资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．已知m，n是关于x的一元二次方程的两个解，若，则a的值为（ ）
A．﹣10 B．4 C．﹣4 D．10
2．在平面直角坐标系内，将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，得到一条新的抛物线，这条新抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论不正确的是（ ）
A．
B．当时，顶点的坐标为
C．当时，
D．当时，y随x的增大而增大
4．如图,在△ABC中,∠A=45°,∠C=90°,点D在线段AC上,∠BDC=60°,AD=1,则BD等于( )
A． B．+1 C．-1 D．
5．当压力F（N）一定时，物体所受的压强p（Pa）与受力面积S（m2）的函数关系式为P＝（S≠0），这个函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．若点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3）都在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．＜＜ B．＜＜ C． ＜＜ D． ＜＜
7．为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC的交点E，如图所示．若测得BE＝90 m，EC＝45 m，CD＝60 m，则这条河的宽AB等于( )
A．120 m B．67.5 m C．40 m D．30 m
8．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC=35°，则∠CAB的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
9．在中，，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
10．已知二次函数(是常数)，下列结论正确的是（ ）
A．当时，函数图象经过点
B．当时，函数图象与轴没有交点
C．当时，函数图象的顶点始终在轴下方
D．当时，则时，随的增大而增大．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．计算________________.
12．将抛物线向右平移2个单位长度，则所得抛物线对应的函数表达式为______.
13．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连接BC并延长交AE于点D．若AOC=80°，则ADB的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．20°
14．如图，抛物线y＝﹣2x2+2与x轴交于点A、B，其顶点为E．把这条抛物线在x轴及其上方的部分记为C1，将C1向右平移得到C2，C2与x轴交于点B、D，C2的顶点为F，连结EF．则图中阴影部分图形的面积为______．
15．为庆祝中华人民共和国成立70周年，某校开展以“我和我亲爱的祖国”为主题快闪活动，他们准备从报名参加的3男2女共5名同学中，随机选出2名同学进行领唱，选出的这2名同学刚好是一男一女的概率是：_________．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG、AF分别交DE于点M和点N，则线段MN的长为_____．
17．在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示．已知点坐标为，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点……，依次进行下去，则点的坐标为_____．
18．从长度为2cm、4cm、6cm、8cm的4根木棒中随机抽取一根，能与长度为3cm和5cm的木棒围成三角形的概率为_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）在边长为1的小正方形网格中，的顶点均在格点上，将绕点逆时针旋转，得到，请画出．
20．（6分）某商场一种商品的进价为每件元，售价为每件元.每天可以销售件，为尽快减少库存，商场决定降价促销.
(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件元，求两次下降的百分率;
(2)经调查,若该商品每降价元，每天可多销售件,那么每天要想获得最大利润，每件售价应多少元?最大利润是多少?
21．（6分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直接写出的面积 ．
22．（8分）如图,在中, , 在，上取一点,以为直径作,与相交于点,作线段的垂直平分线交于点,连接．
(1) 求证:是的切线;
(2)若，的半径为．求线段与线段的长．
23．（8分）在锐角三角形中,已知,, 的面积为 ,求的余弦值.
24．（8分）小昆和小明玩摸牌游戏，游戏规则如下：有3张背面完全相同，牌面标有数字1、2、3的纸牌，将纸牌洗匀后背面朝上放在桌面上，随机抽出一张，记下牌面数字，放回后洗匀再随机抽出一张．
（1）请用画树形图或列表的方法（只选其中一种），表示出两次抽出的纸牌数字可能出现的所有结果；
（2）若规定：两次抽出的纸牌数字之和为奇数，则小昆获胜，两次抽出的纸牌数字之和为偶数，则小明获胜，这个游戏公平吗？为什么？
25．（10分）如图1，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C．点D(2，3)在该抛物线上，直线AD与y轴相交于点E，点F是直线AD上方的抛物线上的动点.
