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(完整版)两角和与差的余弦正式版
41 两角和与差的余弦
教材分析
这节内容是在掌握了任意角的三角函数的概念、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示的基础上,进一步研究用单角的三角函数表示的两角和与差的三角函数．这些内容在高等数学、电功学、力学、机械设计与制造等方面有着广泛的应用，因此要求学生切实学好，并能熟练的应用,以便为今后的学习打下良好的基础．
“两角差的余弦公式”在教科书中采用了一种易于教学的推导方法，即先借助于单位圆中的三角函数线,推出α,β，α－β均为锐角时成立．对于α,β为任意角的情况，教材运用向量的知识进行了探究．同时，补充了用向量的方法推导过程中的不严谨之处，这样,两角差的余弦公式便具有了一般性．
这节课的重点是两角差的余弦公式的推导,难点是把公式中的α，β角推广到任意角．
教学目标
1。 通过对两角差的余弦公式的探究过程,培养学生通过交流,探索，发现和获得新知识的能力．
2。 通过两角差的余弦公式的推导，体会知识的发生、发展的过程和初步的应用过程，培养学生科学的思维方法和勇于探索的科学精神．
3. 能正确运用两角差的余弦公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式证明．
任务分析
这节内容以问题情景中的问题作为教学的出发点，利用单位圆中的三角函数线和平面向量的数量积的概念推导出结论,并不断补充推导过程中的不严谨之处．推导过程采用了从特殊到一般逐层递进的思维方法,学生易于接受．整个过程始终结合单位圆，以强调其直观性．对于公式中的α和β角要强调其任意性．数学中要注意运用启发式，切忌把结果直接告诉学生，尽量让学生通过观察、思考和探索，自己发现公式,使学生充分体会到成功的喜悦，进一步激发学生的学习兴趣，调动他们学习的积极性，从而使其自觉主动地学习．
教学过程
一、问题情景
我们已经学过诱导公式，如

可以这样来认识以上公式：把角α转动，则所得角α＋的正弦、余弦分别等于cosα和－sinα．把角α转动π，则所得角α＋π的正弦、余弦分别等于－sinα和－cosα．
由此，使我们想到一个一般性的问题：如果把角α的终边转动β（度或弧度），那么所得角α＋β的正弦、余弦如何用α或β的正弦、余弦来表示呢？
出示一个实际问题：
右图41-1是架在小河边的一座吊桥的示意图．吊桥长AB＝ａ（m），A是支点，在河的左岸．点C在河的右岸，地势比A点高．AD表示水平线，∠DAC＝α，α为定值．∠CAB＝β，β随吊桥的起降而变化．在吊桥起降的过程中，如何确定点B离开水平线AD的高度BE？

由图可知BE＝asin（α＋β）．
我们的问题是：如何用α和β的三角函数来表示sin（α＋β）．如果α＋β为锐角，你能由α,β的正弦、余弦求出sin（α＋β）吗?
引导学生分析：事实上，我们在研究三角函数的变形或计算时，经常提出这样的问题：能否用α,β的三角函数去表示α±β的三角函数？为了解决这类问题，本节首先来探索α－β的余弦与α，β的函数关系式．
更一般地说,对于任意角α，β，能不能用α，β的三角函数值把α＋β或α－β的三角函数值表示出来呢？
二、建立模型
1. 探　究
（1）猜想：cos（α－β）＝cosα－cosβ．
（2）引导学生通过特例否定这一猜想．
例如，α＝60°,β＝30°，可以发现，左边＝cos（60°－30°)＝cos30°＝，右边＝cos60°－cos30°＝－．显然，对任意角α,β，cos（α－β)＝cosα－cosβ不成立．
（3）再引导学生从道理上否定这一猜想．
不妨设α，β，α－β均为锐角,则α－β＜α，则cos（α－β)＞cosα．又cosβ＞０，所以cos（α－β）＞cosα－cosβ．
2. 分析讨论
（1）如何把α，β，α－β角的三角函数值之间建立起关系？要获得相应的表达式需要哪些已学过的知识?
