资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．抛物线y＝3x2﹣6x+4的顶点坐标是（ ）
A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣2） D．（1，2）
2．下列语句中，正确的有（ ）
A．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等 B．平分弦的直径垂直于弦
C．长度相等的两条弧相等 D．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴
3．将点A(2，1)向右平移2个单位长度得到点A′，则点A′的坐标是（ ）
A．(0，1) B．(2，﹣1) C．(4，1) D．(2，3)
4．如图，为的直径，点为上一点，，则劣弧的长度为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知抛物线y=ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：
①该抛物线的对称轴在y轴左侧；
②关于x的方程ax2+bx+c+2=0无实数根；
③a﹣b+c≥0；
④的最小值为1．
其中，正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．1个 D．4个
6．某人沿倾斜角为β的斜坡前进100m，则他上升的最大高度是( )m
A． B． C． D．
7．下列各组图形中，两个图形不一定是相似形的是（ ）
A．两个等边三角形 B．有一个角是的两个等腰三角形
C．两个矩形 D．两个正方形
8．下列函数属于二次函数的是
A． B．
C． D．
9．下面四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是中心对称图形的是( )
A． B． C． D．
10．如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、A3，…，An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠的面积之和是（ ）
A．n B．n-1
C．4n D．4（n-1）
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．已知关于x的函数满足下列条件：①当x＞0时，函数值y随x值的增大而减小；②当x＝1时，函数值y＝1．请写一个符合条件函数的解析式：_____．（答案不唯一）
12．在△ABC中，∠C=90°，若tanA=，则sinB=______．
13．如图，将矩形绕点旋转至矩形位置，此时的中点恰好与点重合，交于点.若，则的面积为__________．
14．有一列数，，，，，，则第个数是_______．
15．如图，点，，都在上，连接，，，，，，则的大小是______．
16．分解因式：x3﹣16x＝______．
17．计算：＝______.
18．如图，正方形EFGH的四个顶点分别在正方形ABCD的四条边上，若正方形EFGH与正方形ABCD的相似比为，则（）的值为_____.
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，BC是半圆O的直径，D是弧AC的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E．
（1）求证：△DCE∽△DBC；
（2）若CE=，CD=2，求直径BC的长．
20．（6分）在不透明的箱子中，装有红、白、黑各一个球，它们除了颜色之外，没有其他区别．
（1）随机地从箱子里取出一个球，则取出红球的概率是多少？
（2）随机地从箱子里取出1个球，然后放回，再摇匀取出第二个球，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求两次取出相同颜色球的概率．
21．（6分）如图，在△ABC中，点O为BC边上一点，⊙O经过A、B两点，与BC边交于点E，点F为BE下方半圆弧上一点，FE⊥AC，垂足为D，∠BEF＝2∠F．
（1）求证：AC为⊙O切线．
（2）若AB＝5，DF＝4，求⊙O半径长．
22．（8分）若a≠0且a2﹣2a＝0，求方程16x2﹣4ax+1＝3﹣12x的根．
23．（8分）在△ABC中，∠C＝90°．
（1）已知∠A＝30°，BC＝2，求AC、AB的长；
（2）己知tanA＝，AB＝6，求AC、BC的长．
24．（8分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O交AC于点D，连接BD．
（1）求证：∠A＝∠CBD．
（2）若AB＝10，AD＝6，M为线段BC上一点，请写出一个BM的值，使得直线DM与⊙O相切，并说明理由．
25．（10分）如图，某市郊外景区内一条笔直的公路经过、两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点.经测量，位于的北偏东的方向上，的北偏东的方向上，且.
(1)求景点与的距离.
(2)求景点与的距离.(结果保留根号)
26．（10分）小明和小亮用三枚质地均匀的硬币做游戏，游戏规则是：同时抛掷这三枚硬币，出现两枚正面向上，一枚正面向下，则小明赢；出现两枚正面向下，一枚正面向上，则小亮赢．这个游戏规则对双方公平吗？请你用树状图或列表法说明理由．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【解析】利用二次函数的性质可求出抛物线的顶点坐标，此题得解（利用配方法找出顶点坐标亦可）．
【详解】∵a=3，b=﹣6，c=4，∴抛物线的顶点坐标为（），即（1，1）．
故选A．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，牢记“二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（）”是解题的关键．
2、A
【解析】试题分析：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，故B错误；长度和度数都相等的两条弧相等，故C错误；圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，故D错误；则本题选A．
3、C
【分析】把点（2，1）的横坐标加2，纵坐标不变即可得到对应点的坐标．
【详解】解：∵将点（2，1）向右平移2个单位长度，
∴得到的点的坐标是（2+2，1），
即：（4，1），
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了坐标系中点的平移规律，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
4、A
【分析】根据“直径所对圆周角为90°”可知为直角三角形，在可求出∠BAC的正弦值，从而得到∠BAC的度数，再根据圆周角定理可求得所对圆心角的度数，最后利用弧长公式即可求解．
【详解】∵AB为直径，AO=4，
∴∠ACB=90°，AB=8，
在中，AB=8，BC=，
∴sin∠BAC=，
∵sin60°=，
∴∠BAC=60°，
∴所对圆心角的度数为120°，
∴的长度=．
故选：A．
【点睛】
本题考查弧长的计算，明确圆周角定理，锐角三角函数及弧长公式是解题关键，注意弧长公式中的角度指的是圆心角而不是圆周角．
5、D
【解析】本题考察二次函数的基本性质，一元二次方程根的判别式等知识点.