（1）求该抛物线对应的二次函数关系式；
（2）当点F到直线AD距离最大时，求点F的坐标；
（3）如图2，点M是抛物线的顶点，点P的坐标为(0，n)，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是AM为边的矩形.①求n的值；②若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标.
26．（10分）2019年4月23日是第二十四个“世界读书日“．某校组织读书征文比赛活动，评选出一、二、三等奖若干名，并绘成如图所示的条形统计图和扇形统计图（不完整），请你根据图中信息解答下列问题：
（1）求本次比赛获奖的总人数，并补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数；
（3）学校从甲、乙、丙、丁4位一等奖获得者中随机抽取2人参加“世界读书日”宣传活动，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【详解】解：∵m，n是关于x的一元二次方程的两个解，∴m+n=3，mn=a．
∵，即，
∴，解得：a=﹣1．
故选C．
2、B
【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标即可．
【详解】抛物线的顶点坐标为（0，−1），
∵向右平移个单位，再向下平移个单位，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（2，−4）．
故选B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
3、C
【解析】根据对称轴公式和二次函数的性质，结合选项即可得到答案.
【详解】解：∵二次函数
∴对称轴为直线
∴，故A选项正确；
当时，
∴顶点的坐标为，故B选项正确；
当时，由图象知此时
即
∴，故C选项不正确；
∵对称轴为直线且图象开口向上
∴当时，y随x的增大而增大，故D选项正确；
故选C．
【点睛】
本题考查二次函数，解题的关键是熟练掌握二次函数.
4、B
【分析】设BC=x，根据锐角三角函数分别用x表示出AC和CD，然后利用AC－CD=AD列方程即可求出BC，再根据锐角三角函数即可求出BD.
【详解】解：设BC=x
∵在△ABC中,∠A=45°,∠C=90°,
∴AC=BC=x
在Rt△BCD中，CD=
∵AC－CD=AD，AD=1
∴
解得：
即BC=
在Rt△BCD中，BD=
故选：B.
【点睛】
此题考查的是解直角三角形的应用，掌握用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键.
5、C
【分析】根据实际意义以及函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断．
【详解】解：当F一定时，P与S之间成反比例函数，则函数图象是双曲线，同时自变量是正数．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．
6、D
【分析】先根据反比例函数中k＞1判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
【详解】解：∵反比例函数y＝中k＞1，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵﹣2＜1，
∴点C（﹣2，y2）位于第三象限，
∴y2＜1，
∵1＜1＜2，
∴点A（1，y1），B（2，y2）位于第一象限，
∴y1＞y2＞1．
∴y1＞y2＞y2．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是反比例函数的性质，掌握反比例函数图象所在象限及增减性是解答此题的关键．
7、A
【解析】∵∠ABE=∠DCE, ∠AEB=∠CED,
∴△ABE∽△DCE,
∴.
∵BE=90m，EC=45m，CD=60m，
∴
故选A.
8、C
【解析】分析：由同弧所对的圆周角相等可知∠B=∠ADC=35°；而由圆周角的推论不难得知∠ACB=90°，则由∠CAB=90°-∠B即可求得.
详解：∵∠ADC=35°，∠ADC与∠B所对的弧相同，
∴∠B=∠ADC=35°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°-∠B=55°，
故选C．
点睛：本题考查了同弧所对的圆周角相等以及直径所对的圆周角是直角等知识.
