资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，切于两点，切于点，交于．若的周长为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣1
3．某同学在解关于x的方程ax2+bx+c＝0时，只抄对了a＝1，b＝﹣8，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c是原方程的c的相反数，则原方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个根是x＝1 D．不存在实数根
4．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点(4，2)，则的值是( )
A． B． C． D．2
5．已知点是线段的黄金分割点，且，，则长是（ ）
A． B． C． D．
6．方程x2﹣2x﹣4=0的根的情况（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
7．如图，A、B、C是⊙O上的三点，已知∠O＝50°， 则∠C的大小是（ ）
A．50° B．45° C．30° D．25°
8．关于抛物线的说法中，正确的是（ ）
A．开口向下 B．与轴的交点在轴的下方
C．与轴没有交点 D．随的增大而减小
9．五张完全相同的卡片上，分别写有数字1，2，3，4，5，现从中随机抽取一张，抽到的卡片上所写数字小于3的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，D为AC上一点，连接BD，且，则DC长为（ ）
A．2 B． C． D．5
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，已知点A，点C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，OC交AB于点D，若CD＝OD，则△AOD与△BCD的面积比为__．
12．在△ABC中，∠B＝45°，cosA＝，则∠C的度数是_____．
13．如图，已知四边形ABCD是菱形，BC∥x轴，点B的坐标是(1，)，坐标原点O是AB的中点.动圆⊙P的半径是，圆心在x轴上移动，若⊙P在运动过程中只与菱形ABCD的一边相切，则点P的横坐标m 的取值范围是_________．
14．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③一元二次方程的解是，；④当时，，其中正确的结论有__________．
15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为_____．
16．抛物线的开口方向是_____．
17．庆“元旦”，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，求这次有多少队参加比赛？若设这次有x队参加比赛，则根据题意可列方程为_____．
18．在一个不透明的口袋中装有5个除了标号外其余都完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号小于4的概率为_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．
（1）求证：∠ACO=∠BCD．
（2）若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直径．
20．（6分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B 两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）结合图形，直接写出一次函数大于反比例函数时自变量x的取值范围．
21．（6分）某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于90%，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示：
（1）根据图象，直接写出y与x的函数关系式；
（2）该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元
（3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
22．（8分）用你喜欢的方法解方程
（1）x2﹣6x﹣6＝0
（2）2x2﹣x﹣15＝0
23．（8分）解方程：x(x－2)＋x－2＝1．
24．（8分）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？
25．（10分）如图，已知、两点的坐标分别为，，直线与反比例函数的图象相交于点和点．
（1）求直线与反比例函数的解析式；
（2）求的度数；
（3）将绕点顺时针方向旋转角(为锐角)，得到，当为多少度时，并求此时线段的长度．
26．（10分）某无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图），此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为37°，测得点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米，求教学楼BC的高度．（注：点A,B,C,D都在同一平面上．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】利用切线长定理得出 ，然后再根据的周长即可求出PA的长．
【详解】∵切于两点，切于点，交于
∴的周长为
∴
故选：A．
【点睛】
本题主要考查切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键．
2、D
【详解】解：根据一元二次方程根的判别式得，
△，
解得a=﹣1．
故选D．
3、A
【分析】直接把已知数据代入进而得出c的值，再解方程根据根的判别式分析即可．
【详解】∵x＝﹣1为方程x2﹣8x﹣c＝0的根，
1+8﹣c＝0，解得c＝9，
∴原方程为x2－8x＋9＝0，
∵＝（﹣8）2－4×9＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，根的情况由来判别，当＞0时，方程有两个不相等的实数根，当＝0时，方程有两个相等的实数根，当＜0时，方程没有实数根．
4、A
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数和图象中的数据即可解答本题．
【详解】如图：
过点（4，2）作直线CD⊥x轴交OA于点C，交x轴于点D，
∵在平面直角坐标系中，直线OA过点（4，2），
∴OD=4，CD=2，
∴tanα=＝＝，
故选A．
【点睛】
本题考查解直角三角形、坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．
5、C
【分析】利用黄金分割比的定义即可求解.
【详解】由黄金分割比的定义可知
∴
故选C
【点睛】
本题主要考查黄金分割比，掌握黄金分割比是解题的关键.
6、B
【详解】Δ=b2－4ac=（－2）2－4×1×（－4）=20＞0，所以方程有两个不相等的实数根.
