2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛模拟(1).doc

陈自山整理
2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛模拟(一)
一、填空题（每小题6分，共60分）
1. 函数的值域是___________
2. 设a, b, c为RT△ACB的三边长, 点(m, n)在直线ax+by+c=0上. 则m2+n2的最小值是___________
3. 若，且为正整数，则
4. 掷6次骰子, 令第次得到的数为, 若存在正整数使得的概率，其中是互质的正整数. 则= .
5. 已知点在曲线y=ex上，点在曲线y=lnx上，则的最小值是_______
6、已知是椭圆上一点，是其左焦点，在上且满足,,则点到该椭圆左准线的距离为 ．
7、正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，过点作截面与侧棱分别相交与点，当的周长最小时，的面积为 ．
8．四面体OABC中, 已知∠AOB=450,∠AOC=∠BOC=300, 则二面角A－OC－B的平面角的余弦值是__________
9．已知多项式f (x)满足：, 则_________
10. 设向量满足对任意和θ∈[0, ],恒成立. 则实数a的取值范围是 __________．
二、解答题（每小题20分，共100分）
11．设数列的前项和为，已知.
（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）证明：对一切正整数，有.
12、已知函数，，，连续，若存在均属于区间的，且，使，证明：.
13、设椭圆与抛物线有一个共同的焦点，为它们的一条公切线，、为切点，证明： ．
14. 设是的垂心，是边的中点，是以为直径的圆上两个不同的点（且它们均不与点重合），使得位于直线上，证明：的垂心位于的外接圆上 .
15、若整数既不互质，又不存在整除关系，则称是一个“联盟”数对；设是集的元子集，且中任两数皆是“联盟”数对，求的最大值．

2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛模拟1 参考答案
1.解：令sinx+cosx=t, 则t=,2sinxcosx=t2－1,
关于t+1在和
上均递增,所以,或, 即值域.
2. 解：因(m2+n2)c2=(m2+n2)(a2+b2)=(ma)2+(nb)2+(mb)2+(na)2
≥(ma)2+(nb)2+2mnab=(ma+nb)2=c2, 所以m2+n2≥1, 等号成立仅当mb=na且am+bn+c=0,
解得(m, n)=(), 所以m2+n2最小值是1.
3. 解：由知可能为1,3, 11, 33, 从而解得
4.解:当时，概率为;当时,，概率为；
当时，，概率为；
当时，，概率为；
当时， ，概率为；当时，概率为；故
,即,从而.
5. 解：因曲线y=ex与y=lnx关于直线y=x对称．所求的最小值为曲线y=ex上的点到直线y=x最小距离的两倍,设P(x, ex)为y=ex上任意点, 则P到直线y=x的距离,
因,所以,,即min=.
6、5 7、
C
A
O
B
8解:不妨设AC⊥OC⊥BC,∠ACB=,∠AOC=∠BOC=,∠AOB=.
因=
即，
两端除以并注意到
, 即得,
将=450,=300代入得, 所以,
9. .解:用代替原式中的得：
解二元一次方程组得，所以：，则．
（分析得为一次多项式，可直接求解析式）
10解:令则,,
因,
所以,对任意恒成立
或或对任意
恒成立或.
二、解答题（每小题20分，共100分）
11、(Ⅰ)解: 　　①
∴
∴ ②
即,从而
当时,由②式得,∵, ∴
由①式得∵, ∴,
从而对任意都成立.
所以是以为首项,1为公差的等差数列,即,所以数列的通项公式.
(Ⅱ)证:

12、解：⑴ 求出函数的导函数 函数： ①
其导函数： ②
⑵ 给出函数的单调区间
由于，由②式知：的符号由的符号决定.
当，即：时，，函数单调递增；
当，即：时，，函数单调递减；
当，即：时，，函数达到极大值.
⑶ 由区间的增减性给出不等式
由均属于区间，且，得到：，
若，则分属于峰值点的两侧
即：，.
所以：所在的区间为单调递增区间，所在的区间为单调递减区间.
故，依据函数单调性，在单调递增区间有： ③
在单调递减区间有： ④
⑷ 将数据代入不等式
由①式得：；；
代入③得：，即：，即： ⑤
代入④式得：，即：，
即： ⑥
⑸ 总结结论 结合⑤和⑥式得：. 证毕.
13、证：设在抛物线上， 在椭圆上，焦点，则抛物线切线方程为，椭圆切线方程为它们为同一直线，
① ………… 4'
② ………… 8'
设公切线方程为，代入抛物线方程并由
与抛物线切线方程比较可得
将公切线方程代入椭圆方程，并令
，两曲线有相同焦点，，代入上式解得 ………… 12’
， …… 16’
，代入②式，得
. …………20'
14、张教授第3题
15、解：称这种子集为“联盟子集”；首先，我们可构造一个联盟子集，其中具有个元素．为此，取， 以下证，就是的最大值．
………4’
今设是元素个数最多的一个联盟子集，，若是集中的最小数，显然，如果，则得，即，显然，（因与有整除关系）． …………8’
今在中用替代，其它元素不变，成为子集，则仍然是联盟子集，这是由于对于中异于的任一元素，因与不互质，故与也不互质；再说明与没有整除关系：因Œ，则Œ；又若，设，
（显然，否则有整除关系），则，于是，这与的最小性矛盾！
…………16’
因此仍然是联盟子集，并且仍是元集；重复以上做法，直至子集中的元素皆大于为止，于是得到元联盟子集，其中．
即，因任两个相邻整数必互质，故在这个连续正整数中至多能取到个互不相邻的数，即．
又据前面所述的构造可知，的最大值即为． …………20’