2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛模拟(5).doc

陈自山整理
2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛模拟(5)
一．填空题（每小题6分，共60分）
1．函数的最大值是 _______
2．青蛙在正六边形ABCDEF上A点处，每次向相邻顶点跳跃.到达D点或者跳满五次则停止.不同跳跃
方式有____________种.
3．设,则的最大值为 ___________
4．设数列的前项和满足：，，则通项= ______
5．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)与直线交于M, N两点, 且(为原点), 当椭圆的离心率e∈[, ]时, 椭圆长轴长的取值范围是 __________
6．对于每个大于等于2的整数，令表示在区间上不同解的个数，
表示在区间上不同解的个数，则=____________
7．在平面直角坐标系中，定义点P(x1, y1), Q(x2, y2)之间的“直角距离”为d(P, Q)=|x1－x2|＋|y1－y2|
若C(x, y)到点A(1, 3), B(6, 9)的“直角距离”相等，其中实数x, y满足0≤x≤10, 0≤y≤10，
则所有满足条件的点C的轨迹的长度之和为 _________
8．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，
则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是
9．复数，使，则的所有可能值为 _____ ____．
10．所有的满足条件的正整数对的个数为 ．
二、解答题（每小题20分，共100分）
11. 设，数列满足，．
（1）求数列的通项公式； （2）证明：对于一切正整数，
12. 已知椭圆，过定点两条互相垂直的动直线分别椭交圆于两点。分别
为左右焦点，为坐标原点。 （1）求向量的最小值；
（2）当向量与互相垂直时，求两点所在直线的斜率。
13. 已知函数有极值,且导函数的极值点是的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）
（1）求关于 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明;
（3）若,这两个函数的所有极值之和不小于，求的取值范围.
14. 如图，C为半圆弧的中点，点为直径BA延长线上一点，过作半圆的切
线，为切点，的平分线分别交于点．
求证：以为直径的圆过半圆的圆心Ｏ．
15. 试求最小的正整数使得对于任何个连续正整数中，必有一数，其各位数字之和是7的倍数.

2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛模拟5 参考答案
1、函数的定义域为[1, 5]，且y＞0,

当且仅当，等号成立，即x＝时函数取最大值6
2、 跳5步共有32种，其中包含3步跳到D的两种情形，应减去8种，所以满足条件的5步跳有24种。在加上2种3步跳，共26种。
3、
, 当时,
4. ，即 2
=，由此得 2．
令， ()，有，故，所以．
5. 由,可得 ①
由得, 即, 将,
代入得, 即, 因为, 得
, 得, 有, 解得.
6、由得：，即 或，又，
则或；但两组取值可能重复。若，讨论得：
时重复一组。同理对于，或，或，
时重复一组。比较两种解的取值知，为公共部分，为奇数时，
比多一组解，但当时重复一组。
只当时重复一组。实质只有当时，比多1个解，
其余情况解相同。所以=。
答图1
7. 由条件得 --------①
当y≥9时，①化为，无解； 当y≤3时，①化为，无解；
当3≤y≤9时，①化为 -------②
若x≤1，则y＝8.5，线段长度为１；若1≤x≤6，则x＋y＝9.5，线段长度为5；若x≥6，
则y＝3.5，线段长度为４．综上可知，点C的轨迹的构成的线段长度之和为1＋5＋4＝5(＋1)
8. 如答图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为，作平面
//平面，与小球相切于点，则小球球心为正四面体
的中心，，垂足为的中心．
因，
故，从而．
记此时小球与面的切点为，连接，则．
考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为)相切时的情况，
答图2
易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，
记为，如答图2．记正四面体的棱长为，过作于．
因，有，
故小三角形的边长．
小球与面不能接触到的部分的面积为（如答图2中阴影部分）
．　　　　　　　　　
又，，所以．
由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为
9．答案：0，1， 解：=，∴
当 时，满足条件，当 时，
设
∴ ，由(2)
1） 代入(1) 整理得：
2），则 代入(1) 得：，经检验复数均满足条件.
∴ 的所有可能值为0，1，.
10．解：显然．由条件得，从而有
即，再结合条件及以上结果，可得，整理得
，从而
即，所以．当时，，不符合；当时，（不符合）．
综上，满足本题的正整数对只有，故只有1解．
11. 解：∵，∴，∴
① 当时，，∴，即
② 当且时，，当时，
∴是以为首项，为公比的等比数列， ∴
∴，∴
综上所述
（2）方法一：证明：① 当时，；
② 当且时，

∴对于一切正整数，．
方法二：证明：① 当时，；
② 当且时，要证，只需证，
即证，即证
即证
即证
∵

，
∴原不等式成立。∴对于一切正整数，．
12. 解：（1），所以=2.即最小值为
当点位于短轴上顶点时，取等号.
（2），，所以与互相垂直，则线段为直角
与直角公共斜边。设线段中点为，则，即 ①
设直线方程为，与联立得：
，由①得： ②
又由与互相垂直知③ 直线与合成得：，即，由③得④，由②与④解得
13.
列表如下
x

+
0
–
0
+

极大值

极小值

故的极值点是.从而，因此，定义域为.
（2）由（1）知，.设，则.
当时，，从而在上单调递增.
因为，所以，故，即.
因此.

因此a的取值范围为.
14.证明：连结，因为是半圆弧的中点，
是切线．所以　
所以 因为平分
所以
所以四点共圆，四点共圆
所以，，所以四点共圆，
四点共圆，所以共圆，即以为直径的圆过半圆的圆心Ｏ．　
15. 解：首先，我们可以指出12个连续正整数，例如994，995，…，999，1000，1001，…，1005，其中任一数的各位数字之和都不是7的倍数，因此，.
再证，任何连续13个正整数中，必有一数，其各位数字之和是7的倍数.对每个非负整数，称如下10个数所构成的集合:为一个“基本段”，13个连续正整数，要么属于两个基本段，要么属于三个基本段。当13个数属于两个基本段时，据抽屉原理，其中必有连续的7个数，属于同一个基本段；当13个连续数属于三个基本段时，其中必有连续10个数同属于.现在设 是属于同一个基本段的7个数，它们的各位数字之和分别是显然，这7个和数被7除的余数互不相同，其中必有一个是7的倍数.因此，所求的最小值为