资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（ ）
A． B．2 C． D．
2．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1
3．若一个正多边形的边长与半径相等，则这个正多边形的中心角是（ ）
A．45° B．60° C．72° D．90°
4．将函数的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A（1，4）的方法是（ ）
A．向左平移1个单位 B．向右平移3个单位
C．向上平移3个单位 D．向下平移1个单位
5．若点关于原点对称点的坐标是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．用配方法解方程配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校800名学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
下面有四个推断：
①从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月仅使用A支付的概率为0.3；
②从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率为0.45；
③估计全校仅使用B支付的学生人数为200人；
④这100名学生中，上个月仅使用A和仅使用B支付的学生支付金额的中位数为800元．
其中合理推断的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②③
8．将半径为5的圆形纸片，按如图方式折叠，若和都经过圆心，则图中阴影部分的面积是( )
A． B． C． D．
9．某校办工厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得三年的总产量达到1 400件．若设这个百分数为，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
10．下列事件中是必然事件是（ ）
A．明天太阳从西边升起
B．篮球队员在罚球线投篮一次，未投中
C．实心铁球投入水中会沉入水底
D．抛出一枚硬币，落地后正面向上
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，在四边形中，，，，点为边上一点，连接.，与交于点，且，若，，则的长为_______________.
12．如图，AE、BE是△ABC的两个内角的平分线，过点A作AD⊥AE．交BE的延长线于点D．若AD＝AB，BE：ED＝1：2，则cos∠ABC＝_____．
13．已知一组数据：4，2，5，0，1．这组数据的中位数是_____．
14．如图，点A，B是双曲线上的点，分别过点A，B作轴和轴的垂线段，若图中阴影部分的面积为2，则两个空白矩形面积的和为____________．
15．如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽米，坝高是20米，背水坡的坡角为30°，迎水坡的坡度为1∶2，那么坝底的长度等于________米（结果保留根号）
16．计算：sin30°=_____．
17．从一副扑克牌中取出两张红桃和两张黑桃，将这四张扑克牌洗匀后背面朝上，从中随机摸出两张牌，那么摸到两张都是红牌的概率是__________．
18．在长8cm，宽6cm的矩形中，截去一个矩形，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形面积是_______cm2
三、解答题(共66分)
19．（10分）（1）已知关于x的一元二次方程x2+（a+3）x+a+1＝1．求证：无论a取何值，原方程总有两个不相等的实数根：
（2）已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠1）中的x和y满足下表：
x
…
﹣1
1
1
2
3
…
y
…
3
1
﹣1
1
m
…
①观察上表可求得m的值为 ；
②试求出这个二次函数的解析式．
20．（6分）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，线段的端点、均在小正方形的顶点上.
（1）在方格纸中画出以为一条直角边的等腰直角，顶点在小正方形的顶点上.
（2）在方格纸中画出的中线，将线段绕点顺时针旋转得到线段，画出旋转后的线段，连接，直接写出四边形的面积.
21．（6分）如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一个动点，连接BE，作点A关于BE的对称点F，且点F落在矩形ABCD的内部，连接AF，BF，EF，过点F作GF⊥AF交AD于点G，设．
（1）求证：AE=GE；
（2）当点F落在AC上时，用含n的代数式表示的值；
（3）若AD=4AB，且以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形，求n的值．
22．（8分）如图，在中，是边上的一点，若，求证：.
23．（8分）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点并与轴的另一个交点为，且.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点为直线上方对称轴右侧抛物线上一点，当的面积为时，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接，作轴于，连接、，点为线段上一点，点为线段上一点，满足，过点作交轴于点，连接，当时，求的长.
24．（8分）内接于⊙，是直径，，点在⊙上.
(1)如图，若弦交直径于点，连接，线段是点到的垂线.
①问的度数和点的位置有关吗？请说明理由.
②若的面积是的面积的倍，求的正弦值.
(2)若⊙的半径长为，求的长度.
