资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DE∥BC，若AD＝4，AB＝6，BC＝12，则DE等于（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
2．一同学将方程化成了的形式，则m、n的值应为（ ）
A．m=1．n=7 B．m=﹣1，n=7 C．m=﹣1，n=1 D．m=1，n=﹣7
3．如图中几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
4．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校800名学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
下面有四个推断：
①从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月仅使用A支付的概率为0.3；
②从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率为0.45；
③估计全校仅使用B支付的学生人数为200人；
④这100名学生中，上个月仅使用A和仅使用B支付的学生支付金额的中位数为800元．
其中合理推断的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②③
5．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5m，则坡面AB的长度是（ ）
A．10m B．10m C．15m D．5m
6．若关于x的函数y=（3-a）x2-x是二次函数，则a的取值范围( )
A．a≠0 B．a≠3 C．a＜3 D．a＞3
7．如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，将△ABC绕A逆时针方向旋转40°得到△ADE，点B经过的路径为弧BD，是图中阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣6 B．π C．π﹣3 D．+π
8．将抛物线y＝向左平移2个单位后，得到的新抛物线的解析式是（ ）
A． B．y＝
C．y＝ D．y＝
9．如图所示，已知A（，y1），B(2,y2)为反比例函数图像上的两点，动点P(x，0)在x正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是（ ）
A．(，0) B．(1,0) C．(,0) D．(,0)
10．在下列几何体中，主视图、左视图和俯视图形状都相同的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，半径为，正方形内接于，点在上运动，连接，作，垂足为，连接.则长的最小值为________.
12．如图，△ABC中，AB＝6，BC＝1．如果动点D以每秒2个单位长度的速度，从点B出发沿边BA向点A运动，此时直线DE∥BC，交AC于点E．记x秒时DE的长度为y，写出y关于x的函数解析式_____（不用写自变量取值范围）．
13．如图所示，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将绕点按顺时针方向旋转，得，则点的坐标为_________.
14．某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同，则该商品每次降价的百分率为_____．
15．已知的半径点在内,则_________（填>或=，<）
16．二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：
x
－2
－1
0
1
2
3
4
5
y
5
0
－3
－4
－3
0
5
12
给出了结论：
（1）二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为－3；
（2）当－＜x＜2时，y＜0；
（3）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧．则其中正确结论是_________ （填上正确的序号）
17．化简：=______．
18．在纸上剪下一个圆和一个扇形纸片，使它们恰好围成一个圆锥（如图所示），如果扇形的圆心角为90°，扇形的半径为4，那么所围成的圆锥的高为_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）在平面直角坐标系中有，为原点，，，将此三角形绕点顺时针旋转得到，抛物线过三点．
（1）求此抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）直线与抛物线交于两点，若，求的值；
（3）抛物线的对称轴上是否存在一点使得为直角三角形．
20．（6分）如图:在平面直角坐标系中，点.
(1)尺规作图:求作过三点的圆;
(2)设过三点的圆的圆心为M，利用网格，求点M的坐标;
(3)若直线与相交，直接写出的取值范围.
21．（6分）欢欢放学回家看到桌上有三个礼包，是爸爸送给欢欢和姐姐的礼物，其中礼包是芭比娃娃，和礼包都是智能对话机器人.这些礼包用外表一样的包装盒装着，看不到里面的礼物.
（1）欢欢随机地从桌上取出一个礼包，取出的是芭比娃娃的概率是多少？
（2）请用树状图或列表法表示欢欢随机地从桌上取出两个礼包的所有可能结果，并求取出的两个礼包都是智能对话机器人的概率.
