解三角形问题及其简单应用易错笔记.doc

第十七讲 解三角形问题及其简单应用291.解三角形问题中三角形解的个数原因探究 1.1 为什么已知两边和其中一边对角不能确定三角形 1.2由正弦值求三角形内角时可能有两解 1.3 由产生的漏解现象2.解三角形出现增解的应对策略 2.1已知两边及大边对角的三角形唯一确定2.2根据两角正弦值大小剔除增解2.3 根据三角函数值的范围剔除增解3几何法判断三角形解的个数3.1画图观察直观判断三角形解的个数3.2 根据三角形解的个数求字母参数范围4.三角形形状的判定4.1 利用余弦定理判断锐角、直角、钝角4.2化边为角判定三角形形状4.3化角为边判断判定三角形形状5.三角形中的取值范围与最值问题5.1三角形形状隐含角的范围5.2三角形两边之和大于第三边的配合使用5.3利用余弦定理、基本不等式求最值5.4化归为三角函数的最值与值域问题6. 三角形中几种常见的变换方法6.1 两角和与第三角的三角函数关系6.2 不能遗忘的“切化弦”7.常见的解三角形实例7.1距离的测量问题7.2高度的测量问题7.3角度的测量问题7.4是否进入某区域问题7.5与最值有关的实际应用问题1.解三角形问题中三角形解的个数原因探究1.1 为什么已知两边和其中一边对角不能确定三角形【典例】在，角所对的边分别为，且.（1）若，则 _；(2)若，则 _【变式1】在中，角所对的边分别为，已知，则= .【变式2】已知在中，角所对的边分别为， 试判断符合条件的有多少个？1.2由正弦值求三角形内角时可能有两解【典例1】在中，求的面积.【变式1】若的面积为，且，则等于 【变式2】中，角所对的边分别为，且，的面积为，求与的值.【变式3】已知，是的内角，且，求的大小.【变式4】在中，角所对的边分别为， (1)求角； (2)若，的面积为，求.【典例2】在中，角所对的边分别为，如果有性质,试问这个三角形的形状具有什么特点？【变式1】在中，角所对的边分别为，已知，判断的形状.【变式2】在中，角所对的边分别为，已知，判断的形状. 【变式3】在中，内角所对的边分别为.已知，求角的大小1.3 由产生的漏解现象【典例】在中，角所对的边分别是，已知.若，求ABC的面积.【变式1】若是三角形的内角，则可能为0，但 在ABC中，已知角.若，求角的大小.【变式3】等式两边乘以或除以同一个不为零的数，等式仍然成立在中，角所对的边分别为，已知，判断的形状.2.解三角形出现增解的应对策略2.1 已知两边及大边对角的三角形唯一确定【典例】在中，角所对的边分别为，若，,则角的大小为 .【变式1】三角形中大边对大角，非最大边所对的角一定是锐角在中，角所对的边分别为，已知，则边长等于（） A. B. C. D.【变式2】在中，角所对的边分别为，已知，则 【变式3】已知在中，则的面积为_.【变式4】在中，角所对的边分别为，若，则角_.【变式5】在中，角所对的边分别为，若角依次成等差数列，且，则角 .【变式6】在中，已知.求的值.2.2根据两角正弦值大小剔除增解【典例】在中，则的值为_.【变式1】在中，求证：.【变式2】在中，若，则的值为 【变式3】在中，则的值为_. 2.3 根据三角函数值的范围剔除增解【典例】在中，角所对的边分别为，则满足此条件的三角形有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个【变式1】钝角的面积是， ，则( )A5 B. C2 D1【变式2】借助余弦函数的单调性，缩小角的范围，避免讨论已知在中，角所对的边分别为， 为锐角，且，则的值为 【变式3】根据三角形中各内角的正弦值均大于零探求隐含条件，合理舍去增解在中，已知，则角 .3几何法判断三角形解的个数3.1画图观察直观判断三角形解的个数【典例】已知在中，角所对的边分别为， 试判断符合条件的有多少个？【变式1】已知在中，角所对的边分别为，不解三角形，则下列判断正确的 （1）有两个解；（2）有一个解；（3）有一解；（4）无解.【变式2】已知在中，角所对的边分别为，根据下列条件解三角形：30，14，7；60，10，9那么，下面判断正确的是( )A只有一解，也只有一解B有两解，也有两解C有两解，只有一解D只有一解，有两解【变式3】在中，角所对的边分别为，若，则此三角形有() A无解 B两解 C一解 D解的个数不确定【变式4】在中，角所对的边分别为，已知，则满足此条件的三角形的个数是几个？