故选B.
【点睛】
一元二次方程根的情况：
（1）b2－4ac＞0，方程有两个不相等的实数根；
（2）b2－4ac=0，方程有两个相等的实数根；
（3）b2－4ac＜0，方程没有实数根.
注：若方程有实数根，那么b2－4ac≥0.
7、D
【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．
【详解】解：∵∠C与∠AOB是同弧所对的圆周角与圆心角，
∵∠AOB=2∠C=50°，
∴∠C=∠AOB=25°．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
8、C
【分析】根据题意利用二次函数的性质，对选项逐一判断后即可得到答案．
【详解】解：A. ，开口向上，此选项错误；
B. 与轴的交点为（0，21），在轴的上方，此选项错误；
C. 与轴没有交点，此选项正确；
D. 开口向上，对称轴为x=6，时随的增大而减小，此选项错误.
故选：C.
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，熟练掌握并利用二次函数的性质解答．
9、B
【分析】用小于3的卡片数除以卡片的总数量可得答案．
【详解】由题意可知一共有5种结果，其中数字小于3的结果有抽到1和2两种，所以．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
10、C
【分析】利用等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C=∠BDC，可判定△ABC∽△BCD，利用相似三角形对应边成比例即可求出DC的长.
【详解】∵AB=AC=6
∴∠ABC=∠C
∵BD=BC=4
∴∠C=∠BDC
∴∠ABC=∠BCD，∠ACB=∠BDC
∴△ABC∽△BCD
∴
∴
故选C.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是找到两组对应角相等判定相似三角形.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1．
【分析】作CE⊥x轴于E，如图，利用平行线分线段成比例得到＝＝＝，设D（m，n），则C（2m，2n），再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k＝4mn，则A（m，4n），然后根据三角形面积公式用m、n表示S△AOD和S△BCD，从而得到它们的比．
【详解】作CE⊥x轴于E，如图，
∵DB∥CE，
∴＝＝＝，
设D（m，n），则C（2m，2n），
∵C（2m，2n）在反比例函数图象上，
∴k＝2m×2n＝4mn，
∴A（m，4n），
∵S△AOD＝×（4n﹣n）×m＝mn，S△BCD＝×（2m﹣m）×n＝mn
∴△AOD与△BCD的面积比＝mn：mn＝1．
故答案为1．
【点睛】
考核知识点：平行线分线段成比例，反比例函数；数形结合，利用平行线分线段成比例，反比例函数定义求出点的坐标关系是关键.
12、75°
【解析】已知在△ABC中°，cosA＝，可得∠A=60°，又因∠B＝45，根据三角形的内角和定理可得∠C=75°.
13、或或或
【分析】若⊙P在运动过程中只与菱形ABCD的一边相切，则需要对此过程分四种情况讨论，根据已知条件计算出m的取值范围即可．
【详解】解：由B点坐标(1，)，及原点O是AB的中点可知AB=2，直线AB与x轴的夹角为60°，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=BC=CD=2，
设DC与x轴相交于点H，则OH=4，
（1）当⊙P与DC边相切于点E时，连接PE，如图所示，
由题意可知PE=，PE⊥DC，∠PHE=60°，
∴PH=2，
∴此时点P坐标为(-6,0)，所以此时．
（2）当⊙P只与AD边相切时，如下图，
∵PD=，∴PH=1，
∴此时，
当⊙P继续向右运动，同时与AD，BC相切时，PH=1，所以此时，
∴当时，⊙P只与AD相切；
，
（3）当⊙P只与BC边相切时，如下图，
⊙P与AD相切于点A时，OP=1，此时m=-1，
⊙P与AD相切于点B时，OP=1，此时m=1，
∴当，⊙P只与BC边相切时；
，
（4）当⊙P只与BC边相切时，如下图，
由题意可得OP=2，
∴此时．
综上所述，点P的横坐标m 的取值范围或或或．
【点睛】
本题考查圆与直线的位置关系，加上动点问题，此题难度较大，解决此题的关键是能够正确分类讨论，并根据已知条件进行计算求解．
14、①②④
【分析】①由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点在y轴的正半轴上得到c＞0，由对称轴为，得到b＜0，可以①进行分析判断；
②由对称轴为，得到2a=b，b-2a=0，可以②进行分析判断；
③对称轴为x=-1，图象过点（-4，0），得到图象与x轴另一个交点（2，0），可对③进行分析判断；
④抛物线开口向下，图象与x轴的交点为（-4，0），（2，0），即可对④进行判断．
【详解】解：①∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∵对称轴为＜0
∴b＜0，
∴abc＞0，故①正确；
②∵对称轴为，
∴2a=b，
∴2a-b=0，故②正确；
③∵对称轴为x=-1，图象过点A（-4，0），
∴图象与x轴另一个交点（2，0），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解为x=-4或x=2，故③错误；
④∵抛物线开口向下，图象与x轴的交点为（-4，0），（2，0），
∴当y＞0时，-4＜x＜2，故④正确；
∴其中正确的结论有：①②④；
故答案为：①②④.
