资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．已知一个矩形的面积为24cm2，其长为ycm，宽为xcm，则y与x之间的函数关系的图象大致是
A． B． C． D．
2．从某多边形的一个顶点出发，可以作条对角线，则这个多边形的内角和与外角和分别是（ ）
A．； B．； C．； D．；
3．将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀.随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球.两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．已知如图，在正方形ABCD中，AD=4，E，F分别是CD，BC上的一点，且∠EAF=45°，EC=1，将△ADE绕点A沿顺时针方向旋转90°后与△ABG重合，连接EF，过点B作BM∥AG，交AF于点M，则以下结论：①DE+BF=EF，②BF=，③AF=，④S△MEF=中正确的是
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
5．正五边形的每个外角度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点，，都在上，若，则为（ ）
A． B． C． D．
7．已知两个相似三角形，其中一组对应边上的高分别是和，那么这两个三角形的相似比为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知二次函数的图象与轴交于点（-1，0），与轴的交点在（0，-2）和（0，-1）之间（不包括这两点），对称轴为直线，下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列哪些条件，①∠AED=∠B，②，③，使△ADE与△ACB一定相似（ ）
A．①② B．② C．①③ D．①②③
10．方程（m﹣1）x2﹣2mx+m﹣1＝0中，当m取什么范围内的值时，方程有两个不相等的实数根？（ ）
A．m＞ B．m＞且m≠1 C．m＜ D．m≠1
11．如图，等腰直角三角形的顶点A、C分别在直线a、b上，若a∥b，∠1=30°，则∠2的度数为（ ）
A．30° B．15° C．10° D．20°
12．如图，，、，…是分别以、、，…为直角顶点，一条直角边在轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点，，，…均在反比例函数（）的图象上.则的值为（ ）
A． B．6 C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图所示的点阵中，相邻的四个点构成正方形，小球只在矩形内自由滚动时，则小球停留在阴影区域的概率为___________.
14．如图，在▱ABCD中，AD=7，AB=2，∠B=60°．E是边BC上任意一点，沿AE剪开，将△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，得到四边形AEFD，则四边形AEFD周长的最小值为_____．
15．如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是_____________．
16．用半径为3cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径等于_____cm．
17．抛物线y=ax2-4ax+4(a≠0)与y轴交于点A．过点B(0,3)作y轴的垂线l，若抛物线y=ax2-4ax+4(a≠0)与直线l有两个交点，设其中靠近y轴的交点的横坐标为m，且│m│<1，则a的取值范围是______．
18．如图，点在双曲线（）上，过点作轴，垂足为点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交轴于点，交轴于点，连接.若，则的值为______.
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+与x轴交于点A，与y轴交于点B，点F是点B关于x轴的对称点，抛物线y＝x2+bx+c经过点A和点F，与直线AB交于点C．
（1）求b和c的值；
（2）点P是直线AC下方的抛物线上的一动点，连结PA，PB．求△PAB的最大面积及点P到直线AC的最大距离；
（3）点Q是抛物线上一点，点D在坐标轴上，在（2）的条件下，是否存在以A，P，D，Q为顶点且AP为边的平行四边形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
20．（8分）有四张反面完全相同的纸牌，其正面分别画有四个不同的几何图形，将四张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上．
（1）从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是 ．
（2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张，不放回．再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则小亮获胜，否则小明获胜．这个游戏公平吗？请用列表法（或画树状图）说明理由．（纸牌用表示）若不公平，请你帮忙修改一下游戏规则，使游戏公平．
21．（8分）如图，在宽为40 m，长为64 m的矩形地面上，修筑三条同样宽的道路，每条道路均与矩形地面的一条边平行，余下的部分作为耕地，要使得耕地的面积为2418 m2，则道路的宽应为多少？
22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB＝10，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连接CP、OP．
（1）求证：点D为BC的中点；
（2）求AP的长度；
（3）求证：CP是⊙O的切线．
23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，弧ED=弧BD，连接ED、BD，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C．
（1）若OACD，求阴影部分的面积；
（2）求证：DEDM．
24．（10分）现有、两个不透明的盒子，盒中装有红色、黄色、蓝色卡片各1张，盒中装有红色、黄色卡片各1张，这些卡片除颜色外都相同.现分别从、两个盒子中任意摸出一张卡片.
