对2023年新高考I卷数学试卷第11题的探究与思考.pdf

12中学数学研究2024 年第 2 期(上半月刊)对 2023 年新高考 I 卷数学试卷第 11 题的探究与思考佛山市顺德区乐从中学(528315)戴海燕摘要 一直以来,抽象函数问题是高考的热点难点,高中阶段的抽象函数是对教材中的几个具体的基本初等函数的对应概括,同时,部分抽象函数具有数学史背景.本文通过对2023 年新高考 卷第 11 题的剖析,探讨柯西方程在解决一类抽象问题中的应用价值,挖掘研究高中抽象函数问题的有效路径.关键词 抽象函数;柯西方程;运算法则1 真题的解答与反思1.1 真题呈现题目(2023 年高考全国 卷第 11 题)已知函数 f(x)的定义域为 R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则().A.f(0)=0B.f(1)=0C.f(x)是偶函数D.x=0 为 f(x)的极小值点解 令 x=y=0,得 f(0)=0,故 A 正确.令 x=y=1,得 f(1)=0,故 B 正确.令 x=y=1,得 f(1)=0,令y=1,得 f(x)=f(x),又 f(x)定义域为 R,故 C 正确.对于选项 D 的研究可以有以下两个参考思路.思路 1.不妨设 f(x)=0,显然符合题设条件,此时 f(x)无极值,D 错误.思路 2.设函数f(x)=x2ln|x|,x=00,x=0=x2lnx,x 0,0,x=0,x2ln(x),x 0,当 x (1,0)(0,1)时,易知 f(x)0 时,f(x)=x(2lnx+1)可知 0 x e12时,f(x)e12时,f(x)0,f(x)单增.又由于 f(x)为偶函数,且 f(1)=0,所以 f(x)大致图象如图 1.3.2 数形结合窥局部要获得函数 f(x)=x2ln|x|,x=0,0,x=0在 x=0 附近的精确形态,仅靠图象还是不够严谨.华罗庚先生曾说:“数缺形时少直观,形少数时难入微”,进行数学分析是必要的.分析研究 x2ln|x|在 x=0 处极限 limx0 x2ln|x|=12limx0ln|x|21x2=12limx0ln1x21x2.令1x2=t,则 原 极 限为 12limt+lntt,根据洛必达法则得 12limt+lntt=12limt+(lnt)t=12limt+1t=0,于是有 limx0 x2ln|x|=0=f(0),所以 f(x)=x2ln|x|,x=0,0,x=0是一个连续函数,可以使用人教 A 教材关于极值点的定义对 x=0 是否为极大值点作出判断.4 数学史背景溯源4.1 柯西方程事实上,2023 年新高考 1 卷第 11 题的命题背景可以追溯到柯西发现的结论,其经典结论如下:定理如果 f(x):R R,对任意 x,y R,均有f(x+y)=f(x)+f(y),且满足下列条件之一:1.f(x)连续.2.f(x)在一个区间上单调.3.f(x)在一个区间上有上界或下界.则存在 c=f(1),使得 f(x)=cx.证明 此处略,见参考文献 22.我们将上面定理中的方程称为加性柯西方程,结合高中阶段学习的几类基本初等函数,可得到以下推论.(注释:以下推论均至少满足上述定理中的三个条件的一个).推论 1如果 f:R R,对任意 x,y R,f(x+y)=f(x)f(y),当 f(x)满足上述条件之一时,则 f(x)=0 或f(x)=1 或 f(x)=ax.证明取 x=y=0,则 f(0)=(f(0)2,所以有f(0)=0 或 f(0)=1.当 f(0)=0 时,令 y=0,则f(x+0)=f(x)f(0)=0,即 f(x)=0.当 f(0)=1 时,则 x R,1=f(0)=fx2+(x2)=f(x2)f(x2),所以f(x2)=0.从而有 f(x)=f(x2+x2)=f(x2)f(x2)0.对 f(x+y)=f(x)f(y)两边取以 e 为底的对数,得:lnf(x+y)=ln(f(x)f(y)=lnf(x)+lnf(y).令 g(x)=lnf(x),则有 g(x+y)=g(x)+g(y),因此 g(x)是加性柯西方程,从而有g(x)=g(1)x=lnf(1)x,所以f(x)=eln f(1)x.若 f(1)=1,则 f(x)=1;若 f(1)=1,则 f(x)=ax,其中a=f(1).推论 2设函数 f:R+R,对任意正实数 x,y,均有 f(xy)=f(x)+f(y),当 f(x)满足上述条件之一时,有f(x)=0 或存在非零实数 c,使得 f(x)=clnx.证明令 g(x)=f(ex),则 g(x+y)=f(ex+y)=f(exey)=f(ex)+f(ey)=g(x)+g(y),满足加性柯西方程,其解函数为g(x)=g(1)x,记g(1)=c,若c=0,则f(x)=0,若 c=0,则有 f(ex)=cx,令 ex=t,从而 f(t)=clnt,即f(x)=clnx.