22．（8分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现：当销售价格为25元/件时，每天的销售量为250件，每件销售价格每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
（1）当销售价格上涨时，请写出每天的销售量（件）与销售价格（元/件）之间的函数关系式．
（2）如果要求每天的销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为18元，间当销售价格定为多少时，该文具每天的销售利润最大，最大利润为多少？
23．（8分）综合与实践
问题背景：
综合与实践课上，同学们以两个全等的三角形纸片为操作对象，进行相一次相关问题的研究． 下面是创新小组在操作过程中研究的问题， 如图一，△ABC≌△DEF， 其中∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°．
操作与发现：
（1）如图二，创新小组将两张三角形纸片按如图示的方式放置，四边形ACBF的形状是 ，CF= ；
（2）创新小组在图二的基础上，将△DEF纸片沿AB方向平移至图三的位置，其中点E与AB的中点重合．连接CE，BF．四边形BCEF的形状是 ，CF= ．
操作与探究 ：
（3）创新小组在图三的基础上又进行了探究，将△DEF纸片绕点E逆时针旋转至DE与BC平行的位置，如图四所示，连接AF， BF． 经过观察和推理后发现四边形ACBF也是矩形，请你证明这个结论．
24．（8分）已知二次函数y1＝x2﹣2x﹣3，一次函数y2＝x﹣1．
（1）在同一坐标系中，画出这两个函数的图象；
（2）根据图形，求满足y1＞y2的x的取值范围．
25．（10分）如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行B地，已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长（结果保留整数）（参考数据：sin67°≈0.92；cos67°≈0.38；≈1.73）
26．（10分）某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时平均每天销售量是500件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出100件．
（1）假设每件商品降低x元，商店每天销售这种小商品的利润是y元，请你写出y与x的之间的函数关系式，并注明x的取值范围；
（2）每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大；最大利润是多少．（注：销售利润=销售收入－购进成本）
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质可得出，再代入AD＝4，AB＝6，BC＝12即可求出DE的长．
【详解】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，即，
∴DE＝1．
故选：C．
【点睛】
此题考查相似三角形的判定及性质，平行于三角形一边的直线与三角形的两边相交，所截出的三角形与原三角形相似，故而依次得到线段成比例，得到线段的长.
2、B
【解析】先把（x+m）1=n展开，化为一元二次方程的一般形式，再分别使其与方程x1-4x-3=0的一次项系数、二次项系数及常数项分别相等即可．
【详解】解：∵（x+m）1=n可化为：x1+1mx+m1-n=0，
∴，解得：
故选：B．
【点睛】
此题比较简单，解答此题的关键是将一元二次方程化为一般形式，再根据题意列出方程组即可．
3、D
【解析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】解：从正面看应得到第一层有3个正方形，第二层从左面数第1个正方形上面有1个正方形，
故选D．
【点睛】
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
4、B
【分析】先把样本中的仅使用A支付的概率，A，B两种支付方式都使用的概率分别算出，再来估计总体该项的概率逐一进行判断即可.
【详解】解：∵样本中仅使用A支付的概率= ，
∴总体中仅使用A支付的概率为0.3.
故①正确.
∵样本中两种支付都使用的概率= 0.4
∴从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率为0.4；
故②错误.
估计全校仅使用B支付的学生人数为：800 =200（人）
故③正确.
根据中位数的定义可知，仅用A支付和仅用B支付的中位数应在0至500之间，故④错误.
故选B.
【点睛】
本题考查了用样本来估计总体的统计思想，理解样本中各项所占百分比与总体中各项所占百分比相同是解题的关键.
5、A
【解析】试题分析：河堤横断面迎水坡AB的坡比是，
即，
∴∠BAC=30°，
∴AB=2BC=2×5=10，
故选A．
考点：解直角三角形
6、B
【分析】根据二次函数的定义，二次项系数不等于0列式求解即可．
【详解】根据二次函数的定义，二次项系数不等于0，
3-a≠0，则a≠3，故选B
【点睛】
本题考查二次函数的定义，熟记概念是解题的关键．
7、B
【解析】根据AB=5，AC=3，BC=4和勾股定理的逆定理判断三角形的形状，根据旋转的性质得到△AED的面积=△ABC的面积，得到阴影部分的面积=扇形ADB的面积，根据扇形面积公式计算即可．
【详解】解：∵AB=5，AC=3，BC=4，
∴△ABC为直角三角形，
由题意得，△AED的面积=△ABC的面积，
由图形可知，阴影部分的面积=△AED的面积+扇形ADB的面积﹣△ABC的面积，
∴阴影部分的面积=扇形ADB的面积=，
故选B．
【点睛】
考查的是扇形面积的计算、旋转的性质和勾股定理的逆定理，根据图形得到阴影部分的面积=扇形ADB的面积是解题的关键．
8、A
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可．
【详解】解：将抛物线y＝向左平移2个单位后，得到的新抛物线的解析式是：．故答案为A．
【点睛】
本题考查了二次函数图像的平移法则，即掌握“左加右减，上加下减”是解答本题的关键.