（1）从盒中摸出红色卡片的概率为______；
（2）用画树状图或列表的方法，求摸出的两张卡片中至少有一张红色卡片的概率.
25．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以CD为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F两点，过点F作FG⊥AB于点G．
（1）试判断FG与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC=6，CD＝5，求FG的长．
26．如图，为固定一棵珍贵的古树，在树干处向地面引钢管，与地面夹角为，向高的建筑物引钢管，与水平面夹角为，建筑物离古树的距离为，求钢管的长．(结果保留整数，参考数据：)
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【详解】根据题意有：xy=24；且根据x，y实际意义x、y应大于0，其图象在第一象限．故选D．
2、A
【分析】根据边形从一个顶点出发可引出条对角线，求出的值，再根据边形的内角和为，代入公式就可以求出内角和，根据多边形的外角和等于360，即可求解．
【详解】∵多边形从一个顶点出发可引出4条对角线，
∴，
解得：，
∴内角和；
任何多边形的外角和都等于360．
故选：A．
【点睛】
本题考查了多边形的对角线，多边形的内角和及外角和定理，是需要熟记的内容，比较简单．求出多边形的边数是解题的关键．
3、B
【分析】根据简单概率的计算公式即可得解.
【详解】一共四个小球，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球一共有12中可能，其中能组成孔孟的有2种，所以两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是.
故选B.
考点：简单概率计算.
4、D
【分析】利用全等三角形的性质条件勾股定理求出的长，再利用相似三角形的性质求出△BMF的面积即可
【详解】解: ∵AG=AE, ∠FAE=∠FAG=45°,AF=AF,
∴△AFE △AFG,
∴EF=FG
∵DE=BG
∴EF=FG=BG+FB=DE+BF故①正确
∵BC=CD=AD=4，EC=1
∴DE=3，设BF=x，则EF=x+3,CF=4-x,
在Rt△ECF中，（x+3）2=（4-x）2+12
解得x=
∴BF= ,AF= 故②正确，③错误，
∵BM∥AG
∴△FBM~△FGA
∴
∴S△MEF=，故④正确，
故选D．
【点睛】
本题考查旋转变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题
5、B
【解析】利用多边形的外角性质计算即可求出值．
【详解】360°÷5＝72°，
故选：B．
【点睛】
此题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角性质是解本题的关键．
6、D
【分析】直接根据圆周角定理求解．
【详解】∵∠C=34°，
∴∠AOB=2∠C=68°．
故选：D．
【点睛】
此题考查圆周角定理，解题关键在于掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
7、B
【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比，即可得出结论.
【详解】解：∵相似三角形对应高的比等于相似比
∴ 相似比=
故选B
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形对应高的比等于相似比，熟记相关性质是解题的关键.
8、D
【分析】根据二次函数的图象和性质、各项系数结合图象进行解答．
【详解】∵（-1，0），对称轴为
∴二次函数与x轴的另一个交点为
将代入中
，故A正确
将代入中
②①
∴
∵二次函数与轴的交点在（0，-2）和（0，-1）之间（不包括这两点）
∴
∴
∴，故B正确；
∵二次函数与轴的交点在（0，-2）和（0，-1）之间（不包括这两点）
∴抛物线顶点纵坐标
∵抛物线开口向上
∴
∴，故C正确
∵二次函数与轴的交点在（0，-2）和（0，-1）之间（不包括这两点）
∴
将代入中
①②
∴
∴，故D错误，符合题意
故答案为：D．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象与函数解析式的关系，可以根据各项系数结合图象进行解答．
9、C
【分析】根据相似三角形的判定方法即可一一判断；
【详解】解：∵∠A=∠A，∠AED=∠B，
∴△AED∽△ABC，故①正确，
∵∠A=∠A， ，
∴△AED∽△ABC，故③正确，
由②无法判定△ADE与△ACB相似，
故选C．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.