25．（10分）我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步)，只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步)，问阔及长各几步．”其大意是：一矩形田地面积为864平方步，宽比长少12步，问该矩形田地的长和宽各是多少步？请用已学过的知识求出问题的解．
26．（10分）计算：
解方程：
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【解析】试题分析：连结CD，可得CD为直径，在Rt△OCD中，CD=6，OC=2，根据勾股定理求得OD=4
所以tan∠CDO=，由圆周角定理得，∠OBC=∠CDO，则tan∠OBC=，故答案选C．
考点：圆周角定理；锐角三角函数的定义．
2、B
【分析】可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．
【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC=3：1，
∴DE：DC=3：4，
∴DE：AB=3：4，
∴S△DFE：S△BFA=9：1．
故选B．
3、B
【分析】利用正多边形的边长与半径相等得到正多边形为正六边形，然后根据正多边形的中心角定义求解．
【详解】解：因为正多边形的边长与半径相等，所以正多边形为正六边形，因此这个正多边形的中心角为60°．
故选B．
【点睛】
本题主要考查的是正多边形的中心角的概念，正确的理解正多边形的边长与半径相等得到正多边形为正六边形是解决问题的关键．
4、D
【解析】A.平移后，得y=(x+1)2，图象经过A点，故A不符合题意；
B.平移后，得y=(x−3)2，图象经过A点，故B不符合题意；
C.平移后，得y=x2+3，图象经过A点，故C不符合题意；
D.平移后，得y=x2−1图象不经过A点，故D符合题意；
故选D.
5、A
【分析】根据平面内关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数得出关于，的方程组，解之即可．
【详解】解：点，关于原点对称，
，
解得：．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
6、A
【分析】本题可以用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．
【详解】解：，
，
∴，
．
故选：．
【点睛】
此题考查配方法的一般步骤：
①把常数项移到等号的右边；
②把二次项的系数化为1；
③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
7、B
【分析】先把样本中的仅使用A支付的概率，A，B两种支付方式都使用的概率分别算出，再来估计总体该项的概率逐一进行判断即可.
【详解】解：∵样本中仅使用A支付的概率= ，
∴总体中仅使用A支付的概率为0.3.
故①正确.
∵样本中两种支付都使用的概率= 0.4
∴从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率为0.4；
故②错误.
估计全校仅使用B支付的学生人数为：800 =200（人）
故③正确.
根据中位数的定义可知，仅用A支付和仅用B支付的中位数应在0至500之间，故④错误.
故选B.
【点睛】
本题考查了用样本来估计总体的统计思想，理解样本中各项所占百分比与总体中各项所占百分比相同是解题的关键.
8、B
【解析】如图（见解析），先利用翻折的性质、直角三角形的性质求出的度数，再根据垂径定理、等腰三角形的性质得出度数，从而得出的度数，最后根据翻折的性质得出，利用扇形的面积公式即可得．
【详解】如图，过点O作，并延长OD交圆O与点E，连接OA、OB、OC
（垂径定理）
由翻折的性质得
（等腰三角形的三线合一）
同理可得
故选：B．
【点睛】
本题考查了垂径定理、翻折的性质、扇形的面积公式等知识点，利用翻折的性质得出的度数是解题关键．
9、B
【分析】根据题意：第一年的产量+第二年的产量+第三年的产量=1且今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数x．
【详解】解：已设这个百分数为x．
200+200（1+x）+200（1+x）2=1．
故选B．
【点睛】
本题考查对增长率问题的掌握情况，理解题意后以三年的总产量做等量关系可列出方程．
10、C
【解析】必然事件就是一定会发生的事件，即发生的概率是1的事件，依据定义即可解决．
【详解】解：A、明天太阳从西边升起，是不可能事件，故不符合题意；
B、篮球队员在罚球线投篮一次，未投中，是随机事件，故不符合题意；
C、实心铁球投入水中会沉入水底，是必然事件，故符合题意；
D、抛出一枚硬币，落地后正面向上，是随机事件，故不符合题意．
故选C．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【解析】由，知点A,C都在BD的垂直平分线上，因此，可连接交于点，易证是等边三角形，是等边三角形，根据等边三角形的性质对三角形中的线段进行等量转换即可求出OB,OC的长度，应用勾股定理可求解.
【详解】解：如图，连接交于点
∵，，，
∴垂直平分，是等边三角形
∴，，
∵
∴，
∴
∴
∴
∵
∴是等边三角形
∴
∴，
∴
∴
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理，综合运用等边三角形的判定与性质进行线段间等量关系的转换是解题的关键.