9、D
【分析】求出AB的坐标，设直线AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐标代入求出直线AB的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在△ABP中，|AP-BP|＜AB，延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA-PB=AB，此时线段AP与线段BP之差达到最大，求出直线AB于x轴的交点坐标即可．
【详解】∵把A（，y1），B（2，y2）代入反比例函数y=得：y1=2，y2=，
∴A（，2），B（2，），
∵在△ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP-BP|＜AB，
∴延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA-PB=AB，
即此时线段AP与线段BP之差达到最大，
设直线AB的解析式是y=kx+b，
把A、B的坐标代入得：
，
解得：k=-1，b=，
∴直线AB的解析式是y=-x+，
当y=0时，x=，
即P（，0），
故选D．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系定理和用待定系数法求一次函数的解析式的应用，解此题的关键是确定P点的位置，题目比较好，但有一定的难度．
10、C
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．依次找到主视图、左视图和俯视图形状都相同的图形即可．
【详解】解：A、圆台的主视图和左视图相同，都是梯形，俯视图是圆环，故选项不符合题意；
B、三棱柱的主视图和左视图、俯视图都不相同，故选项不符合题意；
C、球的三视图都是大小相同的圆，故选项符合题意．
D、圆锥的三视图分别为等腰三角形，等腰三角形，含圆心的圆，故选项不符合题意；
故选C.
【点睛】
本题考查了三视图的有关知识，注意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】先求得正方形的边长，取AB的中点G，连接GF，CG，当点C、F、G在同一直线上时，根据两点之间线段最短，则CF有最小值，此时即可求得这个值.
【详解】如图，连接OA、OD，取AB的中点G，连接GF，CG，
∵ABCD是圆内接正方形，，
∴，
∴，
∵AF⊥BE，
∴，
∴，
，
当点C、F、G在同一直线上时，CF有最小值，如下图：
最小值是：，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，根据两点之间线段最短确定CF的最小值是解决本题的关键．
12、y＝﹣3x+1
【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质，可得出y关于x的函数解析式．
【详解】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
∴，即，∴y＝﹣3x+1．
故答案为：y＝﹣3x+1．
【点睛】
本题考查根据实际问题列函数关系式，利用相似三角形的性质得出是关键.
13、
【分析】把点A绕点O顺时针旋转90°得到点A′，看其坐标即可．
【详解】
解：由图知A点的坐标为（-3，1），根据旋转中心O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，画图，由图中可以看出，点A′的坐标为（1，3），
故答案为A′（1，3）．
【点睛】
本题考查点的旋转坐标的求法；得到关键点旋转后的位置是解题的关键．
14、10%
【解析】设该种商品每次降价的百分率为x%，根据“两次降价后的售价=原价×（1-降价百分比）的平方”，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论．
【详解】设该种商品每次降价的百分率为x%，
依题意得：400×（1-x%）2=324，
解得：x=10，或x=190（舍去）．
答：该种商品每次降价的百分率为10%．
故答案为：10%
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据数量关系得出关于x的一元二次方程．
15、<
【分析】根据点与圆的位置关系，即可求解.
【详解】解：的半径为
点在内，
．
故答案为:．
【点睛】
本题考查的是点与圆的位置关系.