3.2 根据三角形解的个数确定字母参数的范围【典例】如果满足，的三角形ABC恰好有一个解，那么实数的取值范围是 【变式1】在中，角所对的边分别为，已知，此三角形有解，则角的取值范围是 .【变式2】若满足条件，的有两个，则边长的取值范围是 .【变式3】在中，角所对的边分别是，已知，且此三角形只有一个解，则边长的取值范围是 .4.三角形形状的判定4.1 利用余弦定理判断锐角、直角、钝角【典例】在中，角所对的边分别为，用余弦定理证明：当角C为钝角时，；当角C为锐角时，.【变式1】在中，若，则的形状是（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不能确定【变式2】在中，若，则的形状是（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不能确定【变式3】在中，角所对的边分别为，若三边满足，则的形状是（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不能确定4.2化边为角判定三角形形状【典例】在中，角所对的边分别为，已知，判定的形状.【变式1】在中，角所对的边分别为，已知，判定的形状.【变式2】在中，已知，判定的形状.【变式3】在中，角所对的边分别为，已知，判定的形状.【变式4】在中，角所对的边分别为，已知，判定的形状.【变式5】在中，角所对的边分别为，已知，判定的形状.4.3化角为边判断判定三角形形状【典例1】在中，角所对的边分别为，已知，判断的形状.【变式1】在中，若，则的形状一定是（）A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形【变式2】在中，角所对的边分别为，若，试判断的形状【典例2】在ABC中，若 ，试判定ABC的形状.【变式1】在ABC中，若，则ABC的形状 .【变式2】在ABC中，若，则ABC的形状如何？ 5.三角形中的取值范围与最值问题5.1三角形形状隐含角的范围【典例】设锐角三角形的内角的对边分别为，且，求的取值范围【变式1】在锐角中，则的取值范围是 .【变式2】锐角的内角的对边分别为， 设，则的取值范围是 .【变式3】钝角三角形的三个内角成等差数列，且最大边与最小边之比为，则的取值范围是 .【变式4】在锐角中，则的值等于 ，的取值范围为 . 【变式5】锐角ABC满足不等式同时成立锐角中，若，则的取值范围是 .5.2三角形两边之和大于第三边的配合使用【典例】在锐角中，角所对的边分别为，边长，则边长的取值范围是 .【评注】为锐角三角形同时成立，且三角形两边之和大于第三边；若是钝角，则且.【变式1】锐角的边长分别为，3，1，则的取值范围是 .【变式2】在钝角中，三边长分别为4,5，则实数的取值范围为_.5.3利用余弦定理、基本不等式求最值【典例1】若的内角A、B、C满足，则的最小值是 . 【评注】现将等式中角应用正余弦定理化为边，化简整理后，再应用基本不等式求最值。同时要注意取等的条件，即取最值的条件。 【变式1】在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【变式2】利用，求角的取值范围在ABC中，角所对边长分别为，,则角的取值范围是 .【变式3】在ABC中，角所对边长分别为，若a、c、b成等差，则角C的取值范围是 .【变式4】在ABC中，角所对边长分别为，若a、c、b成等比，则角C的取值范围是 .【变式5】利用，求边长的最小值在中，角所对边长分别为，若的面积为，则边的最小值为 【变式6】利用，求周长的最小值 已知分别是的三个内角的对边，. （I）求角的大小；（II）若的面积，求周长的最小值【典例2】已知分别为三个内角的对边，且，则面积的最大值为_【评注】最值问题经常利用的不等式：，.【变式1】利用余弦定理结合求周长的最大值已知分别为三个内角的对边，则周长的最大值为_【变式2】利用，结合余弦定理求面积的最大值在锐角中，角的对边分别为,已知, ，且.（）求角的大小；（）若，求面积的最大值【变式3】已知内接于单位圆(半径为1个单位长度的圆),且.(1)求角的大小; (2)求面积的最大值.【变式4】在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 （）证明：a+b=2c; （）求cosC的最小值. 【变式5】已知分别是的三个内角的对边，且 (I)求角B的大小；(II)若，求b的取值范围5.4化归为三角函数的最值与值域问题 【典例】在中，则的最大值为_ .