12、
【分析】取DE的中点F，连接AF，根据直角三角形斜边中点的性质得出AF＝EF，然后证得△BAF≌△DAE，得出AE＝AF，从而证得△AEF是等边三角形，进一步证得∠ABC＝60°，即可求得结论．
【详解】取DE的中点F，连接AF，
∴EF＝DF，
∵BE：ED＝1：2，
∴BE＝EF＝DF，
∴BF＝DE，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠D，
∵AD⊥AE，EF＝DF，
∴AF＝EF，
在△BAF和△DAE中
∴△BAF≌△DAE（SAS），
∴AE＝AF，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AED＝60°，
∴∠D＝30°，
∵∠ABC＝2∠ABD，∠ABD＝∠D，
∴∠ABC＝60°，
∴cos∠ABC＝cos60°＝，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
13、1
【分析】要求中位数，按从小到大的顺序排列后，找出最中间的一个数(或最中间的两个数的平均数)即可．
【详解】解：从小到大排列此数据为：0，2，1，4，5，第1位是1，则这组数据的中位数是1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了中位数的定义，解决本题的关键是熟练掌握中位数的概念及中位数的确定方法.
14、1．
【解析】试题分析：∵点A、B是双曲线上的点，∴S矩形ACOG=S矩形BEOF=6，∵S阴影DGOF=2，∴S矩形ACDF+S矩形BDGE=6+6﹣2﹣2=1，故答案为1．
考点：反比例函数系数k的几何意义．
15、
【分析】过梯形上底的两个顶点向下底引垂线、，得到两个直角三角形和一个矩形，分别解、求得线段、的长，然后与相加即可求得的长．
【详解】如图，作，，垂足分别为点E，F，则四边形是矩形．
由题意得，米，米，，斜坡的坡度为1∶2，
在中，∵，
∴米．
在Rt△DCF中，∵斜坡的坡度为1∶2，
∴，
∴米，
∴（米）．
∴坝底的长度等于米．
故答案为．
【点睛】
此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义．
16、
【解析】根据sin30°=直接解答即可．
【详解】sin30°=.
【点睛】
本题考查的知识点是特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练的掌握特殊角的三角函数值.
17、
【分析】根据题意列出所有等可能的结果数，然后根据概率公式求解.
【详解】所有情况数：红桃1，红桃2
红桃1，黑桃1
红桃1，黑桃2
红桃2，黑桃1
红桃2，黑桃2
黑桃1，黑桃2
共有6种等可能的情况，其中符合的有1种，所以概率为
【点睛】
本题主要考查概率的求法.
18、1
【解析】由题意，在长为8cm宽6cm的矩形中，截去一个矩形使留下的矩形与原矩形相似，根据相似形的对应边长比例关系，就可以求解．
【详解】解：设宽为xcm，
∵留下的矩形与原矩形相似，
解得
∴截去的矩形的面积为
∴留下的矩形的面积为48-21=1cm2，
故答案为：1．
【点睛】
本题就是考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键．
三、解答题(共66分)
19、（2）证明见解析；（2）①3；②y＝（x﹣2）2﹣2．
【分析】（2）△＝（a+3）2﹣4（a+2）＝a2+2a+5＝（a+2）2+4＞2，即可求解；
（2）①函数的对称轴为：x＝2，根据函数的对称轴知，m＝3，即可求解；
②函数的顶点坐标为（2，﹣2），故抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）2﹣2，将（2，2）代入上式并解得：a＝2，即可求解．
【详解】（2）△＝（a+3）2﹣4（a+2）＝a2+2a+5＝（a+2）2+4＞2，
故无论a取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）①函数的对称轴为：x＝2，
根据函数的对称性可得，m＝3，
故答案为：3；
②函数的顶点坐标为（2，﹣2），故抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）2﹣2，
将（2，2）代入上式得：2＝a（2﹣2）2﹣2，解得：a＝2，
故抛物线的表达式为：y＝（x﹣2）2﹣2．
【点睛】
此题考查一元二次方程根的判别式，二次函数的性质，待定系数法求函数的解析式，此题中能读懂表格中的数值变化是解题的关键.
20、（1）见解析；（2）图形见解析，10
【解析】（1）直接利用等腰直角三角形的性质得出C点位置；
（2）直接利用三角形中线的定义按要求作图，结合网格可得出四边形BDCD′的面积．
【详解】（1）如图所示：
（2）如图所示：
BD=
.