16、（2）（3）
【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x＝1，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
【详解】由表格数据可知，二次函数的对称轴为直线x＝1，
所以，当x＝1时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小值，最小值为−4；故（1）小题错误；
根据表格数据，当−1＜x＜3时，y＜0，
所以，− ＜x＜2时，y＜0正确，故（2）小题正确；
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个交点，分别为（−1，0）（3，0），它们分别在y轴两侧，故（3）小题正确；
综上所述，结论正确的是（2）（3）共2个．
故答案为：（2）（3）．
【点睛】
本题考查了二次函数的最值，抛物线与x轴的交点，仔细分析表格数据，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
17、.
【解析】试题解析：原式
故答案为
18、
【详解】设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得2πr=，解得r=1，
所以所围成的圆锥的高=
考点：圆锥的计算．
三、解答题(共66分)
19、（1）；点；（2）；（3）存在，Q1(1，-1)，Q2(1，2)， Q3(1，4)， Q4(1，-5)．
【分析】（1）用待定系数法可求抛物线的解析式，进行配成顶点式即可写出顶点坐标；
（2）将直线与抛物线联立，通过根与系数关系得到，，再通过得出，通过变形得出代入即可求出的值；
（3）分：， ， 三种情况分别利用勾股定理进行讨论即可．
【详解】（1）∵，，
∵绕点顺时针旋转，得到，
∴点的坐标为：，
将点A,B代入抛物线中得
解得
∴此抛物线的解析式为：
∵；
∴点
（2）直线：与抛物线的对称轴交点的坐标为，
交抛物线于，，
由得：
∴，
∵，
∴
∴
∴
∴
∴
（3）存在，或，，
∴
设点
，
若，则
即
∴或
若，则
即
∴
若，则
即
∴
即Q1(1,-1), Q2(1,2), Q3(1,4), Q4(1,-5).
【点睛】
本题主要考查二次函数与几何综合，掌握二次函数的图象和性质，分情况讨论是解题的关键．
20、（1）见解析；（2）M(1,3)；（3）
【分析】(1) 作OA和OB的垂直平分线，交点即为圆心，据此作圆即可；
(2)AB的中点即为圆心M，由此可解；
(3)求出半径，即可知直线与相切时a的值，由此可得相交时的取值范围.
【详解】解：(1) 如图即为所要求作的过三点的圆；
作OA和OB的垂直平分线，交点即为圆心，作圆即可.
(2) 由图可知， ∠AOB=，所以AB是所求作圆的直径，
因为AB中点的坐标为(1,3),
即所求圆心M的坐标是(1,3).
（3）由圆心M和圆上任意点可求出半径r=AM=BM=，
∴当a=1-或1+时，直线与相切，
∴当 时，直线与相交.
【点睛】
本题考查了网格作图，圆的有关性质，直线与圆的位置关系，掌握切线时的有关计算是解题的关键.
21、（1）；（2）
【分析】（1）根据一共三个礼包，芭比娃娃的礼包占一种即可计算概率；
（2）列出所有可能的结果，再找到符合要求的个数，即可得到概率.
【详解】（1）根据题意，可知取出的是芭比娃娃的概率是.
（2）
结果：，，，，，，
由图可知，共有6种等可能的结果，而符合要求的是，两种，
∴取出的两个礼包都是智能机器人的概率是.
【点睛】
本题考查了列表法或树状法求概率，正确列出所有可能结果是解题的关键.