(2)由三角函数线的定义可知，这些角的三角函数值都与单位圆中的某些有向线段有关系，那么，这些有向线段之间是否有关系呢？
3。 教师明晰
通过学生的讨论,教师引导学生作出以下推理：
设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx＝α－β．
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，那么，OM即为α－β角的余弦线，这里要用表示α，β的正弦、余弦的线段来表示OM．
过点P作PA⊥OP1，垂足为A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B,再过点P作PC⊥AB，垂足为C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是
OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OAcosα＋APsinα＝
cosβcosα＋sinβsinα．
4。 提出问题，组织学生讨论
（1）当α，β，α－β为任意角时，上述推导过程还能成立吗？
若要说明此结果是否对任意角α，β都成立,还要做不少推广工作，可引导学生独立思考．
事实上，根据诱导公式，总可以把α，β的三角函数化为（0，)内的三角函数，再根据cos（－β）＝cosβ，把α－β的余弦,化为锐角的余弦．因此,

三、解释应用
［例　题］
1。 求cos15°及cos105°的值．
分析:本题关键是将15°角分成45°与30°的差或者分解成60°与45°的差，再利用两角差的余弦公式即可求解．对于cos105°，可进行类似地处理,cos105°＝cos（60°＋45°)．
2. 已知sinα＝,α∈（,π），cosβ＝－，且β是第三象限的角，求cos(α＋β）的值．
分析：观察公式Cα＋β与本题已知条件应先计算出cosα，cosβ，再代入公式求值．求cosα,cosβ的值可借助于同角三角函数的平方关系，并注意α，β的取值范围来求解．
[练　习］
1. （1）求sin75°的值．
（2）求cos75°cos105°＋sin75°sin105°的值．
（3)化简cos（A＋B）cosB＋sin（A＋B）sinB．
（4）求cos215°－sin215°的值．
分析：对于（1）,可先用诱导公式化sin75°为cos15°，再用例题1中的结果即可．对于（2）,逆向使用公式Cα—β，即可将原式化为cos30°．对于(3），可以把A＋B角看成一个整体，去替换Cα—β中的α角，用B角替换β角．
2。 (1）求证：cos（－α) ＝sinα．
（2)已知sinθ＝，且θ为第二象限角，求cos(θ－）的值．
（3)已知sin(30°＋α)＝，60°＜α＜150°，求cosα．
分析：（1）和（差）公式可看成诱导公式的推广，诱导公式是和（差）公式的特例．
（2)在三角函数求值问题中，变角是一种常用的技巧，α＝（30°＋α）－30°，这样可充分利用题中已知的三角函数值．
3. 化简cos(36°＋α）cos（α－54°）＋sin（36°＋α）sin（α－54°）．
分析：这里可以把角36°＋α与α－54°均看成单角,进而直接运用公式Cα-β，不必将各式展开后再计算．

分析：本题是一道综合题，由于cos(α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ，欲求cos(α－β）的值，只须将已知两式平方相加求出cosαcosβ＋sinαsinβ即可．
四、拓展延伸
1。 由任意角三角函数定义,可知角α，β的终边与单位圆交点的坐标均可用α，β的三角函数表示，即α－β角与，两向量的夹角有关,那么能否用向量的有关知识来推导公式Cα-β呢？
教师引导学生分析：在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为始边作角α，β,它们的终边与单位圆的交点为A，B，则＝（cosα，sinα）,＝（cosβ，sinβ）．
由向量数量积的概念，有
·＝|｜｜|cos（α－β）＝cos(α－β）．
由向量的数量积的坐标表示，有
·＝cosαcosβ＋sinαsinβ．
于是,有
cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ．
依据向量数量积的概念,角α－β必须符合０≤α－β≤π,即在此条件下，以上推导才是正确的．
由于α，β都是任意角，α－β也是任意角，因此，须研究α－β为任意角时，以上推导是否正确．