【详解】解：∵，∴抛物线的对称轴 <0，∴该抛物线的对称轴在轴左侧，故①正确；∵抛物线与轴最多有一个交点，∴ ∴关于的方程中∴关于的方程无实数根，故②正确；∵抛物线与轴最多有一个交点，∴当 时，≥0正确，故③正确；当时， ，故④正确.
故选D.
【点睛】
本题的解题关键是熟悉函数的系数之间的关系，二次函数和一元二次方程的关系，难点是第四问的证明，要考虑到不等式的转化.
6、B
【分析】设他上升的最大高度是hm，根据坡角及三角函数的定义即可求得结果.
【详解】设他上升的最大高度是hm，由题意得
，解得
故选：B.
7、C
【分析】根据相似图形的定义，以及等边三角形，等腰三角形，矩形，正方形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、两个等边三角形，对应边的比相等，角都是60°，相等，所以一定相似，故A正确；
B、有一个角是100°的两个等腰三角形，100°的角只能是顶角，夹顶角的两边成比例，所以一定相似，故B正确；
C、两个矩形，四个角都是直角，但四条边不一定对应成比例，不一定相似，故C错误；
D、两个正方形，对应边的比相等，角都是90°，相等，所以一定相似，故D正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似图形的判断，严格按照定义，对应边成比例，对应角相等进行判断即可，另外，熟悉等腰三角形，等边三角形，正方形的性质对解题也很关键．
8、A
【分析】一般地，我们把形如y=ax²+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数.
【详解】由二次函数的定义可知A选项正确，B和D选项为一次函数，C选项为反比例函数.
【点睛】
了解二次函数的定义是解题的关键.
9、D
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，解答即可．
【详解】解：A、不符合中心对称图形的定义，因此不是中心对称图形，故A选项错误；
B、不符合中心对称图形的定义，因此不是中心对称图形，故B选项错误；
C、不符合中心对称图形的定义，因此不是中心对称图形，故C选项错误；
D、符合中心对称图形的定义，因此是中心对称图形，故D选项正确；
故答案选D．
【点睛】
本题考查了中心对称图形的概念，理解中心对称图形的概念是解题关键．
10、B
【分析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为（n-1）个阴影部分的和．
【详解】解：
如图示，由分别过点A1、A2、A3，垂直于两边的垂线，由图形的割补可知：一个阴影部分面积等于正方形面积的，即阴影部分的面积是，
n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：．
故选：B．
【点睛】
此题考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、y＝（答案不唯一）．
【分析】根据反比例函数的性质解答．
【详解】解：根据反比例函数的性质关于x的函数当x＞0时，函数值y随x值的增大而减小，则函数关系式为y＝（k＞0），把当x＝1时，函数值y＝1，代入上式得k＝1，符合条件函数的解析式为y＝（答案不唯一）．
【点睛】
此题主要考察反比例函数的性质，判断k与零的大小是关键.
12、
【解析】分析：直接根据题意表示出三角形的各边，进而利用锐角三角函数关系得出答案．
详解：如图所示：
∵∠C=90°，tanA=，
∴设BC=x，则AC=2x，故AB=x，
则sinB=.