【点睛】
考查等腰直角三角形的性质，作图-旋转变换，比较简单，找出旋转后的对应点是解题的关键.
21、（1）证明见解析；（2）；（3）n=2或．
【分析】（1）因为GF⊥AF，由对称易得AE=EF，则由直角三角形的两个锐角的和为90度，且等边对等角，即可证明E是AG的中点；
（2）可设AE=a，则AD=na，即需要用n或a表示出AB，由BE⊥AF和∠BAE==∠D=90°，可证明△ABE~△DAC ， 则，因为AB=DC，且DA，AE已知表示出来了，所以可求出AB，即可解答；
（3）求以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形时的n，需要分类讨论，一般分三个，∠FCG=90°，∠CFG=90°，∠CGF=90°；根据点F在矩形ABCD的内部就可排除∠FCG=90°，所以就以∠CFG=90°和∠CGF=90°进行分析解答．
【详解】（1）证明：由对称得AE=FE，
∴∠EAF=∠EFA，
∵GF⊥AE，
∴∠EAF+∠FGA=∠EFA+∠EFG=90°，
∴∠FGA=∠EFG，
∴EG=EF，
∴AE=EG．
（2）解：设AE=a，则AD=na，当点F落在AC上时（如图1），由对称得BE⊥AF，∴∠ABE+∠BAC=90°，
∵∠DAC+∠BAC=90°，
∴∠ABE=∠DAC，
又∵∠BAE=∠D=90°，
∴△ABE~△DAC ，
∴
∵AB=DC，
∴AB2=AD·AE=na·a=na2，
∵AB>0，
∴AB=，
∴
∴.
（3）解：设AE=a，则AD=na，由AD=1AB，则AB=.
当点F落在线段BC上时（如图2），EF=AE=AB=a，此时，
∴n=1，
∴当点F落在矩形外部时，n>1．
∵点F落在矩形的内部，点G在AD上，
∴∠FCG<∠BCD，
∴∠FCG<90°，若∠CFG=90°，则点F落在AC上，由（2）得=，
∴n=2．
若∠CGF=90°（如图3），则∠CGD+∠AGF=90°，
∵∠FAG+∠AGF=90°，
∴∠CGD=∠FAG=∠ABE，
∵∠BAE=∠D=90°，
∴△ABE~△DGC，
∴，
∴AB·DC=DG·AE，即.
解得 n=或n=＜1（不合题意，舍去），
∴当n=2或时，以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形．
考点：矩形的性质；解直角三角形的应用；相似三角形的判定与性质；分类讨论；压轴题．
22、见解析
【分析】根据相似三角形的判定，由题意可得，进而根据相似三角形的性质，可得，推论即可得出结论.
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
即.
【点睛】
本题主要考察了相似三角形的判定以及性质，灵活运用相关性质是解题的关键.
23、（3）；（3）R（3，3）；（3）3或．
【分析】（3）求出A、B、C的坐标，把A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组即可得出结论；
（3）设R（t，）．作RK⊥y轴于K，RW⊥x轴于W，连接OR．
根据计算即可；
（3）在RH上截取RM=OA，连接CM、AM，AM交PE于G，作QF⊥OB于H．分两种情况讨论：①点E在F的左边；②点E在F的右边．
【详解】（3）当x=0时y=3，
∴C（0，3），
∴OC=3．
∵OC=3OA，
∴OA=3，
∴A（-3，0）．
当y=0时x=4，
∴B（4，0）．
把A、B坐标代入得解得：，
∴抛物线的解析式为．
（3）设R（t，）．
作RK⊥y轴于K，RW⊥x轴于W，连接OR．
∵
∵，
∴，（舍去），，
∴R（3，3）．
（3）在RH上截取RM=OA，连接CM、AM，AM交PE于G，作QF⊥OB于H．
分两种情况讨论：①当点E在F的左边时，如图3．
∵CR=CO，∠CRM=∠COA，
∴△CRM≌△COA，
∴CM=CA，∠RCM=∠OCA，
∴∠ACM=∠OCR=90°，
∴∠CAM=∠CMA=45°．
∵AC∥PE，
∴∠CAM=∠AGE=45°．
