2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛仿真模拟(15).doc

陈自山整理2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛仿真模拟(15)偏难一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上）【第1题:福建预赛热点题】 【第2题:立体几何】【第3题:柯西不等式】 【第4题:不等式最值】【第5题:数列】著名的斐波那契数列an：1，1，2，3，5，8，满足a1=a2=1，an+2=an+1+an，nN*，那么1+a3+a5+a7+a9+a2017是斐波那契数列的第 项【第6题:平面向量】已知正三角形ABC的边长为，点M是ABC所在平面内的任一动点，若，则的取值范围为 【第7题:函数性质】已知函数y=f（x）和y=g（x）的图象关于y轴对称，当函数y=f（x）和y=g（x）在区间a，b上同时递增或者同时递减时，把区间a，b叫做函数y=f（x）的“不动区间”，若区间1，2为函数y=|2xt|的“不动区间”，则实数t的取值范围是 【第8题:导数极值、数形结合、线性规划】 【第9题:圆锥曲线】【第10题:数形结合】二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程）【第11题：数列求和，单调性】已知数列an是等比数列，首项a1=1，公比q0，其前n项和为Sn，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列（）求数列an的通项公式；（）若数列bn满足，Tn为数列bn的前n项和，若Tnm恒成立，求m的最大值【第12题：解析几何:分类讨论、面积定值】在平面直角坐标系中，已知椭圆C：+y2=1 （a0，a1）的两个焦点分别是F1，F2，直线l：y=kx+m（k，mR）与椭圆交于A，B两点（1）若M为椭圆短轴上的一个顶点，且MF1F2是直角三角形，求a的值；（2）若k=1，且OAB是以O为直角顶点的直角三角形，求a与m满足的关系；（3）若a=2，且kOAkOB=，求证：OAB的面积为定值【第13题:导数】已知函数f（x）=ex2（a1）xb，其中e为自然对数的底数（1）若函数f（x）在区间0，1上是单调函数，试求实数a的取值范围；（2）已知函数g（x）=ex（a1）x2bx1，且g（1）=0，若函数g（x）在区间0，1上恰有3个零点，求实数a的取值范围【第14题：2015女子全国赛】【第15题：组合最值之方格，2015女子全国赛】2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛仿真模拟15参考答案【第1题】 【第2题】【第3题】 【第4题】【第5题】解：根据题意，斐波那契数列an中，an+2=an+1+an，当n为奇数时，则有an+1=an+an1=an+an2+an3=an+an2+an4+an6=an+an2+an4+an6+a1+1，则有1+a3+a5+a7+a9+a2017=a2018；即1+a3+a5+a7+a9+a2017是斐波那契数列的第2018项，答案为：2018【第6题】解：以A点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，0），B（，0），C（，），不妨设M（cos，sin），+=（cos，sin）+（cos，sin）+（cos，sin）=（3cos，3sin），|+|2=（3cos）2+（3sin）2=9（2cossin）=1818sin（+），1sin（+）1，01818sin（+）36，的取值范围为0，6，故答案为：0，6【第7题】解：因为函数y=f（x）与y=F（x）的图象关于y轴对称，所以F（x）=f（x）=|2xt|，因为区间1，2为函数y=|2xt|的“不动区间”，所以函数y=|2xt|和函数F（x）=|2xt|在1，2上单调性相同，因为y=2xt和函数y=2xt的单调性相反，所以（2xt）（2xt）0在1，2上恒成立，即1t（2x+2x）+t20在1，2上恒成立，即2xt2x在1，2上恒成立，得t2；故答案为：【第8题】【第9题】 【第10题】【第11题】试题解析：（）因为， ， 成等差数列，所以，所以，所以，因为数列是等比数列，所以，又，所以，所以数列的通项公式；，所以故所以所以所以所以是递增数列，所以，所以，所以的最大值为【第12题】解：（1）M为椭圆短轴上的一个顶点，且MF1F2是直角三角形，MF1F2为等腰直角三角形，OF1=OM，当a1时，=1，解得a=，当0a1时，=a，解得a=，（2）当k=1时，y=x+m，设A（x1，y1），（x2，y2），由，即（1+a2）x2+2a2mx+a2m2a2=0，x1+x2=，x1x2=，y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2=，OAB是以O为直角顶点的直角三角形，=0，x1x2+y1y2=0，+=0，a2m2a2+m2a2=0m2（a2+1）=2a2，（3）证明：当a=2时，x2+4y2=4，设A（x1，y1），（x2，y2），kOAkOB=，=，x1x2=4y1y2，由，整理得，（1+4k2）x2+8kmx+4m24=0x1+x2=，x1x2=，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=+m2=，=4，2m24k2=1，|AB|=2=O到直线y=kx+m的距离d=，SOAB=|AB|d=1【第13题】解：（1）根据题意，函数f（x）=ex2（a1）xb，其导数为f（x）=ex2（a1），当函数f（x）在区间0，1上单调递增时，f（x）=ex2（a1）0在区间0，1上恒成立，2（a1）（ex）min=1（其中x0，1），解得；当函数f（x）在区间0，1单调递减时，f（x）=ex2（a1）0在区间0，1上恒成立，2（a1）（ex）max=e（其中x0，1），解得综上所述，实数a的取值范围是（2）函数g（x）=ex（a1）x2bx1，则g（x）=ex2（a1）xb，分析可得f（x）=g（x）由g（0）=g（1）=0，知g（x）在区间（0，1）内恰有一个零点，设该零点为x0，则g（x）在区间（0，x0）内不单调，所以f（x）在区间（0，x0）内存在零点x1，同理，f（x）在区间（x0，1）内存在零点x2，所以f（x）在区间（0，1）内恰有两个零点由（1）知，当时，f（x）在区间0，1上单调递增，故f（x）在区间（0，1）内至多有一个零点，不合题意当时，f（x）在区间0，1上单调递减，故f（x）在（0，1）内至多有一个零点，不合题意；所以令f（x）=0，得x=ln（2a2）（0，1），所以函数f（x）在区间0，ln（2a2）上单调递减，在区间（ln（2a2），1上单调递增记f（x）的两个零点为x1，x2（x1x2），因此x1（0，ln（2a2），x2（ln（2a2），1），必有f（0）=1b0，f（1）=e2a+2b0由g（1）=0，得a+b=e，所以，又f（0）=ae+10，f（1）=2a0，所以e1a2综上所述，实数a的取值范围为（e1，2）【第14题】【第15题】 7