当α－β为任意角时，由诱导公式总可以找到一个角θ，θ∈［0，2π），使cosθ＝cos（α－β）．
若θ∈［0，π］，则·＝cosθ＝cos（α－β）；
若θ∈［π，2π］，则2π－θ∈［0，π］，且
·＝cos(2π－θ)＝cosθ＝cos（α－β）．
于是，对于任意角α，β都有

2. 教师提出进一步拓展性问题：本节问题情景中，涉及如何用sinα，sinβ，cosα,cosβ来表示sin（α＋β）的问题，试探索与研究sin（α＋β）的表达式．
点　评
这篇案例设计完整，思路清晰．案例首先通过问题情景阐述了两角和、差、三角函数公式的产生背景，然后通过组织学生分析,讨论，并借助于单位圆中的三角函数线对α，β,α－β为锐角时给出证明，进而用向量知识探究任意角的情形．这些均体现了数学中从特殊到一般的思想方法，符合新课改的基本理念．同时，例题与练习由浅入深，完整,全面．
总之,关注学生的已有基础，充分利用归纳、类比等方法激发学生进一步探究的欲望，建立Cα±β模型．这种设计思路有利于学生数学思维水平的提高，同时及时巩固，应用，拓展延伸，体现了对传统的中国式数学教学精华的继承．如果能在结束时再创设引导学生自我小结、反思的环节,可能会锦上添花．

学习不是一朝一夕的事情，需要平时积累,需要平时的勤学苦练。有个故事:古希腊大哲学家苏格拉底在开学第一天对他的学生们说：“今天你们只学一件最简单也是最容易的事儿.每人把胳膊尽量往前甩，然后再尽量往后甩.”说着，苏格拉底示范做了一遍，“从今天开始,每天做300下，大家能做到吗？”学生们都笑了，这么简单的事,有什么做不到的？过了一个月，苏格拉底问学生：每天甩手300下，哪个同学坚持了，有90％的学生骄傲的举起了手，又过了一个月，苏格拉底又问，这回,坚持下来的学生只剩下了80%。一年过后，苏格拉底再一次问大家:“请告诉我，最简单的甩手运动。还有哪几个同学坚持了？”这时，整个教室里,只有一个人举起了手,这个学生就是后来成为古希腊另一位大哲学家的柏拉图。同学们，柏拉图之所以能成为大哲学家，其中一个重要原因，就是,柏拉图有一种持之以恒的优秀品质。要想成就一番事业,必须有持之以恒的精神，大家都熟悉愚公移山的故事，愚公之所以能够感动天帝,移走太行、王屋二山。正是因为他具有锲而不舍的精神。戎马一生，他前十次革命均告失败，但他百折不挠，终于在第十一次革命的时候,推翻了清王朝的统治，建立了中华民国。这些故事，情节不同，但意义都是一样的，它告诉无们,做事要有恒心。旬子讲：“锲而不舍，朽木不折；锲而舍之,金石可镂."这句话充分说明了一个人如果有恒心，一些困难的事情便可以做到，没有恒心，再简单的事也做不成.学习是一条慢长而艰苦的道路，不能靠一时激情,也不是熬几天几夜就能学好的,必须养成平时努力学习的习惯。所以我说:学习贵在坚持!　当下市面上关于教授学习方法的书籍不少,其所载内容也的确很有道理,然而当读者实际应用时,很多看似实用的方法用来效果却并不明显，之后的结果无非是两种：要么认为自己没有掌握其精髓要领，要么抱怨那本书的华而不实,但最终肯定还是会回归到当初的原点。这本《学会学习》在一开始并没有急于兜售自己的方法，而是通过测试让读者真正了解自己，从而找到适合自己思维方式的学习方法，书的第一部分就是左脑还是右脑思维测试和视觉、听觉和动觉学习模式测试,经过有效分类后，针对不同读者对不同思考和接收接受学习的特点,有针对性的分别给出建议，从而不断强化自己的优势。在其后书中的所有介绍具体学习方法章节的最开始，都是按照不同学习模式给出各种学习方法不同的建议，这是此书区别于其他学习方法类书籍的最大特点，这种“因材施教"的方式能让读者有种豁然开朗的感觉，除了能够得到最适合自己的有效的学习方法也能更深入的认识客观的自己，不论对学习还是生活都有帮助。除了“针对性"强外，本书第二大特点就是“全面”，全书都是由一篇篇短文、图表集成，更像是一本博文或者PPT课件合集，每个学习方法的题目清晰明了十分便于查找，但也因此有些章节内容安排的比较混乱,所幸每一章节关联性并不太强，每个章节都适合独立检索来阅读学习.其内容从“时间规划”、“笔记”“阅读”直到“考试”几乎涉及了所有学习中的常遇问题，文中文字精炼没有过分的渲染，完全是纯纯的“干货”，可以设身处地的想象：当自己面对学海之中手足无措之时，长篇大论的方法肯定会无心查看，明了的编排，让人从目录中就能一目了然的找到自己想要的,一篇篇短文尽可能在最少的时间让读者得到最有用的信息，是一部值得学习的人们不断自我提高的有力武器。