2021-2022学年高中数学-第三章-不等式-4.1-二元一次不等式与平面区域教案-北师大版必修5.doc

2021-2022学年高中数学 第三章 不等式 4.1 二元一次不等式与平面区域教案 北师大版必修5

2021-2022学年高中数学 第三章 不等式 4.1 二元一次不等式与平面区域教案 北师大版必修5

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§4　简单线性规划
4.1　二元一次不等式(组)与平面区域
学
习
目
标
1.会从实际情景中抽象出二元一次不等式(组).(数学抽象)
2.了解二元一次不等式的几何意义.(直观想象)
3.会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域.(直观想象)
必备知识·自主学习
导思
1.如何理解“以线定界,以点定域”?
2.如何作出二元一次不等式(组)所表示的平面区域?
1.二元一次不等式与平面区域
(1)概念背景:直线l:ax+by+c=0把直角坐标平面分成了三部分,即自身和它的两侧.
①直线l上的点(x,y)的坐标满足ax+by+c=0;
②直线l一侧的平面区域内的点(x,y)的坐标满足ax+by+c>0;
③直线l另一侧的平面区域内的点(x,y)的坐标满足ax+by+c<0.
(2)判断方法:判断不等式ax+by+c>0所表示的平面区域,只需在直线ax+by+c=0的某一侧的平面区域内选取一个特殊点(x0,y0),从ax0+by0+c值的正负,即可判断不等式表示的平面区域.
(3)画法注意点:若把直线l:ax+by+c=0画成实线,表示平面区域包括这一边界直线;若把直线画成虚线,则表示平面区域不包括这一边界直线.

如何判定二元一次不等式表示平面区域?
提示:以线定界,以点(原点)定域(以ax+by+c>0为例).
(1)“以线定界”,即画二元一次方程ax+by+c=0表示的直线定边界,其中要注意实线或虚线;
(2)“以点定域”,由于对在直线ax+by+c=0同侧的点,实数ax+by+c的值的符号都相同,故为了确定ax+by+c的符号,可采用取特殊点,如取原点等.
2.二元一次不等式组与平面区域的作图
具体步骤如下:(1)画线——画出不等式对应方程表示的直线(如果原不等式带等号,则画成实线,否则画成虚线);
(2)定侧——将某个区域位置明显的特殊点的坐标代入不等式,根据“同侧同号、异侧异号”的规律确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧;
(3)求“交”——在确定了各个不等式所表示的平面区域之后,再求这些区域的公共部分,该公共部分就是不等式组表示的平面区域.

1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)不等式y>x表示直线y=x左上方的半平面(不含直线). (　　)
(2)直线x+y+1=0左下方的半平面(含直线)用不等式x+y+1≥0表示. (　　)
(3)点(2,4)在不等式x+2y<1表示的平面区域内. (　　)
(4)由于不等式2x-1>0不是二元一次不等式,故不能表示平面的某一区域. (　　)
(5)不等式Ax+By+C>0与Ax+By+C≥0表示的平面区域是相同的. (　　)
提示:(1)√.因为直线y=x将坐标平面分为左上方和右下方两个半平面,不等式y>x表示直线y=x左上方的半平面(不含直线),不等式y<x表示直线y=x右下方的半平面(不含直线).
(2)×.直线x+y+1=0将坐标平面分为左下方和右上方两个半平面,原点(0,0)在直线右上方,且满足x+y+1>0,那么直线右上方的平面区域用不等式x+y+1≥0表示(含直线),直线左下方的平面区域用不等式x+y+1≤0表示(含直线).
(3)×.由于2+2×4=10>1,所以点(2,4)不在不等式x+2y<1表示的平面区域内.
(4)×.不等式2x-1>0表示直线x=右侧的平面区域.
(5)×.不等式Ax+By+C>0表示的平面区域不包含直线Ax+By+C=0上的点,而Ax+By+C≥0表示的平面区域则包含直线Ax+By+C=0上的点.
2.不等式3x+2y-6≤0表示的平面区域是 (　　)

【解析】选D.作出直线3x+2y-6=0,代入点(0,0)得3x+2y-6=-6<0,点(0,0)在3x+2y-6≤0所表示的平面区域内.
3.(教材二次开发:例题改编)不等式组表示的平面区域(阴影部分)是 (　　)

【解析】选B.将点代入x-3y+6>0成立,则点在不等式x-3y+6>0所表示的平面区域内.将点代入x-y+2≤0不成立,则点不在不等式x-y+2≤0所表示的平面区域内.所以不等式组,表示的平面区域(阴影部分)为下图.