10、B
【分析】由题意可知原方程的根的判别式△>0，由此可得关于m的不等式，求出不等式的解集后再结合方程的二次项系数不为0即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：△＝4m2﹣4（m﹣1）2＞0，解得：∴m＞，
∵m﹣1≠0，∴m≠1，∴m的范围是：m＞且m≠1．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的判别式和一元一次不等式的解法等知识，属于基本题型，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与方程根的个数的关系是解题关键．
11、B
【解析】分析：由等腰直角三角形的性质和平行线的性质求出∠ACD=60°，即可得出∠2的度数．
详解：如图所示：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=90°，∠ACB=45°，
∴∠1+∠BAC=30°+90°=120°，
∵a∥b，
∴∠ACD=180°-120°=60°，
∴∠2=∠ACD-∠ACB=60°-45°=15°；
故选B．
点睛：本题考查了平行线的性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，由平行线的性质求出∠ACD的度数是解决问题的关键．
12、A
【分析】过点分别作x轴的垂线，垂足分别为，得出△为等腰直角三角形，进而求出，再逐一求出，…的值，即可得出答案.
【详解】如图，过点分别作x轴的垂线，垂足分别为
∵△为等腰直角三角形，斜边的中点在反比例函数的图像上
∴(2,2)，即
∴
设，则
此时(4+a,a)
将(4+a,a)代入得a(4+a)=4
解得或(负值舍去)
即
同理，，…，
∴
故答案选择A.
【点睛】
本题考查的是反比例函数的图像与性质以及反比例函数上点的特征，难度系数较大，解题关键是根据点在函数图像上求出y的值.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】分别求出矩形ABCD的面积和阴影部分的面积即可确定概率.
【详解】设每相邻两个点之间的距离为a
则矩形ABCD的面积为
而利用梯形的面积公式和图形的对称性可知阴影部分的面积为
∴小球停留在阴影区域的概率为
故答案为
【点睛】
本题主要考查随机事件的概率，能够求出阴影部分的面积是解题的关键.
14、20
【解析】当AE⊥BC时，四边形AEFD的周长最小，利用直角三角形的性质解答即可．
【详解】当AE⊥BC时，四边形AEFD的周长最小，
∵AE⊥BC，AB=2，∠B=60°，
∴AE=3，BE=，
∵△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，
∴EF=BC=AD=7，
∴四边形AEFD周长的最小值为：14+6=20，
故答案为：20.
【点睛】本题考查平移的性质，解题的关键是确定出当AE⊥BC时，四边形AEFD的周长最小．
15、或或1
【详解】如图所示：
①当AP=AE=1时，∵∠BAD=90°，∴△AEP是等腰直角三角形，∴底边PE=AE=；
②当PE=AE=1时，∵BE=AB﹣AE=8﹣1=3，∠B=90°，∴PB==4，∴底边AP===；
③当PA=PE时，底边AE=1；
综上所述：等腰三角形AEP的对边长为或或1；
故答案为或或1．
16、1．
【分析】把扇形的弧长和圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．
【详解】设此圆锥的底面半径为r．
根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得：
2πr，
解得：r=1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
17、a>或a<.
【分析】先确定抛物线的对称轴，根据开口的大小与a的关系，即开口向上时，a>0,且a越大开口越小，开口向下时，a<0,且a越大，开口越大，从而确定a的范围.
【详解】解：如图，观察图形
抛物线y=ax2-4ax+4的对称轴为直线 ,
设抛物线与直线l交点（靠近y轴）为(m,3)，
∵│m│<1，
∴-1<m<1.
当a>0时，若抛物线经过点（1，3）时，开口最大，此时a值最小，
将点（1，3）代入y=ax2-4ax+4，
得，3=a-4a+4
解得a= ,
∴a>;
当a<0时，若抛物线经过点（-1，3）时，开口最大，此时a值最大，
将点（-1，3）代入y=ax2-4ax+4，
得，3=a+4a+4
解得a= ,
∴a<.
a的取值范围是a>或a<.
故答案为：a>或a<.
【点睛】
本题考查抛物线的性质，首先明确a值与开口的大小关系，观察图形，即数形结合的思想是解答此题的关键.
18、
【分析】设OA交CF于K．利用面积法求出OA的长，再利用相似三角形的性质求出AB、OB即可解决问题；
【详解】解：如图，设OA交CF于K．
由作图可知，CF垂直平分线段OA，
∴OC=CA=1，OK=AK，
在Rt△OFC中，CF=，
∴AK=OK=，
∴OA=，
∵∠AOB+∠AOF=90°，∠CFO+∠AOF=90°，
∴∠AOB=∠CFO，
又∵∠ABO=∠COF，
∴△FOC∽△OBA，
∴，
∴，
∴OB=，AB=，
∴A（，），
∴k=×=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了尺规作图-作线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（共78分）
19、（1）b＝，c＝﹣；（2），；（3）点Q的坐标为：（﹣1﹣，）或（，﹣）或（﹣1+，）或（，）或（﹣，﹣）．
【分析】（1）直线与轴交于点，与轴交于点，则点、的坐标分别为：、，则点，抛物线经过点和点，则，将点的坐标代入抛物线表达式并解得：；
（2）过点作轴的平行线交于点，设出点P，H的坐标，将△PAB的面积表示成△APH和△BPH的面积之和，可得函数表达式，可求△PAB的面积最大值，此时设点P到AB的距离为d，当△PAB的面积最大值时d最大，利用面积公式求出d.