9、D
【分析】首先根据勾股定理求得AC的长，然后利用正弦函数的定义即可求解．
【详解】∵∠C=90°，BC=1，AB=4，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角函数的定义，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，转化成直角三角形的边长的比．
10、D
【分析】将和点代入函数解析式即可判断A选项；利用可以判断B选项；根据顶点公式可判断C选项；根据抛物线的增减性质可判断D选项．
【详解】A. 将和代入，故A选项错误；
B. 当时，二次函数为，
，函数图象与轴有一个交点，故B选项错误；
C. 函数图象的顶点坐标为，即，
当时，不一定小于0，则顶点不一定在轴下方，故C选项错误；
D. 当时，抛物线开口向上，由C选项得，函数图象的对称轴为，
所以时，随的增大而增大，故D选项正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、根的判别式以及抛物线与x轴的交点，掌握抛物线的对称轴、开口方向与系数之间的关系是解题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】根据负整数指数幂的计算法则及立方根的定义进行计算即可．
【详解】解：原式=1－8=－1．
故答案为：－1．
【点睛】
本题考查实数的运算，属于常考基础题，明确负整数指数幂的计算法则及立方根的定义是解题的关键．
12、
【分析】利用顶点式根据平移不改变二次项系数可得新抛物线解析式．
【详解】的顶点为(−1,0)，
∴向右平移2个单位得到的顶点为(1,0)，
∴把抛物线向右平移2个单位，所得抛物线的表达式为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规则是解题的关键.
13、B．
【解析】试题分析：根据AE是⊙O的切线，A为切点，AB是⊙O的直径，可以先得出∠BAD为直角．再由同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，求出∠B，从而得到∠ADB的度数．由题意得：∠BAD=90°，∵∠B=∠AOC=40°，∴∠ADB=90°-∠B=50°．故选B．
考点：圆的基本性质、切线的性质．
14、1
【分析】由S阴影部分图形＝S四边形BDFE＝BD×OE，即可求解．
【详解】令y＝0，则：x＝±1，令x＝0，则y＝2，
则：OB＝1，BD＝2，OB＝2，
S阴影部分图形＝S四边形BDFE＝BD×OE＝2×2＝1．
故：答案为1．
【点睛】
本题考查的是抛物线性质的综合运用，确定S阴影部分图形＝S四边形BDFE是本题的关键．
15、
【分析】先画出树状图求出所有可能出现的结果数，再找出选出的2名同学刚好是一男一女的结果数，然后利用概率公式求解即可．
【详解】解：设报名的3名男生分别为A、B、C，2名女生分别为M、N，则所有可能出现的结果如图所示：
由图可知，共有20种等可能的结果，其中选出的2名同学刚好是一男一女的结果有12种，
所以选出的2名同学刚好是一男一女的概率=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了求两次事件的概率，属于常考题型，熟练掌握画树状图或列表的方法是解题的关键．
16、．
【分析】根据三角形的面积公式求出BC边上的高＝3，根据△ADE∽△ABC，求出正方形DEFG的边长为2，根据等于高之比即可求出MN．
【详解】解：作AQ⊥BC于点Q．
∵AB＝AC＝3，∠BAC＝90°，
∴BC＝AB＝6，
∵AQ⊥BC，
∴BQ＝QC，
∴BC边上的高AQ＝BC＝3，
∵DE＝DG＝GF＝EF＝BG＝CF，
∴DE：BC＝1：3
又∵DE∥BC，
∴AD：AB＝1：3，
∴AD＝，DE＝AD＝2，
∵△AMN∽△AGF，DE边上的高为1，
∴MN：GF＝1：3，
∴MN：2＝1：3，
∴MN＝．
故答案为.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，是一道综合题目，难度较大，作辅助线AQ⊥BC是解题的关键．
17、
【解析】根据二次函数性质可得出点的坐标，求得直线为，联立方程求得的坐标，即可求得的坐标，同理求得的坐标，即可求得的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点的坐标．
【详解】解：∵点坐标为，
∴直线为，，
∵，
∴直线为，
解得或，
∴，
∴，
∵，
∴直线为，
解得或，
∴，
∴
…，
∴，
故答案为．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．
18、
【分析】根据三角形的三边关系得出第三根木棒长度的取值范围，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】∵两根木棒的长分别是3cm和5cm，
∴第三根木棒的长度大于2cm且小于8cm，
∴能围成三角形的是：4cm、6cm的木棒，
∴能围成三角形的概率是：，
故答案为．
【点睛】
本题主要考查三角形的三边关系和概率公式，求出三角形的第三边长的取值范围，是解题的关键.
三、解答题(共66分)
19、见解析
【分析】根据题意（将绕点逆时针旋转即可画出图形；
【详解】解：如图所示，即为所求.