关键能力·合作学习
类型一　二元一次不等式(组)与平面区域(直观想象)

1.(2020·西安高一检测)原点和点(1,1)在直线x+y=2a两侧,则a的取值范围是 (　　)
A.a<0或a>1 B.0<a<1
C.a=0或a=1 D.0≤a≤1
【解析】选B.直线方程一般式为x+y-2a=0,
而原点和点在直线x+y=2a两侧,
则-2a(2-2a)<0,解得0<a<1.
2.(2020·六安高一检测)(x+2y+1)(x-y+4)<0表示的平面区域为 (　　)

【解析】选B.由题得
或先作出不等式
对应的可行域,是选项B中上面的一部分;
再作出对应的可行域,是选项B中下面的一部分.
3.画出不等式组表示的平面区域.
【解析】如图所示

不等式①表示直线x+y-1=0的上方(包括直线)的平面区域;
不等式②表示直线x-y=0下方(包括直线)的平面区域;
不等式③表示直线x=2左方(包括直线)的平面区域.
所以,原不等式组表示上述平面区域的公共部分(阴影部分).

　画二元一次不等式组表示的平面区域的一般步骤

【补偿训练】
画出不等式组所表示的平面区域.
【解析】先画出直线2x+y-4=0,由于含有等号,所以画成实线.
取直线2x+y-4=0左下方的区域的点(0,0),由于2×0+0-4<0,所以不等式2x+y-4≤0表示直线2x+y-4=0及其左下方的区域.同理对另外两个不等式选取合适的测试点,可得不等式x>2y表示直线x=2y右下方的区域,不等式y≥0表示x轴及其上方的区域.取三个区域的公共部分,就是上述不等式组所表示的平面区域,如图所示.

类型二　二元一次不等式组表示平面区域的面积(数学运算)
　角度1　求平面区域的面积 
【典例】(2020·重庆高一检测)不等式组表示的平面区域的面积为　　　. 
【思路导引】由题画出平面区域,进而求得面积即可.
【解析】作出平面区域如图所示:

所以面积S=×3×2=3.
答案:3

(2020·安阳高一检测)在平面直角坐标系中,不等式组表示的平面区域的面积是　　　　. 
【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,平面区域为一个三角形及其内部,三个顶点的坐标分别为,,,所以平面区域的面积为S=××1=.

答案:
　角度2　由平面区域的面积求参数值 
【典例】若不等式组所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分,则k的值是 (　　)
A. B. C. D.
【思路导引】注意直线y=kx+平分平面图形的面积,由平面图形的形状以及直线过三角形的一个顶点,所以该直线还应过另一个边的中点.
【解析】选A.不等式组表示的平面区域如图所示.

由于直线y=kx+过定点.因此只有直线过AB的中点时,直线y=kx+能平分平面区域.
因为A(1,1),B(0,4),所以AB的中点坐标为.
当y=kx+过点时,=+,
所以k=.

　与平面区域有关的计算方法
(1)画出不等式组表示的平面区域,并计算端点的坐标.
(2)根据平面区域的形状特点,选择合适的公式计算线段的长度、图形的面积,不规则的图形可用分割法求其面积.
(3)注意转化思想方法的应用,如把最大、最小问题转化为两点间的距离,点到直线的距离等.

1.不等式组所表示的平面区域的面积是　　　　. 
【解析】如图所示,其中的阴影部分便是不等式组所表示的平面区域.由得A(1,3).

同理得B(-1,1),C(3,-1).
因为|AC|==2,
而点B到直线2x+y-5=0的距离为d==,
所以S△ABC=|AC|·d=×2×=6.
答案:6
2.(2020·泸州高一检测)不等式组表示的平面区域的面积为 (　　)
A.36 B.36 C.72 D.72
【解析】选A.不等式组表示的平面区域为直角三角形ABC及其内部的部分,
联立解得可得点A,同理可得B,C,
==12,点A到直线x=3的距离为d==6,

△ABC的面积为S△ABC=××d=×12×6=36.
因此不等式组表示的平面区域的面积为36.
3.(2020·九江高一检测)已知不等式组表示面积为1的直角三角形区域,则实数k的取值范围为 (　　)
A.1 B.-1 C.0 D.-2
【解析】选A.作不等式组所表示的可行域如图所示,由于直线x=1与直线x+y-4=0不垂直,因此直线kx-y=0与直线x=1或直线x+y-4=0垂直.若直线kx-y=0与直线x=1垂直,则k=0,直线kx-y=0为x轴,此时可行域为腰长为3的等腰直角三角形,此时三角形的面积为;若直线kx-y=0与直线x+y-4=0垂直,则k=1,此时,直线x-y=0与直线x=1与直线x+y-4=0分别交于点与点,则可行域是腰长为的等腰直角三角形,此时可行域的面积为×=1.

