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两角和与差的余弦公式教案

课题：两角和与差的余弦公式
授课教师：北京市陈经纶中学 黎宁
授课时间：2007年11月21日
教学目标：
1． 使学生理解两角和与差的余弦公式,并能初步应用它们解决简单的三角函数求值与恒等变换问题。
2． 通过教学，使学生经历从探索两角差的余弦公式结构到证明两角差的余弦公式，再由此推导两角和的余弦公式的过程,简单体会特殊与一般的思想，数形结合的思想，换元的思想等数学思想在三角恒等变换中的作用，培养学生观察、联想、归纳、证明的推理能力。
3． 通过教学，形成学生严谨的治学态度和锲而不舍的钻研精神。
教学重点：两角和与差的余弦公式
教学难点：两角和与差的余弦公式的探究
教学方式：发现式、探究式
教学手段：计算机辅助教学、实物投影仪

教学基本流程：
创设问题情景，引入研究课题
由特殊值探索公式结构
引导学生证明公式
通过例题体会公式的应用
课堂小结
布置作业

教学情景设计：
问题
师生活动
设计意图
疑问1：函数的最大值是多少？
教师引导学生思考：函数与的最大值都是1，那么的最大值是不是2呢？（不是，当取得最大值1时，等于0）
若能把转化成一个角的一个三角函数的形式就好了！
这是学生学习第一章 三角函数时曾经提过的问题，将此问题在这里提出，目的在于说明学习本节知识的必要性，同时激发学生学习本节知识的兴趣。
疑问2：等于多少？

15°= 45-30°，我们知道45°与30°的三角函数值，能否求出的值呢？
是否有=成立呢？
=是否恒成立？
学生自主研究得出结论（不恒成立，但也不是总不成立）。
凭直觉得出=是学生容易出现的错误，通过讨论弄清结论，使学生明确“恒等”的含义，同时为进一步明确本节课的探索目标奠定了基础，使得教学过程自然流畅。
能否用角、的正、余弦来表示呢？
引导学生探索两角差的余弦公式的结构
（1）研究（90°-30°）与cos90°、90°、cos30°、30°之间的关系；
（2）研究（120°-60°）与
cos120°、120°、cos60°、60°之间的关系；
（3）研究（135°-45°）与cos135°、135°、cos45°、45°之间的关系；
发现规律：=cos cos+sinsin
通过学生熟悉的特殊角的三角函数值来探索公式的结构是比较自然的。在学生对公式的结构特性有了直观感知和基本了解的基础上，激发学生猜想，探求公式的欲望。
能否证明=
cos cos
+sinsin？
学生思考，教师巡视，引导学生利用向量的有关知识解决问题：
如图，作单位圆O，以Ox为始边作角、，它们的终边与单位圆O交于点A，B。则
α
β
x
y
O
A
B

=(cos, sin),=(cos,sin)
∴= coscos+sinsin
（1） 当时，
向量与的夹角就是，由向量数量积的定义，有
=
=
∴=cos cos+sinsin
（2）当时，设与夹角为，有=cos。
因此，对于任意角，有
=cos cos+sinsin （）
师：有了公式，我们只要知道角、的正、余弦就可以求的值了。
让学生经历用向量知识解决一个数学问题的过程，体会向量的工具作用及应用价值。

若学生中有用非向量的方法证明的，可在课堂中展示不同证明方法，让学生既体会向量法证明的简捷性，又培养了学生思维的灵活性和发散性。
例1（本节课开始时的疑问2）
利用差角公式求的值。
（学生自行完成）
解：=cos(45°-30°)
= cos45°cos30°+sin45°sin30°
=
=
通过练习使学生理解公式的简单应用。
能否用角、的正、余弦来表示呢？
学生自主研究，解决问题
只要将公式中的换成即可得到。
也可以将看成，利用公式证明。
=coscos-sinsin （）
通过解决问题使学生体会“换元”的思想。

通过加法与减法互为逆运算的关系，帮助学生树立对立统一的观点，提炼问题本身蕴涵着的化归与转化的思想。
例2
求值：
（1）cos72°cos12°+sin72°sin12°
（2）cos34°cos26°-sin34°sin26°
（学生自行完成）
解：
(1) cos72°cos12°+sin72°sin12°=cos(72°-12°)= cos60°=
(2) cos34°cos26°-sin34°sin26°=cos(34°+26°)= cos60°=
能否化简cos+sin？
（学生自行完成）
这是公式的逆用，锻炼学生的逆向思维能力，同时也为解决本节课开始时的疑问1做好铺垫。
能否解决本节课开始时的疑问1？
函数的最大值是多少？
=cos+sin）=
所以最大值为。
通过解决问题体会两角和与差的余弦公式的应用价值，同时也使得整堂课首尾呼应、浑然一体。
通过本节学习你有哪些收获？
学生自己思考，小结可以写在自己的笔记本上，也可以口头交流。
教师引导学生围绕以下方面进行小结：1．知识层面的小结（对公式的探索过程及方法的启示，用向量的数量积证明公式的主要思路以及公式的特点和功能）；
2. 数学思维能力层面的小结（在学生小结的基础上，教师概括提升——包括本节课所涉及到的特殊与一般的思想，数形结合的思想，换元的思想的体现，逻辑思维能力和运算能力的提高以及对数学和谐美的欣赏）．
让学生通过小结，反思学习过程，加深对公式及其推导过程的理解。领会数学研究的有关基本方法和途径，学习并能应用数学思想与方法解决有关问题。
作业: 1．课本P138．B组第4题
2．试用今天学习知识和方法证明：
sin= sincos+cossin
sin= sincos-cossin

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