江西省赣州中学2022年数学高一上期末统考模拟试题含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．命题：，，则该命题的否定为（）
A.， B.，
C.， D.，
2．已知，求（）.
A.6 B.7
C.8 D.9
3．设集合M=，N=，则MN等于
A.｛0｝ B.｛0，5｝
C.｛0，1，5｝ D.｛0，－1，－5｝
4．函数在一个周期内的图像如图所示，此函数的解析式可以是（）

A. B.
C. D.
5．若函数的图像向左平移个单位得到的图像，则
A. B.
C. D.
6．一人打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）
A.至多有一次中靶 B.两次都中靶
C.两次都不中靶 D.只有一次中靶
7．设，且，则的最小值是（）
A. B.8
C. D.16
8．已知幂函数的图象过点，则
A. B.
C.1 D.2
9．不等式的解集为，则函数的图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
10．如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，使得∠B′AC＝60°．那么这个二面角大小是（　　　　）

A.30° B.60°
C.90° D.120°
11．设为全集，是集合，则“存在集合使得是“”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
12．已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．已知一个扇形的面积为，半径为，则它的圆心角为______弧度
14．已知函数，若关于的方程在上有个不相等的实数根，则实数的取值范围是___________.
15．函数f（x）=2x+x-7的零点在区间（n，n+1）内，则整数n的值为______
16．在直角中，三条边恰好为三个连续的自然数，以三个顶点为圆心的扇形的半径为1，若在中随机地选取个点，其中有个点正好在扇形里面，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为__________．（答案用，表示）
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．已知函数的最小正周期为，其中
（1）求的值；
（2）当时，求函数单调区间；
（3）求函数在区间上的值域
18．已知，向量，，记函数，且函数的图象相邻两对称轴间的距离为.
（1）求函数的解析式；
（2）若关于的方程在上有三个不相等的实数根，求的取值范围.
19．在①“xA是xB的充分不必要条件；②；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题：已知集合，.
（1）当a=2时，求；
（2）若选，求实数a的取值范围.
20．已知为奇函数，且
（1）求的值；
（2）判断在上的单调性，并用单调性定义证明
21．如图，在三棱锥S—ABC中，SC⊥平面ABC，点P、M分别是SC和SB的中点，设PM=AC=1，∠ACB=90°，直线AM与直线SC所成的角为60°.

（1）求证：平面MAP⊥平面SAC.
（2）求二面角M—AC—B的平面角的正切值；
22．已知是偶函数，是奇函数.
（1）求，的值；
（2）判断的单调性；（不需要证明）
（3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

参考答案

一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1、B
【解析】根据特称命题的否定可得出结论.
【详解】由特称命题的否定可知，原命题的否定为：，.
故选：B.
【点睛】本题考查特称命题否定的改写，解题的关键就是弄清特称命题的否定与全称命题之间的关系，属于基础题.
2、B
【解析】利用向量的加法规则求解的坐标，结合模长公式可得.
【详解】因为，所以，所以.
故选：B.
【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，明确向量的坐标运算规则是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
3、C
【解析】,选C.
4、A
【解析】根据图象，先确定以及周期，进而得出，再由求出，即可得到函数解析式.
【详解】显然，
因为，所以，所以，
由得，
所以，即，，
因为，所以，
所以.
故选：A
5、A
【解析】函数的图象向左平移个单位，得到的图象对应的函数为：

本题选择A选项.
6、C
【解析】根据互斥事件定义依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，若恰好中靶一次，则“至少有一次中靶”与“至多有一次中靶”同时发生，不是互斥事件，A错误；
对于B，若两次都中靶，则“至少有一次中靶”与“两次都中靶”同时发生，不是互斥事件，B错误；
对于C，若两次都不中靶，则“至少有一次中靶”与“两次都不中靶”不能同时发生，是互斥事件，C正确；
对于D，若只有一次中靶，则“至少有一次中靶”与“只有一次中靶”同时发生，不是互斥事件，D错误.
故选：C.
7、B
【解析】转化原式为，结合均值不等式即得解
【详解】由题意，故
则
当且仅当，即时等号成立
故选：B
8、B
【解析】先利用待定系数法求出幂函数的表达式，然后将代入求得的值.
【详解】设，将点代入得，解得，则，
所以，答案B.
【点睛】主要考查幂函数解析式的求解以及函数值求解，属于基础题.
9、C
【解析】根据不等式的解集求出参数，从而可得，根据该形式可得正确的选项
【详解】因为不等式的解集为，
故，故，故，
令，解得或，
故抛物线开口向下，与轴的交点的横坐标为，
故选：C
10、C
【解析】根据折的过程中不变的角的大小、结合二面角的定义进行判断即可.
【详解】因为AD是等腰直角△ABC斜边BC上的高，所以
，因此是二面角的平面角，
∠B′AC＝60°．所以是等边三角形，因此，在中
.
故选：C
【点睛】本题考查了二面角的判断，考查了数学运算能力，属于基础题.
11、C
【解析】①当，，且，则，反之当，必有.
②当，，且，则，反之，若，则，
，所以.
③当，则；反之，，.
综上所述，“存在集合使得是“”的充要条件.
考点：集合与集合的关系，充分条件与必要条件判断，容易题.
12、C
【解析】根据函数是上的减函数，则两段函数都是减函数，并且在分界点处需满足不等式，列不等式求实数的取值范围.
【详解】由条件可知，函数在上是减函数，
需满足，解得：.
故选：C