曾经看到一个有意思的心理测试：用“正确的方法”、“错误的方法”和“积极的行为”、“消极的行为”，来自由搭配,看如何搭配出最好和最坏的结果，“正确方法”配合“积极的行为”无疑是最好的结果，然而我们会很“惯性”想当然的认为,“错误的方法"和“消极的行为"搭配是最坏的结果，其实“错误的方法”加上“积极的行为”才是最坏的结果,这会让人在错误的路上越走越远，学习也是同理，一味钻牛角尖般的生搬硬套不适合自己的方法不论多努力都只会离成功越来越远，而好的学习方法加上积极的学习态度无疑会让你如虎添翼.这是每个人都需要的，起码在学生的时候如果遇到，或者人生会少一些遗憾，我只恨我遇见的晚了点，可是现在已是终身学习的年代，错过了最恰当的时候，但只要有心又怎会嫌晚呢？本书归类为学习方法—青年读物，是本工具书，学习手册，但不能阻止她成为经典。这本书的副标题为“增加学习技能与脑力”,正是本书的宗旨，本书系统化地阐述了学习技能提升的各个方面，可谓事无巨细的令人发指啊.整体来讲主要包括7个方面，分别是学习模式,时间管理和学习技巧规划，笔记记录技巧，阅读技巧，记忆，应试技巧，拾遗.全书的结构采取的是总分的形式,前三个方面是总的部分，算是增加学习技能的准备,从认识自己的学习模式开始，然后采取任何事都需要的时间管理技巧，再总体地讲一下学习技巧规划的事项。然后底下是分的部分，将学习的包含的各个方面的技巧进行分开阐述，分别有笔记记录，阅读，记忆,应试以及最后的拾遗.系统地讲述了学习的几乎所有方面。让读到她的人如果实践的话不仅能在学习上得到提高,在脑力上或者说理解力上肯定会受益匪浅.在此，说句题外话，我一直觉得日本人写书在细节上做的是无与伦比的，但是这本书让我对这个看法有了一定的动摇，因为她里面的讲述部分让我觉得美国是个应试教育的国家吗，简直比我们中国还要应试。那个考试应对细节的部分放在中国，一点也没有违和感的，好吗？所以他们能出现这样的情况,从没到过日本的人能够写出描写日本人的书，然后让日本人都觉得是经典的,没有在企业里做过实务管理的德鲁克能成为管理上的大师,其理念影响了全世界……不得不说，美国的教育真不是盖的.细节上，我印象比较深的是，作者开篇开始传授如何应该认识自己的学习模式,运用了一些测试题目,然后根据结果找出与自己最近似的学习模式，她把学习模式分为几种情况，分别有左脑型,右脑型，还有另外的分法，为视觉的，听觉的，动作的。我看了一下，确实有跟自己近的类型，我就是视觉的，对号入座后就可以比较直接的去扬长避短了。然后，作者说了，做任何事情,时间管理技巧都是不可缺少的,她不仅教导的是学习的技能，还有很多其他的道理，对我们人生都是有益的，我相信,如果我们的孩子从小就学习这些，将会受用终生。还有，作者提到了学习技巧规划里的家庭档案系统，将我们现在工作中的管理引进了学习中，这是一个非常好的学习习惯，如果孩子持续的做,严格地做,获得的收益将无法估量,因为，这在我们现在工作中都必须要用的管理信息的技能，实在是太可贵了，孩子将这种技能与阅读结合起来，保管好自己思维历程，可以获得持续的提高，直到最后展翅翱翔，他最可贵的是，可以系统地提升自己,从而达到书中简介里提到的那样，碰到不会的领域的时候，可以很快的用这些方法，工具建立起模型，系统，游刃有余地攻克自己之前没接触的领域，提升自己的理解力，我想这正是我们学习的比较重要的一个目的吧。最后，我影响比较深的就是作者提供的那些小工具了，包括笔记的表格，辅助记忆的表格，帮助整理文档的夹子，应对考试的技巧,缓解紧张的方法……我觉得全书对于如何增加学习技能和脑力的讲述是有道理的，我也相信通过实践作者在书上所提到的方法，定能在学习中得到提高。但是，那也不是一朝一夕的事情,就像我们大家都知道的那个故事，在美国得到诺贝尔奖的科学家说，自己得奖最大的原因都是在幼儿园里学习的最基本的道理，就是说要和郭靖一样，不要贪多吃不烂,认定他就要好好地坚持去做，不要停。我自己喜欢的是家庭归档系统，虽然不是学习过程中的技能，只属于学习准备的东西，但是如果坚持井井有条的那样整理自己的学习思维，对自己的收益将难以估量.稍显不足的地方是，第一，本书的语言太过精练，感觉就像没有主观感情一样，要命的是有很多词语或者概念读的时候甚至不知道什么意思，书中也没做讲解,本来就看的比较费力，现在好了,作者也不等你,直接把你撂那。第二，作者很多地方就像立一个提纲一样，直接让你自己去参考多少多少页，这个太不习惯了。第三，作者在书中提到各种学习的类型，但是并没有就这种类型合适他们的学习方法做开展或者介绍，比如，将学习分为好几种类型的那个部分，有内省的，有外联的之类，然而并没有对各种类型进行针对性的指导。从而她的有些观点就不太适用,像成立学习小组的,这个对于内向的人,在我国这样的学习环境中是比较的困难,但作者没有就如何做提出建议，只是告诉读者这么做，会显得不够全面或者落空.