2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛仿真模拟(14).doc

陈自山整理
2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛仿真模拟(14)
一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上）
【第1题:数列求和】

【第2题:立体几何体积】

【第3题:柯西不等式取等号条件】

【第4题:三角代换】

【第5题:数论小题】

【第6题:平面向量】

【第7题:拉格朗日导数法，上海市2018年高三年数学竞赛】

【第8题:圆锥曲线第二定义】
设以F1(－1，0)、F2(1，0) 为焦点的椭圆的离心率为e，以F1为顶点、F2为焦点的抛物线与椭圆的一个交点是P．若＝e，则e的值为 ．
【第9题:区域面积】
直角坐标平面内，曲线围成的图形面积是____________．
【第10题:三角形外心、内心】
已知△ABC的外心为O，内心为I，∠B＝45°．若OI∥BC，则cosC的值是 ．
二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程）
【第11题：解析几何】

【第12题：平面几何】

【第13题:导数】

【第14题：递推数列】
数列满足,记，求
【第15题：组合最值之方格，2018年初中数学竞赛】
一个由个单位小方格组成的的方格表中的个小方格被染成了红色，使得任意两个红色小方格的中心之间的距离大于2，求的最大值。

2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛仿真模拟14参考答案
【第1题】

【第2题】

【第3题】

【第4题】

【第5题】

【第6题】

【第7题】

【第8题】
解：在抛物线中，p＝4，准线x＝－3，|PF2| 是P到准线的距离．
椭圆中，＝e，|PF2|也是P到左准线的距离，则抛物线准线与椭圆的准线重合，
所以＝3．因为c＝1，故e＝．
【第9题】
如图考虑y≥0的情况，则．
当x≥1时， ＝2x－1
∴y＝－2x＋3(x≥1，y≥0)为图中AB段．
当x∈(0，1)时，, 即y＝1为BC段．
当x≤0时，为CD段．
当y≤0时，将折线ABCD沿x轴翻折，得AB/C/D，所以所围成的图形为六边形AB/C/DCB，
其面积为
【第10题】
解：设△ABC的外接圆半径 和内切圆半径分别为R和r．
记BC的中点为M，D是由I向BC所作垂线的垂足．
由OI∥BC，知OM＝ID＝r．由∠BOC＝2∠A，BC＝BD＋DC＝2BM，
得＋＝2rtanA，即＝．
所以cosA＝4sinsinsin＝－2sin(cos－cos)
＝－2(sin)2＋2 coscos＝cosA－1＋(cosB＋cosC)．
从而cosB＋cosC＝1．所以cosC＝1－．
【第11题】

【第12题】

【第13题】

【第14题】
解：，令．
设，因为

所以，
从而，所以，当时；当时；
当时
当时，也符合该式
所以
【第15题】
【解答】的最大值为。
先考虑一个的方格表，其中有个小方格被染成了红色，使得任意两个红色小方格的中心之间的距离大于2，由枚举可以知道，的最大值为2。 ………………… 10分
并且只有如下图所示的两种情况（包括对称的情形）。

将一个的方格表分成4个的方格表，由于每个的方格表中至多有2个红色小方格，于是。 ………………………… 15分
另一方面，如下图所示的染色恰有8个红色小方格，并且任意两个红色小方格的中心之间的距离大于2。

综上所述，的最大值为。 ………………………… 20分