【补偿训练】
(2020·焦作高一检测)若A为不等式组表示的平面区域,则当a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过A中的部分区域的面积为 (　　)

A.1 B.1.5 C.0.75 D.1.75
【解析】选D.如图,不等式组表示的平面区域是△AOB,

动直线x+y=a(即y=-x+a)在y轴上的截距从-2变化到1,知△ADC是斜边为3的等腰直角三角形,△EOC是直角边为1的等腰直角三角形,所求区域的面积为
S阴影=S△ADC-S△EOC=×3×-×1×1==1.75.
类型三　用二元一次不等式组表示实际问题(数学建模)
【典例】某人上午7:00乘汽车以v1千米/时(30≤v1≤100)匀速从A地出发到距离300 km的B地,在B地不停留,然后骑摩托车以v2千米/时(4≤v2≤20)匀速从B地出发到距离50 km的C地,计划在当天16:00至21:00到达C地,设乘汽车、骑摩托车行驶的时间分别是x,y小时,则在xOy坐标系中,满足上述条件的x,y的范围阴影部分如图表示正确的是 (　　)

【思路导引】先将实际问题,转化为二元一次不等式与平面区域问题,再画出图形即可得出答案.
【解析】选B.由题可得,v1=,v2=.
所以即
作图得B.

　平面区域表示实际问题相关量取值范围的基本方法
(1)用字母表示量:根据问题的需要选取两个起关键作用的关联较多的量,用字母表示.
(2)用不等式表示不等关系:把实际问题中有关的限制条件用不等式表示出来.
(3)用区域表示不等式(组):把这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来.

　某厂使用两种零件A,B装配甲、乙两种产品,该厂的生产能力是每月生产甲产品最多2 500件,每月生产乙产品最多1 200件,而且装一件甲产品需要4个A,6个B,装一件乙产品需要6个A,8个B.某月,该厂能用的A最多有14 000个,B最多有12 000个,用不等式将甲、乙两种产品产量之间的关系表示出来,并画出相应的平面区域.
【解析】设甲、乙两种产品产量分别为x,y件,由题意得二元一次不等式组在平面直角坐标系中,画出不等式组表示的平面区域,如图阴影部分所示.

课堂检测·素养达标
1.已知点(1,0)与(2,5)位于mx+y-1=0异侧,则m的取值范围是 (　　)
A.(-2,1) B.(-1,2)
C.(-1,+∞) D.(-∞,2)
【解析】选A.若点(1,0)与(2,5)位于mx+y-1=0异侧,将两点分别代入直线方程中,则<0,即<0,所以-2<m<1.
2.下列二元一次不等式组可表示图中阴影部分平面区域的是 (　　)

A.
B.
C.
D.
【解析】选C.将原点坐标(0,0)代入2x-y+2得2x-y+2=2>0,于是2x-y+2≥0表示直线2x-y+2=0右下方的平面区域,再结合所给图形,可知C符合.
3.(教材二次开发:习题改编)直角坐标系内的一动点,运动时该点坐标满足不等式x<y,则这个动点的运动区域(用阴影表示)是 (　　)

【解析】选A.由题意可知,x<y表示直线y=x上方的区域,结合所给的选项,只有A选项符合题意.
4.如图中的阴影部分用不等式表示为　　　　. 

【解析】易于看出直线的方程为y=x+5,
又(0,0)不在区域内且边界为虚线,
故不等式为y>x+5,即5x-2y+10<0.
答案:5x-2y+10<0
5.在平面直角坐标系中,求不等式组表示的平面区域面积.
【解析】如图所示,不等式组表示的平面区域为△ABC边界及其内部的部分.由可得A(1,5),同理可得B(-2,2),C(1,-1),故AC=6,△ABC中AC边上的高h=3,
所以S△ABC=·AC·h=9.