（3）若存在以，，，为顶点且为边的平行四边形时，平移AP，得出所有可能的情形，利用平行四边形的对称性得到坐标的关系，即可求解．
【详解】解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点，
令x=0，则y=，令y=0，则x=-3，
则点、的坐标分别为：、，
∵点F是点B关于x轴的对称点，
∴点，
∵抛物线经过点和点，则，
将点代入抛物线表达式得：，
解得：，
故抛物线的表达式为：，
，；
（2）过点作轴的平行线交于点，
设点，则点，
则的面积：
当时，
，
且，
∴的最大值为，此时点，，
设：到直线的最大距离为，
，解得：；
（3）存在，理由：
点，点，，设点，，
①当点在轴上时，
若存在以，，，为顶点且为边的平行四边形时，如图，
三种情形都可以构成平行四边形，
由于平行四边形的对称性可得图中点Q到x轴的距离和点P到x轴的距离相等，
∴，
即，
解得：（舍去）或或；
②当点在轴上时，如图：
当点Q在y轴右侧时，由平行四边形的性质可得：
=3，
∴
∴m=，代入二次函数表达式得：y=
当点Q在y轴左侧时，由平行四边形的性质可得：
=,
∴，
∴，代入二次函数表达式得：y=
故点，或，；
故点的坐标为：，或，或，或，或，．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
20、 (1) ；(2)见解析
【分析】（1）直接根据概率公式计算即可．
（2）首先列表列出可能的情况，摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有2种，由概率公式得出概率；得出游戏不公平；关键概率相等修改即可．
【详解】解：（1）共有4张牌，正面是中心对称图形的情况有3种，
从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是；
故答案为；
（2）游戏不公平，理由如下：
列表得：
共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有2种，即
∴（两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形），
∴游戏不公平．
修改规则：若抽到的两张牌面图形都是中心对称图形（或若抽到的两张牌面图形都是轴对称图形），则小明获胜，否则小亮获胜．
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．正确利用树状图分析两次摸牌所有可能结果是关键，区分中心对称图形是要点．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21、道路的宽应为1 m.
【解析】分析：根据题意，设道路的宽为xm，根据矩形的面积找到等量关系，列方程求解即可.
详解：解：设道路的宽应为x m，则(64－2x)(40－x)＝2418，
整理，得x2－72x＋71＝0，
解得x1＝1，x2＝71(不合题意，舍去)．
答：道路的宽应为1 m.
点睛：此题主要考查了一元二次方程几何问题中的应用，分清矩形的特点，确定矩形的面积是解题关键，注意解出来的结果要符合实际情况.
22、（1）BD＝DC；（2）1；（3）详见解析.