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解答此类问题的关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，解题时要注意数形结合思想的运用．
15、
【分析】由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DMAN是矩形，可得MN=AD，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．
【详解】解：∵∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，
∴BC＝＝10，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，
∴四边形DMAN是矩形，
∴MN＝AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，
∴AD＝＝，
∴MN的最小值为；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16、向上
【分析】根据二次项系数的符号即可确定答案．
【详解】其二次项系数为2，且二次项系数：2>0，
所以开口方向向上，
故答案为：向上．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，熟知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的开口方向与a的值有关是解题的关键．
17、＝45
【分析】设这次有x队参加比赛，由于赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），则此次比赛的总场数为：场．根据题意可知：此次比赛的总场数＝45场，依此等量关系列出方程．
【详解】解：设这次有x队参加比赛，则此次比赛的总场数为场，
根据题意列出方程得：＝45，
故答案是：．
【点睛】
考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题的关键在于理解清楚题意，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．需注意赛制是“单循环形式”，需使两两之间比赛的总场数除以1．
18、
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小．
【详解】解：根据题意可得：标号小于4的有1，2，3三个球，共5个球，
任意摸出1个，摸到标号小于4的概率是．
故答案为：
【点睛】
本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．
三、解答题(共66分)
19、（1）证明见解析；（2）⊙O的直径为26cm．
【分析】（1）由AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于E，根据垂径定理的即可求得CE＝ED，，然后由圆周角定理与等腰三角形的性质，即可证得：∠ACO＝∠BCD．
（2）设⊙O的半径为Rcm，得到OE=OB-EB=R-8，根据垂径定理得到CE=CD=24=12，利用在RtCEO中，由勾股定理列出方程，故可求解．
【详解】证明：（1）∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且ABCD于E，
∴CE=ED，，
∴BCD=BAC
∵OA=OC，
∴OAC=OCA，
∴ACO=BCD
（2）设⊙O的半径为Rcm，则OE=OB-EB=R-8，
CE=CD=24=12
在RtCEO中，由勾股定理可得
OC=OE+CE
R= (R8) +12
解得：R=13，
∴2R=213=26
答：⊙O的直径为26cm．
【点睛】
此题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
20、（1）；；（2）或；
【解析】（1）利用点A的坐标可求出反比例函数解析式，再把B（4，n）代入反比例函数解析式，即可求得n的值，于是得到一次函数的解析式；
（2）根据图象和A，B两点的坐标即可写出一次函数的值大于反比例函数时自变量x的取值范围．
【详解】（1） 过点，
，
反比例函数的解析式为；
点在 上，
，
，
一次函数过点，
，
解得：．
一次函数解析式为；
（2）由图可知，当或时，一次函数值大于反比例函数值．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是求出反比例函数解析式和一次函数的解析式．
21、（1）y＝﹣2x+260；（2）销售单价为80元；（3）销售单价为90元时，每天获得的利润最大，最大利润是3200元．
【分析】（1）由待定系数法可得函数的解析式；
（2）根据利润等于每件的利润乘以销售量，列方程可解；
（3）设每天获得的利润为w元，由题意得二次函数，写成顶点式，可求得答案．
【详解】（1）设y＝kx+b（k≠0，b为常数）
将点（50，160），（80，100）代入得
解得
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣2x+260
（2）由题意得：（x﹣50）（﹣2x+260）＝3000
化简得：x2﹣180x+8000＝0
解得：x1＝80，x2＝100
∵x≤50×（1+90%）＝95
∴x2＝100＞95（不符合题意，舍去）
答：销售单价为80元．
（3）设每天获得的利润为w元，由题意得
w＝（x﹣50）（﹣2x+260）
＝﹣2x2+360x﹣13000
＝﹣2（x﹣90）2+3200
∵a＝﹣2＜0，抛物线开口向下
∴w有最大值，当x＝90时， w最大值＝3200
答：销售单价为90元时，每天获得的利润最大，最大利润是3200元．
【点睛】
本题综合考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，难度中等略大．
22、（1）x1＝1+，x2＝1﹣；（2）x1＝﹣2.5，x2＝1
【分析】（1）先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可；
（2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】x2﹣6x﹣6＝0，
∵a=1，b=-6，c=-6，
∴b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×（﹣6）＝60，
x＝
x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）2x2﹣x﹣15＝0，
（2x+5）（x﹣1）＝0，
2x+5＝0，x﹣1＝0，
x1＝﹣2.5，x2＝1．
【点睛】
此题考查一元二次方程的解法，根据每个方程的特点选择适合的方法是关键，由此才能使计算更简便.
