2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛模拟(5).doc

陈自山整理2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛模拟(5)一填空题（每小题6分，共60分）1函数的最大值是 _2青蛙在正六边形ABCDEF上A点处，每次向相邻顶点跳跃.到达D点或者跳满五次则停止.不同跳跃方式有_种.3设,则的最大值为 _4设数列的前项和满足：，则通项= _5已知椭圆1(ab0)与直线交于M, N两点, 且(为原点), 当椭圆的离心率e, 时, 椭圆长轴长的取值范围是 _6对于每个大于等于2的整数，令表示在区间上不同解的个数，表示在区间上不同解的个数，则=_7在平面直角坐标系中，定义点P(x1, y1), Q(x2, y2)之间的“直角距离”为d(P, Q)=|x1x2|y1y2|若C(x, y)到点A(1, 3), B(6, 9)的“直角距离”相等，其中实数x, y满足0x10, 0y10，则所有满足条件的点C的轨迹的长度之和为 _8一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 9复数，使，则的所有可能值为 _ _10所有的满足条件的正整数对的个数为 二、解答题（每小题20分，共100分）11. 设，数列满足，（1）求数列的通项公式； （2）证明：对于一切正整数，12. 已知椭圆，过定点两条互相垂直的动直线分别椭交圆于两点。分别为左右焦点，为坐标原点。 （1）求向量的最小值；（2）当向量与互相垂直时，求两点所在直线的斜率。13. 已知函数有极值,且导函数的极值点是的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求关于 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明; （3）若,这两个函数的所有极值之和不小于，求的取值范围.14. 如图，C为半圆弧的中点，点为直径BA延长线上一点，过作半圆的切线，为切点，的平分线分别交于点求证：以为直径的圆过半圆的圆心15. 试求最小的正整数使得对于任何个连续正整数中，必有一数，其各位数字之和是7的倍数.2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛模拟5 参考答案1、函数的定义域为1, 5，且y0, 当且仅当，等号成立，即x时函数取最大值62、 跳5步共有32种，其中包含3步跳到D的两种情形，应减去8种，所以满足条件的5步跳有24种。在加上2种3步跳，共26种。3、, 当时, 4. ，即 2 =，由此得 2令， ()，有，故，所以5. 由,可得 由得, 即, 将,代入得, 即, 因为, 得, 得, 有, 解得.6、由得：，即 或，又，则或；但两组取值可能重复。若，讨论得：时重复一组。同理对于，或，或，时重复一组。比较两种解的取值知，为公共部分，为奇数时，比多一组解，但当时重复一组。 只当时重复一组。实质只有当时，比多1个解，其余情况解相同。所以=。答图17. 由条件得 -当y9时，化为，无解； 当y3时，化为，无解；当3y9时，化为 -若x1，则y8.5，线段长度为；若1x6，则xy9.5，线段长度为5；若x6，则y3.5，线段长度为综上可知，点C的轨迹的构成的线段长度之和为1545(1)8. 如答图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为，作平面 /平面，与小球相切于点，则小球球心为正四面体的中心，垂足为的中心因，故，从而记此时小球与面的切点为，连接，则考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为)相切时的情况，答图2易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为，如答图2记正四面体的棱长为，过作于 因，有，故小三角形的边长小球与面不能接触到的部分的面积为（如答图2中阴影部分） 又，所以由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为9答案：0，1， 解：=，当 时，满足条件，当 时，设 ，由(2) 1） 代入(1) 整理得：2），则 代入(1) 得：，经检验复数均满足条件. 的所有可能值为0，1，.10解：显然由条件得，从而有即，再结合条件及以上结果，可得，整理得，从而即，所以当时，不符合；当时，（不符合）综上，满足本题的正整数对只有，故只有1解11. 解：， 当时，即 当且时，当时，是以为首项，为公比的等比数列， ，综上所述（2）方法一：证明： 当时，； 当且时，对于一切正整数，方法二：证明： 当时，； 当且时，要证，只需证，即证，即证即证即证，原不等式成立。对于一切正整数，12. 解：（1），所以=2.即最小值为当点位于短轴上顶点时，取等号.（2），所以与互相垂直，则线段为直角与直角公共斜边。设线段中点为，则，即 设直线方程为，与联立得：，由得： 又由与互相垂直知 直线与合成得：，即，由得，由与解得13.列表如下x+00+极大值极小值故的极值点是.从而，因此，定义域为.（2）由（1）知，.设，则.当时，从而在上单调递增.因为，所以，故，即.因此.因此a的取值范围为.14.证明：连结，因为是半圆弧的中点，是切线所以所以 因为平分所以所以四点共圆，四点共圆所以，所以四点共圆，四点共圆，所以共圆，即以为直径的圆过半圆的圆心15. 解：首先，我们可以指出12个连续正整数，例如994，995，999，1000，1001，1005，其中任一数的各位数字之和都不是7的倍数，因此，.再证，任何连续13个正整数中，必有一数，其各位数字之和是7的倍数.对每个非负整数，称如下10个数所构成的集合:为一个“基本段”，13个连续正整数，要么属于两个基本段，要么属于三个基本段。当13个数属于两个基本段时，据抽屉原理，其中必有连续的7个数，属于同一个基本段；当13个连续数属于三个基本段时，其中必有连续10个数同属于.现在设 是属于同一个基本段的7个数，它们的各位数字之和分别是显然，这7个和数被7除的余数互不相同，其中必有一个是7的倍数.因此，所求的最小值为