故答案为： ．
点睛：此题主要考查了锐角三角函数关系，正确表示各边长是解题关键．
13、
【分析】根据旋转后AC的中点恰好与D点重合，利用旋转的性质得到直角三角形ACD中，∠ACD=30°，再由旋转后矩形与已知矩形全等及矩形的性质得到∠DAE为30°，进而得到∠EAC=∠ECA，利用等角对等边得到AE=CE，设AE=CE=x，表示出AD与DE，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出EC的长，即可求出三角形AEC面积．
【详解】∵旋转后AC的中点恰好与D点重合，
即AD= AC′=AC，
∴在Rt△ACD中，∠ACD=30°，即∠DAC=60°，
∴∠DAD′=60°，
∴∠DAE=30°，
∴∠EAC=∠ACD=30°，
∴AE=CE，
在Rt△ADE中，设AE=EC=x，
∵AB=CD=6
∴DE=DC-EC=AB-EC=6-x，AD=CD×tan∠ACD=×6=2，
根据勾股定理得：x2=（6-x）2+（2 ）2，
解得：x=4，
∴EC=4，
则S△AEC=EC•AD=4
故答案为：4
【点睛】
此题考查了旋转的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
14、
【分析】原来的一列数即为，，，，，，于是可得第n个数是，进而可得答案．
【详解】解：原来的一列数即为：，，，，，，
∴第100个数是．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了数的规律探求，属于常考题型，熟练掌握二次根式的性质、找到规律是解题的关键．
15、
【分析】根据题意可知△ABC是等腰三角形，∠BAO=20°，可得出∠AOB的度数，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得出答案．
【详解】解：∵AO=OB
∴△AOB是等腰三角形
∵∠BAO=20°
∴∠OBA=20°，∠AOB=140°
∵∠AOB=2∠ACB
∴∠ACB=70°
故答案为：70°
【点睛】
本题主要考查的是同弧所对的圆周角是圆心角的一半以及圆的基本性质，掌握这两个知识点是解题的关键．
16、x（x+4）（x–4）.
【解析】先提取x，再把x2和16=42分别写成完全平方的形式，再利用平方差公式进行因式分解即可．
解：原式=x（x2﹣16）=x（x+4）（x﹣4），
故答案为x（x+4）（x﹣4）．
17、4
【分析】直接利用零指数幂的性质和绝对值的性质分别化简得出答案.
【详解】解：原式＝1+3＝4.
故答案为：4.
【点睛】
此题主要考查了零指数幂的性质和绝对值的性质，正确化简各数是解题关键．
18、
【分析】根据题意，由AAS证明△AEH≌△BFE，则BE=AH，根据相似比为，令EH=，AB=，设AE=，AH=，在直角三角形AEH中，利用勾股定理，即可求出的值，即可得到答案.
【详解】解：在正方形EFGH与正方形ABCD中，
∠A=∠B=90°，EF=EH，∠FEH=90°，
∴∠AEH+∠AHE=90°，∠BEF+∠AEH=90°，
∴∠AHE=∠BEF，
∴△AEH≌△BFE（AAS），
∴BE=AH，
∵，
令EH=，AB=，
在直角三角形AEH中，设AE=，AH=AB-AE=，
由勾股定理，得，
即，
解得：或，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：.
【点睛】
本题考查了相似四边形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是利用勾股定理求出AE和BE的长度.
三、解答题(共66分)
19、（1）见解析；（2）2
【分析】（1）由等弧所对的圆周角相等可得∠ACD=∠DBC，且∠BDC=∠EDC，可证△DCE∽△DBC；
（2）由勾股定理可求DE=1，由相似三角形的性质可求BC的长．
【详解】（1）∵D是弧AC的中点，
∴，
∴∠ACD=∠DBC，且∠BDC=∠EDC，
∴△DCE∽△DBC；
（2）∵BC是直径，
∴∠BDC=90°，
∴DE1．
∵△DCE∽△DBC，
∴，
∴，
∴BC=2．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，证明△DCE∽△DBC是解答本题的关键．
20、（1）；（2）
【分析】（1）已知由在一个不透明的箱子里，装有红、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别，所以可利用概率公式求解即可；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次取出相同颜色球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：（1）∵在一个不透明的箱子里，装有红、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别，∴随机地从箱子里取出1个球，则取出红球的概率是；
（2）画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次取出相同颜色球的有3种情况，
∴两次取出相同颜色球的概率为：
．
考点：用列表法或树状图法求概率．
21、（1）见解析；（2）
【分析】（1）连结OA，根据已知条件得到∠AOE＝∠BEF，根据平行线的性质得到OA⊥AC，于是得到结论；
（2）连接OF，设∠AFE＝α，则∠BEF＝2α，得到∠BAF＝∠BEF＝2α，得到∠OAF＝∠BAO＝α，求得∠AFO＝∠OAF＝α，根据全等三角形的性质得到AB＝AF＝5，由勾股定理得到AD＝＝3，根据圆周角定理得到∠BAE＝90°，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解（1）证明：连结OA，
∴∠AOE＝2∠F，
∵∠BEF＝2∠F，
∴∠AOE＝∠BEF，
∴AO∥DF，
∵DF⊥AC，
∴OA⊥AC，
∴AC为⊙O切线；
（2）解：连接OF，
∵∠BEF＝2∠F，
∴设∠AFE＝α，则∠BEF＝2α，
∴∠BAF＝∠BEF＝2α，
∵∠B＝∠AFE＝α，
∴∠BAO＝∠B＝α，
∴∠OAF＝∠BAO＝α，
∵OA＝OF，
∴∠AFO＝∠OAF＝α，
∴△ABO≌△AFO（AAS），
∴AB＝AF＝5，
∵DF＝4，
∴AD＝＝3，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠FDA，
∵∠B＝∠AFD，
∴△ABE∽△DFA，
∴＝，
∴＝，
∴BE＝，
∴⊙O半径＝．
【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
22、x1＝﹣，x2＝
【分析】由a≠0且a2﹣2a＝0，得a＝2，代入方程16x2﹣4ax+1＝3﹣12x，求得根即可
【详解】解：∵a≠0且a2﹣2a＝0，
∴a（a﹣2）＝0，
∴a＝2，
故方程16x2﹣8x+1＝3﹣12x，
整理得8x2+2x﹣1＝0，
（2x+1）（4x﹣1）＝0，
解得．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，正确理解题意.熟练掌握一元二次方程的解法步骤是解决本题的关键.