【点睛】
此题考查了旋转变换．注意抓住旋转中心与旋转方向是关键．
20、（1）该商品连续两次下降的百分率为；（2）售价为元时，可获最大利润元
【分析】（1）设每次降价的百分率为，为两次降价的百分率，根据题意列出方程求解即可；
（2）设每天要想获得S元的利润，则每件商品应降价m元，由销售问题的数量关系建立函数解析式，由二次函数性质求出其解即可．
【详解】解：（1）设每次降价的百分率为．
（不符合题意，舍去）
答：该商品连续两次下降的百分率为；
（2）设降价元，利润为元.
则
，即售价为元时，可获最大利润元
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程和二次函数的应用，解（1）关键是根据题意找到等量关系，解（2）的关键是解决销量与价格变化关系，列出函数解析式，解答即可．
21、（1）y=﹣x+5，y=；（2）
【分析】（1）由点B在反比例函数图象上，可求出点B的坐标，将点A的坐标代入反比例函数即可求出反比例函数解析式；将点A和点B的坐标代入一次函数y=k1x+b即可求出一次函数解析式；
（2）延长AB交x轴与点C，由一次函数解析式可找出点C的坐标，通过分割图形利用三角形的面积公式即可得出结论；
【详解】⑴解：将A（1,4）代入y=，
得k2=4，
∴该反比例函数的解析式为y=，
当x=4时代入该反比例函数解析式可得y=1，即点B的坐标为（4，1），
将A（1，4）B（4，1）代入y=k1x+b中，
得，
解得k1=﹣1，b=5，
∴该一次函数的解析式为y=﹣x+5；
（2）设直线y=﹣x+5与x轴交于点C，如图，
当y=0时，−x+5=0，
解得：x=5，
则C（5，0），
∴S△AOB=S△AOC−S△BOC=×5×4−×5×1=．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式以及解二元一次方程组，掌握知识点是解题的关键．
22、（1）见解析；（2）
【分析】(1)根据题意，证出EN与OE垂直即可；
(2)求线段的长一般构造直角三角形,利用勾股定理来求解.在Rt△OEN、Rt△OCN△中，EN²=ON²-OE²,ON²=OC²+CN²,CN=4-EN代入可求EN；同理构造直角三角形Rt△AED、Rt△EDB、Rt△DCB,AE²=AD²-DE²,DE²=DB²-BE²,DB²=CD²+CB²=1²+4²=17,代入求AE.
【详解】证明:连接
是的垂直平分线
即
是半径
是圆的切线
解：连接
设长为，则
，圆的半径为
解得,所以
连接设
∴AB=5,
∵AD是直径,
∴△ADE是直角三角形
则
为直径，
∴△DEB是直角三角形，
即(2²-y²)+(5-y) ²=17
解得
【点睛】
本题考查了切线的判定，勾股定理的运用，在运用勾股定理时需要构造与所求线段有关的直角三角形，问题关键是找到已知线段和所求线段之间的关系.
23、
【分析】由三角形面积和边长可求出对应边的高，再由勾股定理求出余弦所需要的边长即可解答．
【详解】解：过点点作于点，
∵的面积，
∴，
在中，由勾股定理得，
所以
【点睛】
本题考查了解直角三角形，掌握余弦的定义（余弦=邻边：斜边）和用面积求高是解题的关键．
24、（1）结果见解析；（2）不公平，理由见解析.
【解析】判断游戏是否公平，即是看双方取胜的概率是否相同，若相同，则公平，不相同则不公平．
25、（1）y=－x2+2x+3；（2）F（，）；（3）n=，T(0，-)或n=-，T(0，).
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）作FH⊥AD，过点F作FM⊥x轴，交AD与M，易知当S△FAD最大时，点F到直线AD距离FH最大，求出直线AD的解析式，设F(t，－t2+2t+3)，M(t，t+1)，表示出△FAD的面积，然后利用二次函数的性质求解即可；
（3）分AP为对角线和AM为对角线两种情况求解即可.
