2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛模拟(9).doc

陈自山整理2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛模拟(9)一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上）1已知数列满足，（），则的最小值为 。2对于函数，若对任意的，存在唯一的，使得，则称函数在上的几何平均数为。已知，则函数在上的几何平均数 。3若三个非零且互不相等的实数、满足，则称、是调和的；若满足，则称、是等差的。已知集合，集合是集合的三元子集，即。若集合中元素、既是调和的，又是等差的，则称集合为“好集”。则不同的“好集”的个数为 。4已知实数，满足，且，则的最小值为 。5如图，在四面体中，是边长为3的等边三角形。若，则四面体外接球的面积为 。6在正十边形的10个顶点中，任取4个点，则以这4个点为顶点的四边形为梯形的概率为 。7方程在区间内的所有实根之和为 。8已知为上增函数，且对任意，都有，则 。9已知集合的元素都是整数，其中最小的为1，最大的为200。且除1以外，中每一个数都等于中某两个数（可以相同）的和。则的最小值为 。（符号表示集合中元素的个数）10已知函数，则函数在区间上的最大值为 。二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程）11将各项均为正数的数列排成如下所示的三角形数阵（第行有个数，同一行中，下标小的数排在左边）。表示数阵中，第行、第1列的数。已知数列为等比数列，且从第3行开始，各行均构成公差为的等差数列（第3行的3个数构成公差为的等差数列；第4行的4个数构成公差为的等差数列，），。（1）求数阵中第行、第列的数（用、表示）。（2）求的值；（3）2013是否在该数阵中？并说明理由。12已知、为抛物线：上的两个动点，点在第一象限，点在第四象限。、分别过点、且与抛物线相切，为、的交点。（1）若直线过抛物线的焦点，求证：动点在一条定直线上，并求此直线方程；（2）设、为直线、与直线的交点，求面积的最小值。13如图，在中，它的内切圆分别与边、相切于点、，连接，与内切圆相交于另一点，连接、。（1）求证：；（2）若，求证：。14已知。（1）求在区间上的最小值；（2）利用函数的性质，求证：（，且）；（3）求证：（，且）。15已知集合。，为集合中构成等差数列的个元素。求的最大值。2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛模拟9参考答案1 【解答】由，知，。上述个等式左右两边分别相加，得。 ，又时，；时，。 时，取最小值。2【解答】 当时， 在区间上为增函数，其值域为。 根据函数几何平均数的定义知，。3【解答】若、既是调和的，又是等差的，则，。即“好集”为形如（）的集合。由“好集”是集合的三元子集知，且。 ，且。符合条件的可取1006个值。4 【解答】由知，。 。设，则，。当且仅当，即，时等号成立。 的最小值为27。5 【解答】面积为。6 【解答】设正十边形为。则以为底边的梯形有、共3个。同理分别以、为底边的梯形各有3个。这样，合计有30个梯形。以为底边的梯形有、共2个。同理分别以、为底边的梯形各有2个。这样，合计有20个梯形。以为底边的梯形只有1个。同理分别以、为底边的梯形各有1个。这样，合计有10个梯形。所以，所求的概率。7【解答】设，则对任意实数，。原方程化为。 若，则，（）。 （）。结合知，1，2，3，4，5，6。经检验，2，4，6符合要求。 若，则，（）。 （）。结合知，。经检验，均不符合要求。 符合条件的为0，2，4，6，它们的和为12。8【解答】依题意，为常数。设，则，。 ，。易知方程有唯一解。 ，。9【解答】易知集合符合要求。此时，。下面说明不符合要求。假设集合，符合要求。则，。由于，因此，。同理，由，知，。由，知，。由，知，与为整数矛盾。 不符合要求，。同理，也不符合要求。因此，的最小值为10。10 【解答】若为有理数，且。设（，），由知，。当时，不存在；当时，存在唯一的，此时，。当时，设，其中，且，此时。 ， 若为有理数，则时，取最大值。又为无理数，且时，。综合以上可知，最大值为。11【解答】（1）设的公比为。依题意，为数阵中第5行、第2列的数；为数阵中第6行、第3列的数。 ，。 ，。（2）由，知，为数阵中第63行，第60列的数。 。（3）假设2013为数阵中第行、第列的数。 第行中，最小的数为，最大的数为， 。由于时，因此不符合；由于时，因此不符合； 上述不等式无正整数解。 2013不在该数阵中。 12 【解答】（1）设，（）。易知斜率存在，设为，则方程为。由得， 由直线与抛物线相切，知。于是，方程为。同理，方程为。联立、方程可得点坐标为 ，方程为，过抛物线的焦点。 ，。 ，点在定直线上。（2）由（1）知，、的坐标分别为、。 。 。 设（），由知，当且仅当时等号成立。 。设，则。 时，；时，。在区间上为减函数；在区间上为增函数。 时，取最小值。 当，即，时，面积取最小值。13 【解答】（1）由条件知，又。，。 同理，由，知，。 ， 。 。（2） ， 。 。 结合（1）可知，。又 ， ，。 、四点共圆。又 ， ，。 14 【解答】（1） 。 时，即在区间上为增函数。 在区间上的最小值为。（2）由（1）知，对任意的实数，恒成立。 对任意的正整数，即恒成立。 ，。 。 。 ，且时，。（3）由柯西不等式知，。结合（2）的结论可知，当，且时，。15 【解答】（1）显然1，2，3，4，5，6这6个数在集合中，且构成等差数列。（2）下面证明集合中任意7个不同的数都不能构成等差数列。用反证法。设，为集合中构成等差数列的7个不同的元素，其公差为，。由集合中元素的特性知，集合中任意一个元素都不是7的倍数。 由抽屉原理知，这7个数中，存在2个数，它们被7除的余数相同，其差能被7整除。设（，）能被7整除。则。 。 设（为正整数），设（，为不超过6的正整数）。则，其中，3，7。 ， ，即公差只能为，。 ，。 ，除以7以后的余数各不相同，分别为1，2，6中的一个。因此，存在，使得能被7整除，设（为正整数）。则这样，的7进制表示中，7的系数（即从左到右第2位）为0，与矛盾。 集合中任意7个不同的数都不能构成等差数列。 的最大值为6。