22、（1）；（2）当销售价格定为38元时，该文具每天的销售利润最大，最大利润为1元
【分析】（1）根据实际销售量等于，化简即可；
（2）利用二次函数的性质及题中对销售量及每件文具利润的约束条件，可求得答案．
【详解】解：（1）
∴每天的销售量（件）与销售价格（元/件）之间的函数关系式为：
；
（2）设销售利润为元，由题意得：
∵，解得：
∵，抛物线的对称轴为直线
∴抛物线开口向下，在对称轴的右侧，随的增大而减小
∴当时，取最大值为1．
答：当销售价格定为38元时，该文具每天的销售利润最大，最大利润为1元．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程和二次函数的应用，准确列式是解题的关键．
23、（1）矩形，4 ；（2）菱形，；（3）详见解析．
【分析】（1）由题意及图形可直接解答；
（2）根据题意及图形，结合直角三角形的性质定理可直接得到答案；
（3）根据旋转的性质及题意易得，然后得到四边形ACBF为平行四边形，最后问题得证．
【详解】（1）如图所示：
△ABC≌△DEF， 其中∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，
，
，四边形ACBF是矩形，AB=4，
AB=CF=4；
故答案为：矩形，4 ；
（2）如图所示：
△ABC≌△DEF， 其中∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，
，
，四边形ECBF是平行四边形，
点E与AB的中点重合，CE=BE，是等边三角形，
EC=BC，四边形ECBF是菱形，CF与EB互相垂直且平分，
，，
故答案为：菱形，；
（3）证明：如图所示：
∵
∵
∴
∴
∵
∵
∴为等边三角形
∴
∴
∵
∴四边形ACBF为平行四边形
∵
∴四边形ACBF为矩形．
【点睛】
本题主要考查特殊平行四边形的性质及判定、全等三角形的性质，关键是由题意图形的变化及三角形全等的性质得到线段的等量关系，然后结合特殊平行四边形的判定方法证明即可．
24、（1）见解析；（2）x＜或x＞．
【分析】（1）利用描点法画出两函数图象；
（2）设二次函数y1＝x2﹣2x﹣3的图象与一次函数y2＝x﹣1的图象相交于A、B两点，如图，通过解方程x2﹣2x﹣3＝x﹣1得A点和B点的横坐标，然后结合函数图象，写出抛物线在直线上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：（1）列表如下：
xy
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
y1
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
5
y2
﹣1
0
这两个函数的图象，如图，
（2）设二次函数y1＝x2﹣2x﹣3的图象与一次函数y2＝x﹣1的图象相交于A、B两点，如图，
令y1＝y2，得x2﹣2x﹣3＝x﹣1，
整理得x2﹣3x﹣2＝0，解得x1＝，x2＝，
∴A点和B点的横坐标分别为，，
∴当x＜或x＞，
∴y1＞y2，
即满足不等式y1＞y2的x的取值范围为x＜或x＞．
【点睛】
本题主要考察二次函数的性质及二次函数的图形，解题关键是熟练掌握计算法则.
25、A地到C地之间高铁线路的长为592km．
【分析】过点B作BD⊥AC于点D，利用锐角三角函数的定义求出AD及CD的长，进而可得出结论．
【详解】过点B作BD⊥AC于点D，
∵B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，
∴∠ABD＝67°，
∴AD＝AB•sin67°＝520×0.92＝478.4km，
BD＝AB•cos67°＝520×0.38＝197.6km．
∵C地位于B地南偏东30°方向，
∴∠CBD＝30°，
∴CD＝BD•tan30°＝197.6×≈113.9km，
∴AC＝AD+CD＝478.4+113.9≈592（km）．
答：A地到C地之间高铁线路的长为592km．
【点睛】
考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，需要熟记锐角三角函数的定义．
26、 (1) y=-100x2+600x+5500（0≤x≤11）；(2)每件商品销售价是10.5元时，商店每天销售这种小商品的利润最大，最大利润是6400元．
【分析】（1）根据等量关系“利润=（13.5-降价-进价）×（500+100×降价）”列出函数关系式；
（2）根据（1）中的函数关系式求得利润最大值．
【详解】解：（1）设降价x元时利润最大．依题意：
y＝(13.5－x－2.5)(500＋100x) ＝100(－x2＋6x＋55) = -100x2+600x+5500
整理得：y=-100（x-3）2+6400（0≤x≤11）；
（2）由（1）可知，
∵a=-100＜0，
∴当x=3时y取最大值，最大值是6400，
即降价3元时利润最大，
∴销售单价为10.5元时，最大利润6400元．
答：销售单价为10.5元时利润最大，最大利润为6400元．
【点睛】
本题考查的是函数关系式的求法以及最值的求法．
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