推论 3设函数 f:R+R,对任意正实数 x,y,均有 f(xy)=f(x)f(y),当 f(x)满足上述条件之一时,有f(x)=0 或存在实数 a,使得 f(x)=xa.14中学数学研究2024 年第 2 期(上半月刊)证 明若 x0(0,+),使 得 f(x0)=0,则 取y=x0,有 f(xx0)=f(x)f(x0)=0,所以 f(x)=0.若对 x (0,+),f(x)=0,则 f(x)=f(x x)=f(x)f(x)0,由于 f(xy)=f(x)f(y),则 lnf(ex+y)=lnf(ex)f(ey)=lnf(ex)+lnf(ey).令 g(x)=lnf(ex),则 g(x+y)=g(x)+g(y),因此 g(x)满足加性柯西方程,所以 g(x)=ax,其中 g(1)=a.从而 f(ex)=eax,令 ex=t,则 f(t)=ta,即 f(x)=xa.4.2 柯西方程应用由推论 2 不难知道,在上文提到的 2023 年新高考 卷第 11 题中,符合题目条件的函数可以构造为 f(x)=cx2ln|x|,x=0,0,x=0,当 c 0 时,x=0 是 f(x)的极大值点;当 c=0 时,有f(x)=0,此时 x=0 既是 f(x)的极大值点也是其极小值点1.柯西方程及其推论中的经典思想方法和结论在研究这一类抽象函数问题中具有独特的价值,在往年的高考中多次出现以柯西方程为背景的考题.例 1(2008 年高考重庆卷)若定义在 R 上的函数 f(x)满足:x1,x2 R,f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,下列说法正确的是().A.f(x)为奇函数B.f(x)为偶函数C.f(x)+1 为奇函数D.f(x)+1 为偶函数解两边同时加 1,得 f(x1+x2)+1=f(x1)+1+f(x2)+1.设 g(x)=f(x)+1,则 g(x1+x2)=g(x1)+g(x2),当 f(x)为单调函数时,g(x)也为单调函数,满足加性柯西方程,其解函数可以为 g(x)=g(1)x,其为奇函数,选 C.例 2(2008 年高考陕西理 10)定义在 R 上的函数 f(x)满足:x,y R,f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,则且f(1)=2,则 f(3)=().A.2B.3C.6D.9解由 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy 两边减(x+y)2得:f(x+y)(x+y)2=f(x)x2+f(y)y2.设g(x)=f(x)x2,则有 g(x+y)=g(x)+g(y),由柯西方法得其解函数可为 g(x)=g(1)x,从而 f(x)=g(1)x+x2,由f(1)=2 知:g(1)=1,所以 f(x)=x+x2,所以 f(3)=6,选 C.5 启示从柯西加性方程及其推论可以看出:其中的抽象关系式不正是高中阶段学习过的几类基本初等函数的运算法则吗?有了这种想法,不难揭秘某些高考抽象函数试题的命题背景,比如:例 3(2022 年新高考 II 卷第 8 题)已知函数 f(x)的定义域为 R,f(x+y)+f(x y)=f(x)f(y),f(1)=1,则22k=1f(k)=().A.3B.2C.0D.1分析在和差化积公式中,cos(x+y)+cos(x y)=2cosxcosy 是一个等号两边函数名称不变的和差化积公式,其形式与题中抽象函数的表达形式比较相似,因此可令f(x)=acosx,利用题中 f(x)的特殊函数值待定系数 a 和.因为 f(x+y)+f(x y)=f(x)f(y),令 x=1,y=0可得,2f(1)=f(1)f(0),所以 f(0)=2,可得 a=2.又由f(1)=2cos=1,取 =3,所以可构造 f(x)=2cos3x.类似以上的运算法则及其对应的抽象性质见下表:表 1 函数类型对应的抽象性质函数类型对应抽象性质正比例函数 f(x)=kx(k=0)f(x y)=f(x)f(y)指数函数 f(x)=ax(a 0 且 a=1)f(x+y)=f(x)f(y)或 f(x y)=f(x)f(y)余弦函数 f(x)=cosxf(x+y)+f(x y)=2f(x)f(y)或 f(x)+f(y)=2f(x+y2)f(x y2)幂函数 f(x)=xaf(xy)=f(x)f(y)或 f(xy)=f(x)f(y)对数函数 f(x)=logax(a 0 且 a=1)f(xy)=f(x)+f(y)或 f(xy)=f(x)f(y)周期函数f(x)=f(x+T),其中 T 为周期因此,在教学中引导学生从运算视角抽象出对应的函数方程,引导学生使用模型意识去探究问题,将陌生问题转化为熟悉的问题,是对高中抽象函数问题的有效教学策略之一.参考文献1 李成章,黄玉民.数学分析(第 2 版)M.北京:科学出版社,2007:132-132.2 徐志鹏,欧阳耀.关于柯西方程的一点注记 J.湖州师范学院学报,2015,37(2):14-16.