2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛仿真模拟(12).doc

陈自山整理
2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛仿真模拟(12)
一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上）
【第1题:抽象函数取值范围】

【第2题:柯西不等式】

【第3题:中心对称问题】

【第4题:三角函数求和】

【第5题:立体图形等体积划分】

【第6题:平面向量最值】

【第7题:解析几何定义性质】

【第8题:复数与几何意义】

【第9题:夹逼函数解析式】

【第10题:待定系数不等式】

二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程）
【第11题：数列通项与求和】

【第12题：解析几何含因式分解】

【第13题:导数换元与含参】

【第14题：平面几何之基本结论】

【第15题：组合最值之多边形问题，2018年福建省初中数学竞赛第10题】
网络爬虫是一种互联网网页抓取工具。其算法与数学的一个重要分支图论有着密切的联系。图论可以追溯到大数学家欧拉提出的“哥尼斯堡七桥问题”。图论中讨论的图是由一些节点和连接这些节点的线组成的。请你回答下列问题：
把一个矩形区域划分成个凸多边形区域（这些凸多边形区域除公共边外，没有公共部分）。已知构成这个凸多边形的顶点中，恰有6个顶点在矩形内，12个顶点在矩形的边界上（含矩形的顶点）；同时，任何三个顶点不共线（除矩形边界上的顶点共线外）。若围成这个凸多边形的线段中，恰有18条线段在矩形区域内，求这个凸多边形中四边形个数的最大值.

2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛模拟12参考答案
【第1题】

【第2题】

【第3题】

【第4题】

【第5题】

【第6题】

【第7题】

【第8题】

【第9题】

【第10题】

【第11题】

【第12题】

【第13题】

【第14题】

【第15题】
【解答】设这个凸多边形中，有个三角形，个四边形，个五边形，…，个边形。
则这个凸多边形的内角和为
。
另一方面，矩形内部有6个顶点，对于每个顶点，围绕它的多边形的内角和为。矩形边界线段内（不含矩形顶点）有8个顶点，在每个顶点处，各多边形在此汇合成一个平角，其和为。在矩形的每个顶点处，各多边形在此汇合成一个直角，其和为。因此，这个凸多边形的内角和为。
∴
。
。 ……… ①
再考虑这个凸多边形的边数。
由于每个凸边形有条边，因此，这个凸多边形的边数和为。
另一方面，由条件知，在矩形内部的18条边，每条边都是两个凸多边形的公共边，应计算2次。而在矩形边界上的12个点，得到12条线段，它们都对应某个凸多边形的边。因此，这个凸多边形的边数和为。
∴ 。 ………②
由①、②，消去，得。
∴ 。
又如图所示的划分符合要求，此时，，。
（第10题答题图）
∴ 的最大值为，即这个凸多边形中，最多有9个四边形。