【评注】在中， 根据（为外接圆半径），可将边长转化为三角形内角的正弦值，进而转化为某一个角的三角函数的最值或值域问题.【变式1】在ABC中，. （1）求的大小；（2）求 的最大值.【变式2】设的内角所对的边分别为，且 （1）求角B的大小； （2）若，求的周长的取值范围。【变式3】如图，在等腰直角中，点在线段上 (1)若，求的长；(2)若点在线段上，且，问：当取何值时，的面积最小？并求出面积的最小值6. 三角形中几种常见的变换方法6.1 两角和与第三角的三角函数关系【典例】在中，角所对应的边分别为.已知，求角C.【评注】在中，所以有；.【变式1】在中，角所对应的边分别为.若,，则（ ） （A）4 （B） （C）3 （D）【变式2】在中，角所对应的边分别为.已知，则的值为 .【变式3】在中，角所对应的边分别为.若，则之间的关系可用等式表示为 【变式4】在中，角所对应的边分别为.已知，求B.【变式5】已知是三角形三内角，向量，且，若，求的值.【变式6】在中，已知(1)求证：；(2)若求A的值 【变式7】已知的内角，面积满足所对的边，求证： 。 【变式8】在锐角三角形中，若，则的最小值是 . 6.2 不能遗忘的“切化弦”【典例】已知锐角中，角所对应的边分别为.且，则角B的大小为_【评注】在三角函数部分切弦互化是很容易想到，在解三角形问题中，遇到切也要考虑是否需要采用“切化弦”.【变式1】在中，已知，则 【变式2】在锐角中，角所对应的边分别为.，则 .【变式3】 在中，角所对的边分别为，若，且，则该三角形的面积的最大值为 . 7.常见的解三角形实例7.1距离的测量问题 【典例】在相距2千米的两点处测量目标点C（无法到达），若，则两点之间的距离为_千米 【评注】(1)在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线（如本题中的线段AB）一般来说，基线越长，测量的精确度越高 (2)解决实际测量问题的过程一般要充分理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解【变式1】如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75处，且与它相距8 n mile.此船的航速是_ n mile/h.【变式2】要测量对岸两点之间的距离，选取相距 km的两点，并测得，求之间的距离7.2高度的测量问题【典例1】如图所示，为测一树的高度，在地面上选取两点，从两点分别测得树尖的仰角为30，45，且两点间的距离为60m，则树的高度为_m.【评注】仰角和俯角：与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图)【变式1】如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，此时气球的高是，则河流的宽度BC约等于 .（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：，）【变式2】某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45，沿倾斜角为30的斜坡前进1000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为60，则山的高度BC为_m. 【变式3】在某个位置测得某山峰仰角为，对着山峰在水平地面上前进900 m后测得仰角为，继续在水平地面上前进300 m后，测得山峰的仰角为，则该山峰的高度为_m. 【变式4】如图，在湖面上高为10 m的处测得天空中一朵云C的仰角为30，测得云C在湖中之影D的俯角为45，则云C距湖面的高度为_m.【典例2】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 m. 【评注】方向角：从东、西、南、北的某一方向开始最小角旋转到另一方向时所转的角度如西偏北75，就是从西开始旋转到正北，转过的角度为75方位角：从测者所站位置逆时针旋转到正北方向时所转的最小角【变式1】要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择两观测点，在两点测得塔顶的仰角分别为45，30，在水平面上测得电视塔底部与地连线及两地连线所成的角为120，两地相距500 m，则电视塔的高度是() A100 m B400 m C200 m D500 m【变式2】如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与.