∴当x=3时，W取得最大值，最大值为810，
答：超市定价为33元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是810元．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，由利润=（售价-成本）×销售量列出函数关系式求最值，用二次函数解决实际问题是解题的关键．
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