∵∠PEQ=45°，
∴∠AGE=∠PEQ，
∴AM∥EQ，
∴∠MAH=∠QEF．
∵∠QFE=∠MHA=90°，
∴△QEF∽△MAH，
∴．
∵OA=3，OH=3，MH=RH-RM=3-3=3，
∴AH=AO+OH=4，
∴EF=3QF．
设CP=m，
∴QH=CP=m．
∵OC=OH，
∴∠OHC=45°，
∴QF=FH=m，
∴EF=3m，
∴EH=3m．
∵ACPE为平行四边形，
∴AE=CP=m．
∵EH=AH-AE=4-m，
∴3m=4-m，
∴m=3，
∴CP=3．
②当点E在F的右边时，设AM交QE于N．如图3．
∵CR=CO，∠CRM=∠COA，
∴△CRM≌△COA，
∴CM=CA，∠RCM=∠OCA，
∴∠ACM=∠OCR=90°，
∴∠CAM=∠CMA=45°．
∵AC∥PE，
∴∠CAM=∠AGE=45°．
∵∠PEQ=45°，
∴∠AGE=∠PEQ=45°，
∴∠ENG=∠ENA=90°．
∵∠EQF+∠QEF=90°，∠EAN+∠QEF=90°，
∴∠EQF=∠MAB．
∵∠QFE=∠AHM=90°，
∴△QEF∽△AMH，
∴，
∴QF=3EF．
设CP=m，
∴QH=CP=m．
∵OC=OH，
∴∠OHC=45°，
∴QF=FH=m，
∴EF=m，
∴EH=m．
∵ACPE为平行四边形，
∴AE=CP=m．
∵EH=AH-AE=4-m，
∴4-m=m，
∴m=，
∴CP=．
综上所述：CP的值为3或．
【点睛】
本题是二次函数的综合题目，涉及了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解答本题需要我们熟练各个知识点的内容，注意要分类讨论．
24、（1）没有关系，∠CDF=∠CAB=60°；（2）；（3）或
【解析】（1）①根据同弧所对的圆周角解答即可；②利用锐角三角函数的定义求出AC与BC、DF与CF的关系，利用三角形的面积公式得出，然后根据正弦的定义可求出的正弦值；
（2）分两种情况求解：①当D点在直径AB下方的圆弧上时；当D点在直径AB上方的圆弧上时.
【详解】解：（1）①没有关系，理由如下：
当D在直径AB的上方时，如下图，
∵AB为直径，∴∠ACB=90°；
∵∠ABC=30°，∴∠CAB=60°；
∴∠CDF=∠CAB=60°；
当D在直径AB的下方时，如下图
∵∠CAB=60°，
∴∠CDB=180°-∠CAB=120°,
∴∠CDF=60°.
②∵CF⊥BD，AB为直径；∴ ∠ACB=∠CFD=90°；
由①得，∠CDF=∠CAB=60°，
∴ ；；
∵；；
∴；∴
（2）∵半径为2，，
∴弧CD所对圆心角
①当D点在直径AB下方的圆弧上时；
如图，连结OD，过D作DE⊥AB于E；
由（1）知，，∴；
∴；
OD=2，∴，，；
∴；
②当D点在直径AB上方的圆弧上时，
如图，连结OD，过D作DF⊥AB于F；
此时；
∴，，；
∴；
综上所述：BD的长为或.
【点睛】
本题考查了圆周角定理的推论，锐角三角函数的定义，勾股定理及其逆定理的应用，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键.
25、矩形的阔为24步，长为36步．
【解析】设阔为x步，则长为(x+12)步，根据面积为864，即可得出方程求解即可．
【详解】设阔为x步，则长为(x+12)步，
由题意可得：x(x+12)＝864，
解得：x1＝24，x2＝﹣36(舍)，
24+12=36，
答：矩形的阔为24步，长为36步．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，为面积问题，掌握好面积公式即可进行正确解答；矩形面积=矩形的长×矩形的宽．
26、（1）；（2），
【分析】根据三角函数性质和一元二次方程的概念即可解题.
【详解】（1）解：原式
（2）解：
，
，
【点睛】
本题考查了三角函数和一元二次方程的求解,属于简单题,熟悉运算性质是解题关键.
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