23、（1）AB＝4，AC＝2；（2）BC＝2，AC＝1．
【分析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质即可得到结论；
（2）解直角三角形即可得到结论．
【详解】（1）在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝2BC＝4，AC＝BC＝2；
（2）在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，AB＝6，
∴＝，
∴设BC＝k，AC＝4k，
∴AB＝＝3k＝6，
∴k＝2，
∴BC＝k＝2，AC＝4k＝1．
【点睛】
本题考查了含30°角的直角三角形，解直角三角形，正确的理解题意是解题的关键．
24、（1）证明见解析；（2）BM＝，理由见解析．
【分析】（1）利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，然后就利用等角的余角相等得到结论；
（2）如图，连接OD，DM，先计算出BD＝8，OA＝5，再证明Rt△CBD∽Rt△BAD，利用相似比得到BC＝，取BC的中点M，连接DM、OD，如图，证明∠2＝∠4得到∠ODM＝90°，根据切线的判定定理可确定DM为⊙O的切线，然后计算BM的长即可．
【详解】（1）∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A+∠ABD＝90°．
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBD+∠ABD＝90°，
∴∠A＝∠CBD；
（2）BM＝．
理由如下：
如图，连接OD，DM，
∵∠ADB＝90°，AB＝10，AD＝6，
∴BD＝＝8，OA＝5，
∵∠A＝∠CBD，
∵Rt△CBD∽Rt△BAD，
∴＝，即＝，解得BC＝
取BC的中点M，连接DM、OD，如图，
∵DM为Rt△BCD斜边BC的中线，
∴DM＝BM，
∵∠2＝∠4，
∵OB＝OD，
∴∠1＝∠3，
∴∠1+∠2＝∠3+∠4＝90°，即∠ODM＝90°，
∴OD⊥DM，
∴DM为⊙O的切线，
此时BM＝BC＝．
【点睛】
本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理，掌握切线的判定定理及圆周角定理是关键．
25、 (1)BC=10km；(2)AC=10km.
【分析】（1）由题意可求得∠C =30°，进一步根据等角对等边即可求得结果；
（2）分别在和中利用锐角三角函数的知识解直角三角形即可求得结果.
【详解】解：(1)过点作直线，垂足为，如图所示.
根据题意，得：，，
∴∠C=∠CBD－∠CAD=30°，
∴∠CAD=∠C，
∴BC=AB=.
(2) 在中，，∴，
在中，，∴.
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，属于基本题型，熟练掌握锐角三角函数的知识是解题的关键.
26、此游戏对双方公平，理由见详解．
【分析】用列表法或树状图将所有可能出现的情况表示出来，然后计算“两枚正面向上，一枚正面向下”和“ 出现两枚正面向下，一枚正面向上”的概率是否相等，如果相等，则说明游戏公平，反之则不公平．
【详解】答：此游戏对双方公平．
根据树状图或列表分析抛掷三枚硬币可出现8种情况，其中“两正一反”和“两反一正”的情况各有3种，所以“出现两枚正面向上，一枚正面向下”的概率和“出现两枚正面向下，一枚正面向上”的概率都是．
【点睛】
本题主要考查用树状图或列表法求随机事件的概率，能够用树状图或列表法将所有可能出现的情况表示出来是解题的关键．
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