2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛仿真模拟(14).doc

陈自山整理2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛仿真模拟(14)一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上）【第1题:数列求和】【第2题:立体几何体积】【第3题:柯西不等式取等号条件】【第4题:三角代换】【第5题:数论小题】【第6题:平面向量】【第7题:拉格朗日导数法，上海市2018年高三年数学竞赛】【第8题:圆锥曲线第二定义】设以F1(1，0)、F2(1，0) 为焦点的椭圆的离心率为e，以F1为顶点、F2为焦点的抛物线与椭圆的一个交点是P若e，则e的值为 【第9题:区域面积】直角坐标平面内，曲线围成的图形面积是_【第10题:三角形外心、内心】已知ABC的外心为O，内心为I，B45若OIBC，则cosC的值是 二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程）【第11题：解析几何】【第12题：平面几何】【第13题:导数】【第14题：递推数列】数列满足,记，求【第15题：组合最值之方格，2018年初中数学竞赛】一个由个单位小方格组成的的方格表中的个小方格被染成了红色，使得任意两个红色小方格的中心之间的距离大于2，求的最大值。2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛仿真模拟14参考答案【第1题】【第2题】【第3题】【第4题】【第5题】【第6题】【第7题】【第8题】解：在抛物线中，p4，准线x3，|PF2| 是P到准线的距离椭圆中，e，|PF2|也是P到左准线的距离，则抛物线准线与椭圆的准线重合，所以3因为c1，故e【第9题】如图考虑y0的情况，则当x1时， 2x1y2x3(x1，y0)为图中AB段当x(0，1)时，, 即y1为BC段当x0时，为CD段当y0时，将折线ABCD沿x轴翻折，得AB/C/D，所以所围成的图形为六边形AB/C/DCB，其面积为【第10题】解：设ABC的外接圆半径 和内切圆半径分别为R和r记BC的中点为M，D是由I向BC所作垂线的垂足由OIBC，知OMIDr由BOC2A，BCBDDC2BM，得2rtanA，即所以cosA4sinsinsin2sin(coscos) 2(sin)22 coscoscosA1(cosBcosC)从而cosBcosC1所以cosC1【第11题】【第12题】【第13题】【第14题】解：，令设，因为所以，从而，所以，当时；当时；当时当时，也符合该式所以【第15题】【解答】的最大值为。先考虑一个的方格表，其中有个小方格被染成了红色，使得任意两个红色小方格的中心之间的距离大于2，由枚举可以知道，的最大值为2。 10分并且只有如下图所示的两种情况（包括对称的情形）。将一个的方格表分成4个的方格表，由于每个的方格表中至多有2个红色小方格，于是。 15分另一方面，如下图所示的染色恰有8个红色小方格，并且任意两个红色小方格的中心之间的距离大于2。综上所述，的最大值为。 20分