2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛模拟(3).doc

陈自山整理
2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛模拟(3)
一、填空题（每小题6分，共60分）
1、设a, b是两个正整数, 它们的最小公倍数是24·33·72·11, 那么这样的有序正整数对(a, b)有 _ 组.
2、方程16sinπxcosπx＝16x＋的解集合为　　　　　　　
3、三棱锥是三条侧棱两两垂直的三棱锥，是底面内的一点，
那么的最小值是______________
4、对任意，代数式的最小值为________
5、计算：_______________
6、篮球场上有5个人在练球，其战术是由甲开始发球（第一次传球），经过六次传球跑动后（中途每人的传球机会均等）回到甲，由甲投3分球，其中不同的传球方式为___________种．
7、对，函数都满足：①；②；
③；则__________________
8、设个实数满足条件
则的最大值为________________
9. 如图，在△ABC中，,，
则过点C，以A、H为两焦点的双曲线的离心率为 _________
10. 若实数a, b, x, y满足，，，则________
二、解答题（每小题20分，共100分）
11．已知数列{an}：， ⑴ 证明：
⑵ 求出所有的正整数，使得为完全平方数.
12、已知曲线，，为正常数．直线与曲线的实轴不垂直，且依次交直线、曲线、直线于、、、4个点，为坐标原点．
（1）若，求证：的面积为定值；
（2）若的面积等于面积的，
13、已知函数.若函数的图像与轴交于两点，线段中点的横坐标为，试证明：.
14. 如图，已知分别是的边的中点，的内切圆分别与边切于点.求证：的交点在的角平分线上.

15．给定大于2011的正整数，将分别填入的棋盘的方格中，使每个方格恰有一个数，如果一个方格中填的数大于它所在行至少2011个方格内所填的数，且大于它所在列至少2011个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”，求棋盘中“优格”个数的最大值．

2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛模拟3 参考答案
1、设, 则有
.
故有序正整数对(a, b)有=945组.
2、当x＞0时，16x＋≥8，（x＝取到等号）而，(x＝＋k, k∈Z取到等号), 于是有当x＞0时，方程只有一个解x＝。由于奇函数的性质，可知x＝是方程的另一解。
故方程的解集合为{, －}
3、解：由，
得≥，
同理还有两个不等式，则W≥．
4、解：配方得，设，
点关于直线的对称点为，关于轴的对称点为，
所以：≥．
5、解：设 ， 则是方程的根，
则，
，令，则原式＝
6、解：设经过次传球跑动后回到甲的不同传球方式为（≥2），则，
所以
7、解：由①②③可推出．
8、解： 当≥2时，令
则，
所以：

≤．
9. 取AB的中点D, 则, 由得, 即.
故△ABC的底边AB上的高线与中线重合. 从而△ABC是等腰三角形. AC=BC. 由知,
. 由, 知,，则.
在Rt△ACH中, 不妨设CH=3, 则AH=4, BC=AC==5.
故以A、H为两焦点的双曲线的离心率为.
10. 因为，所以．
所以．即……⑴
因为，所以．
所以．即……⑵
由⑴、⑵,解得，．
又因为，所以．
所以．所以．
注：用递归数列也可求解．
11. 解， 我们用归纳法证明. （*）
（1）当时，结论成立.
（2）假设当时，结论成立。即
又由于代入上式可得： ……①
则当时，（由①）
故当时，结论成立，即（*）式成立.
又可知：
则，
设 则 知：
又且
故或 故或（舍去）
则当时，满足条件.
12. B
A
C
Q
P
y
O
C
x
D
B
A
解：（1）设直线：代入
，
得：，
设，，则有，，设，，易得：，，由得，故，代入得，整理得：，又，，，=为定值.
（2）设中点为，中点为则，，所以，、重合，从而，从而，又的面积等于面积的，所以，从而.
13. 解：函数的定义域由可得：.导函数为： ①
当，即时，，函数单调递增；
当，即时，，函数单调递减；
当，即时，，函数达到极大值.
②
由于，,若与轴交于两点，则其极值点必须.即：，即： ③
考虑到基本不等式及③式得：
即：，即：，即：,结合，即：得： ④
两点分居于极值点两侧，即：，
设：，，则，且（因）
设：，则与处于相同得单调递减区间.
于是：，即：
故：

⑤
将替换成代入就得到：
⑥
构造函数：
将⑤⑥式代入上式得： ⑦
其对的导函数为： ⑧
由于④式及，所以.
即：是随的增函数，其最小值是在时，即：
由⑦式得：，故：.
当时，，即：
由于和同在单调递减区间，所以由得：
即：，即：或 ⑨
那么，由⑨式得：
即： . 证毕.
14. 证明：假设，否则结论显然成立（此时E、K重合）.
设与的角平分线交于点，，，
于是，又因为在以为直径的圆上，故.……5分
设与的角平分线交于点，则的内心在点之间.又因为，则有，且.…………10分
如果在线段的内部，有，所以四点共圆.
如果在的同侧，有，也有四点共圆.
……………………………15分
因为，所以，.
由于，则重合，
即和的角平分线交于一点.
……………………………20分

15. 解：定义一个方格中填的数大于它所在行至少2011个方格中所填的数，则称此格为行优的．
又每一行中填较小的2011个数的格子不是行优的，得到每行中有个格子为行优的．
另外，每一个“优格”一定是行优的，所以棋盘中“优格”个数≤．
将棋盘的第行第（大于时，取模的余数）列中的格子填入“*”，再将填入有“*”的格子，其余的数填入没有“*”的格子．没有“*”的格子中填的数大于有“*”的格子中填的数，所以，棋盘中没有“*”的格子都是“优格”，共有个．
容易验证这种填法满足条件，所以“优格”个数的最大值为个．