测得，30m，并在点测得塔顶的仰角为60，则塔高 m. 【变式3】如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得.已知山高m，则山高 m. 【变式4】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得北侧远处一山顶在西偏北的方向上，仰角为，行驶4km后到达处，测得山顶在西偏北的方向上. （）求山的高度；（）设汽车行驶过程中，仰望山顶的最大仰角为，求.【变式5】如图，跳伞塔高4，在塔顶测得地面上两点的俯角分别是，又测得,求两地的距离.7.3角度的测量问题【典例】甲船点发现乙船在北偏东60的处，乙船以每小时海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？【评注】追及问题常用正余弦定理求解【变式1】两座灯塔和与海岸观察站的距离相等，灯塔在观察站北偏东40，灯塔在观察站南偏东60，则灯塔在灯塔的( )A. 北偏东10 B.北偏西10 C. 南偏东10 D.南偏西10【变式2】如图，两座相距60 m的建筑物的高度分别为20m，50m，为水平面，则从建筑物的顶端看建筑物的张角为_【变式3】如图所示，位于处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的处的乙船，现乙船朝北偏东的方向即沿直线前往处救援，求的值【变式4】某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45，距离为10海里的处，并测得渔船正沿方位角为105的方向，以10海里/小时的速度向小岛B靠拢，我海军舰艇立即以10海里/小时的速度直线航行前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间7.4是否进入某区域问题【典例】海滨某城市A附近海面上有一台风，在城市A测得该台风中心位于方位角150、距离400km的海面P处，并以70km/h的速度沿北偏西60的方向移动.如果台风侵袭的范围是半径为250km的圆形区域，问：几小时后该城市开始受到台风侵袭？（）【评注】是否进入某区域问题，一般转化为动点到定点的距离与符合某区域条件的距离的大小比较.【变式1】如图，一船由西向东航行，在A处,测得某岛M的方位角为，前进5km后在B处测得此岛的方位角为，已知该岛周围4km内有暗礁，如果继续东行，有无触礁的危险？【变式2】外轮除特许外，不得进入离我国海岸线d n mile以内的区域，如图，设A,B是相距是s n mile的两个观测站，一外轮在P点，测得，问：满足什么关系时就该向外轮发出警告，令其退出我国海域？【变式3】如图，某自行车手从O点出发，沿折线O-A-B-O匀速骑行，其中点A位于点O南偏东45且与点O相距千米.该车手于上午8点整到达A，8点20分骑至点C，点C位于点O南偏东（）（其中）且与点O相距千米（假设所有路面与观测点都在同一水平面上）.（1）求该自行车手的骑行速度；（2）若点O正西方向27.5千米处有个气象观测站E，假定以点E为中心的3.5千米范围内有长时间的持续强降雨.试问：该自行车手会不会进入降雨区，并说明理由.7.5与最值有关的实际应用问题【典例】如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米，观察者从距离墙米，离地面高米的C处观赏该壁画，设观赏视角.若，问：观察者离墙多远时，视角最大？ 【评注】应用正余弦定理将角之间的关系，转化为边之间的关系。再应用基本不等式、常见函数的单调性求最值。【变式1】如图，直角三角形ABC，点分别在上（点和点B不重合），将沿翻折，变为，使顶点落在边上（点和点B不重合）.设.(1) 用表示线段的长度，并写出的取值范围；（2）求线段长度的最小值.A【变式2】如图，某海滨浴场的岸边可近似地看作直线，救生员现在岸边的A处，发现海中的B处有人求救，救生员没有直接从A处游向B处，而是沿岸边A跑到离B最近的D处，然后游向B处，若救生员在岸边的行进速度为6米/秒，在海水中的行进速度为2米/秒.（1）分析救生员的选择是否正确？（2）在AD上找一处C，使救生员从A到B的时间最短，并求出最短时间.