23、．
【分析】把方程中的x-2看作一个整体，利用因式分解法解此方程．
【详解】解：（x－2） （x+2）=2，
∴x－2=2或x+2=2，
∴x2=2，x2=-2．
24、10，1．
【解析】试题分析：可以设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为m，可以得出平行于墙的一边的长为m，由题意得出方程 求出边长的值．
试题解析：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为m，可以得出平行于墙的 一边的长为m，由题意得 化简，得，解得：
当时，（舍去），
当时，，
答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为1m．
考点：一元二次方程的应用题．
25、（1）直线AB的解析式为，反比例函数的解析式为；（2）∠ACO=30°；（3）当为60°时，OC'⊥AB，AB'=1．
【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），将A与B坐标代入求出k与b的值，确定出直线AB的解析式，将D坐标代入直线AB解析式中求出n的值，确定出D的坐标，将D坐标代入反比例解析式中求出m的值，即可确定出反比例解析式；
（2）联立两函数解析式求出C坐标，过C作CH垂直于x轴，在直角三角形OCH中，由OH与HC的长求出tan∠COH的值，利用特殊角的三角函数值求出∠COH的度数，在三角形AOB中，由OA与OB的长求出tan∠ABO的值，进而求出∠ABO的度数，由∠ABO-∠COH即可求出∠ACO的度数；
（3）过点B1作B′G⊥x轴于点G，先求得∠OCB=30°，进而求得α=∠COC′=60°，根据旋转的性质，得出∠BOB′=α=60°，解直角三角形求得B′的坐标，然后根据勾股定理即可求得AB′的长．
【详解】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
将A(0，1)，B(-1，0)代入得：
解得
，
故直线AB解析式为y=x+1，
将D(2，n)代入直线AB解析式得：n=2+1=6，
则D(2，6)，
将D坐标代入中，得：m=12，
则反比例解析式为；
（2）联立两函数解析式得：
解得解得：
或，
则C坐标为(-6，-2)，
过点C作CH⊥x轴于点H，
在Rt△OHC中，CH=，OH=3，
∵tan∠COH=，
∴∠COH=30°，
∵tan∠ABO=，
∴∠ABO=60°，
∴∠ACO=∠ABO-∠COH=30°；
（3）过点B′作B′G⊥x轴于点G，
∵OC′⊥AB，∠ACO=30°，
∴∠COC′=60°，
∴α=60°．
∴∠BOB′=60°，
∴∠OB′G=30°，
∵OB′=OB=1，
∴OG=OB′=2，B′G=2，
∴B′(-2，2)，
∴AB′==1．
【点睛】
此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，一次函数与x轴的交点，坐标与图形性质，勾股定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
26、4米
【分析】由题意过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，并利用解直角三角形进行分析求解即可.
【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F．
由题意得，AB=57，DE=30，∠A=37°，∠DCF=45°．
在Rt△ADE中，∠AED=90°，
∴tan37°=≈0.1．
∴AE=2．
∵AB=57，
∴BE=3．
∵四边形BCFE是矩形，
∴CF=BE=3．
在Rt△DCF中，∠DFC=90°，
∴∠CDF=∠DCF=45°．
∴DF=CF=3．
∴BC=EF=30－3=4．
答：教学楼BC高约4米．
【点睛】
本题考查解直角三角形得的实际应用，利用解直角三角形相关结合锐角三角函数进行分析.
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