【分析】（1）连接AD，由圆周角定理可知∠ADB=90°，证得结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD，可得，则BD=DE，所以BD=DE=DC，得到∠DEC=∠DCE，在等腰△ABC中可计算出∠ABC=71°，故∠DEC=71°，再由三角形内角和定理得出∠EDC的度数，再根据BP∥DE可知∠PBC=∠EDC=30°，进而得出∠ABP的度数，然后利用OB=OP，可知∠OBP=∠OPB，由三角形内角和定理即可得出∠BOP=90°，则△AOP是等腰直角三角形，易得AP的长度；
（3）设OP交AC于点G，由∠BOP=90°可知∠AOG=90°，在Rt△AOG中，由∠OAG=30°可得＝，由于＝＝，则＝，根据三角形相似的判定可得到△AOG∽△CPG，由相似三角形形的性质可知∠GPC=∠AOG=90°，然后根据切线的判定定理即可得到CP是⊙O的切线．
【详解】（1）BD＝DC．理由如下：
如图1，连接AD，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC．
（2）如图1，连接AP．
∵AD是等腰△ABC底边上的中线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴
∴BD＝DE．
∴BD＝DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE，
△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠DCE＝∠ABC＝（180°﹣30°）＝71°，
∴∠DEC＝71°，
∴∠EDC＝180°﹣71°﹣71°＝30°，
∵BP∥DE，
∴∠PBC＝∠EDC＝30°，
∴∠ABP＝∠ABC﹣∠PBC＝71°﹣30°＝41°，
∵OB＝OP，
∴∠OBP＝∠OPB＝41°，
∴∠BOP＝90°．
∴△AOP是等腰直角三角形．
∵AO＝AB＝1．
∴AP＝AO＝1；
（3）设OP交AC于点G，如图1，
则∠AOG＝∠BOP＝90°，
在Rt△AOG中，∠OAG＝30°，
∴＝，
又∵＝＝，
∴＝，
∴＝．
又∵∠AGO＝∠CGP，
∴△AOG∽△CPG，
∴∠GPC＝∠AOG＝90°，
∴OP⊥PC，
∴CP是⊙O的切线．
【点睛】
本题考查了圆的综合题；掌握切线的性质，运用切线的判定定理证明圆的切线；运用圆周角定理和相似三角形的判定与性质解决圆中角度与线段的计算；同时记住等腰直角三角形的性质以及含30度的直角三角形三边的关系是关键．
23、（1）4-π；（2）参见解析．
【解析】试题分析：（1）连接OD，由已知条件可证出三角形ODC是等腰直角三角形，OD的长度知道，∠DOB的度数是45度，这样，阴影的面积就等于等腰直角三角形ODC的面积减去扇形ODB的面积．（2）连接AD，由已知条件可证出AD垂直平分BM，从而得到DM=DB，又因为弧DE=弧DB，DE=DB，所以DE就等于DM了．
试题解析：（1）连接OD，∵CD是⊙O切线，∴OD⊥CD∵OA="CD" =， OA=OD∴OD=CD=∴△OCD 为等腰直角三角形∠DOC=∠C=45°S阴影=S△OCD-S扇OBD=××－．（2）连接AD．∵AB是⊙O直径∴∠ADB=∠ADM= 90°又∵弧ED=弧BD∴ED="BD" ∠MAD=∠BAD∴△AMD≌△ABD∴DM="BD" ∴DE=DM．如图所示：
考点：圆的性质与三角形综合知识．
24、（1）；（2）（至少一张红色卡片）.
【分析】（1）根据A盒中红色卡片的数量除以A盒中卡片总数计算即可；
（2）画出树状图得出所有可能的情况数与至少有一张红色卡片的情况数，再根据概率公式计算即可.
【详解】解：（1）从盒中摸出红色卡片的概率=；
（2）画出树状图如下：
共有6种等可能的情况，其中至少有一张红色卡片的情况有4种，
∴（至少一张红色卡片）.
【点睛】
本题考查的是求两次事件的概率，属于常考题型，熟练掌握画树状图或列表的方法是解题的关键.
25、（1）与相切，证明见详解；（2）
【分析】（1）如图，连接OF，DF，根据直角三角形的性质得到CD=BD，由CD为直径，得到DF⊥BC，得到F为BC中点，证明OF∥AB，进而证明GF⊥OF，于是得到结论；
（2）根据勾股定理求出BC，BF,根据三角函数sinB的定义即可得到结论．
【详解】解：（1）答：与相切．
证明：连接OF，DF，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD=BD=，
∵CD为 ⊙O直径，
∴DF⊥BC，
∴F为BC中点，
∵OC=OD，
∴OF∥AB，
∵FG⊥AB，
∴FG⊥OF，
∴为的切线；
（2）∵CD为Rt△ABC斜边上中线，
∴AB=2CD=10，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴BC=，
∴BF=，
∵FG⊥AB，
∴sinB=，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，三角形的中位线，勾股定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
26、钢管AB的长约为6m
【分析】过点C作CF⊥AD于点F，于是得到CF=DE=6，AF=CFtan30°．在Rt△ABD中，根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】过点C作CF⊥AD于点F，则CF=DE=6，AF=CFtan30°=62，
∴AD=AF+DF=21.5，
在Rt△ABD中，AB(21.5)46(m)．
答：钢管AB的长约为6m．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度．
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