【详解】解：（1）∵抛物线x轴相交于点A（－1，0），B（3，0），
∴设该抛物线对应的二次函数关系式为y=a(x+1)(x－3)，
∵点D（2，3）在抛物线上，
∴3=a×(2+1) ×(2－3)，
∴3=－3a，
∴a=－1，
∴y=－(x+1)(x－3)，
即y=－x2+2x+3；
（2）如图1，作FH⊥AD，过点F作FM⊥x轴，交AD与M，易知当S△FAD最大时，点F到直线AD距离FH最大，
设直线AD为y=kx+b，
∵A(－1，0)，D(2，3)，
∴，
∴，
∴直线AD为y=x+1.
设点F的横坐标为t，则F(t，－t2+2t+3)，M(t，t+1)，
∵S△FAD= S△AMF+ S△DMF=MF(Dx-Ax)
= ×3（－t2+2t+3-t-1）=×3(－t2+t+2)
=－(t－)2+，
∴即当t=时，S△FAD最大，
∵当x=时，y=－()2+2×+3=，
∴F(，)；
（3）∵y=－x2+2x+3=-(x-1)2+4，
∴顶点M(1，4).
当AP为对角线时，如图2，
设抛物线对称轴交x轴于点R，作PS⊥MR，
∵∠PMS+∠AMR=90°， ∠MAR+∠AMR=90°，
∴∠PMA=∠MAR，
∵∠PSM=∠ARM=90°，
∴△PMS∽△MAR，
∴，
∴，
∴MS=，
∴OP=RS=4+=，
∴n=；
延长QA交y轴于T，
∵PM∥AQ，
∴∠MPO=∠OAM，
∵∠MPS+∠MPO=90°， ∠OAT+∠OAM=90°，
∴∠MPS=∠OAT.
又∵PS=OA=1，∠PSM=∠AOT=90°，
∴△PSM≌△AOT，
∴AT=PM=AQ，OT=MS=.
∵AM⊥AQ，
∴T和Q关于AM对称，
∴T(0，-)；
当AQ为对角线时，如图3，
过A作SR⊥x轴，作PS⊥SR于S，作MR⊥SR于R，
∵∠RAM+∠SAP=90°， ∠SAP+∠SPA=90°，
∴∠RAM=∠SPA，
∵∠PSA=∠ARM=90°，
∴△PSA∽△ARM，
∴，
∴，
∴AS=，
∴OP=，
∴n=-；
延长QM交y轴于T，
∵QM∥AP，
∴∠APT=∠MTP，
∵∠OAP+∠APT=90°， ∠GMT+∠MTP=90°，
∴∠OAP=∠GMT.
又∵GM=OA=1，∠AOP=∠MGT=90°，
∴△OAP≌△GMT，
∴MT=AP=MQ，GT=OP=.
∵AM⊥TQ，
∴T和Q关于AM对称，
∵OT=4+=，
∴T(0，).
综上可知，n=，T(0，-)或n=-，T(0，).
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数和一次函数解析式，割补法求图形的面积，利用二次函数求最值，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，以及分类讨论的数学思想，用到的知识点较多，难度较大，树中考压轴题.
26、（1）40，补图详见解析；（2）108°；（3）．
【分析】（1）由一等奖人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去一等奖、三等奖人数求出二等奖人数即可补全图形；
（2）用360°乘以二等奖人数所占百分比可得答案；
（3）画出树状图，由概率公式即可解决问题．
【详解】解：（1）本次比赛获奖的总人数为4÷10%＝40（人），
二等奖人数为40﹣（4+24）＝12（人），
补全条形图如下：
（2）扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数为360°×＝108°；
（3）树状图如图所示，
∵从四人中随机抽取两人有12种可能，恰好是甲和乙的有2种可能，
∴抽取两人恰好是甲和乙的概率是＝．
【点睛】
此题主要考查统计图的运用及概率的求解，解题的关键是根据题意列出树状图，再利用概率告诉求解.
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