二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13、##
【解析】利用扇形的面积公式列方程即可求解.
【详解】设扇形的圆心角为，
扇形的面积即，解得，
所以扇形的圆心角为弧度，
故答案为：.
14、
【解析】数形结合，由条件得在上有个不相等的实数根，结合图象分析根的个数列不等式求解即可.
【详解】作出函数图象如图所示：

由，得，
所以，且，
若，即在上有个不相等的实数根，
则 或，
解得.
故答案为：
【点睛】方法点睛：判定函数的零点个数的常用方法：
（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；
（2）数形结合法：先令，将函数的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果.
15、2
【解析】因为函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线，又f(0)＝20＋0－7＝－6<0，f(1)＝21＋1－7＝－4<0，f(2)＝22＋2－7＝－1<0，f(3)＝23＋3－7＝4>0所以f(2)·f(3)<0，故函数f(x)的零点所在的一个区间是(2,3)，所以整数n的值为2.
16、
【解析】由题意得的三边分别为则由可得，所以，三角数三边分别为，因为，所以三个半径为的扇形面积之和为，由几何体概型概率计算公式可知，故答案为.
【方法点睛】本题题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题.解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时,忽视验证事件是否等可能性导致错误.

三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（1）
（2）函数的单调减区间为，单调增区间为
（3）
【解析】（1）利用求得.
（2）根据三角函数单调区间的求法，求得在区间上的单调区间.
（3）根据三角函数值域的求法，求得在区间上的值域.
【小问1详解】
由函数的最小正周期为，，所以，可得，
【小问2详解】
由（1）可知，
当，有，，
当，可得，
故当时，函数单调减区间为，单调增区间为
【小问3详解】
当，有，，
可得，
有，
故函数在区间上的值域为
18、（1）.
（2）
【解析】（1）化简的解析式，并根据图象相邻两对称轴间的距离求得.
（2）利用换元法，结合二次函数零点分布的知识，列不等式组来求得的取值范围.
【小问1详解】

，
由于函数的图象相邻两对称轴间的距离为，
所以，所以.
【小问2详解】
，
或，
，
，所以直线是的对称轴.
依题意，关于的方程在上有三个不相等的实数根，
设，
则，设，
则的两个不相等的实数根满足①或②，
对于①，，
此时，由解得，不符合.
对于②，，即.
所以的取值范围是.
19、（1）；（2）答案见解析.
【解析】（1）当时，求出集合再根据并集定义求；
（2）选择有AB，列不等式求解即可；选择有同样列出不等式求解；选择因为，则或，求解即可
【详解】（1）当时，集合，，
所以；
（2）选择因为“” 是“”的充分不必要条件，所以AB，
因为，所以又因为，
所以等号不同时成立，
解得，
因此实数a的取值范围是.
选择因为，所以.
因为，所以.
又因为，
所以，解得，
因此实数a的取值范围是.
选择因为，
而，且不为空集，，
所以或，
解得或，
所以实数a取值范围是或
20、（1）；（2）递减，见解析
【解析】(1)函数 是奇函数，所以 ，得到，从而解得； (2) 在区间上任取两个数，且，判断的符号，得到，由此证明函数的单调性.
详解】(1) 由题意知，则
，解得；
(2)函数 在上单调递减，证明如下：
在区间上任取两个数，且，

因为，所以
即，，
所以即，
函数在上单调递减.
【点睛】本题考查由函数的奇偶性求参数，利用定义证明函数的单调性，属于基础题.
21、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）由已知可证BC⊥平面SAC，又PM∥BC，则PM⊥面SAC，从而可证平面MAP⊥平面SAC；
（2）由AC⊥平面SBC，可得∠MCB为二面角M—AC－B的平面角，过点M作MN⊥CB于N点，连接AN，则∠AMN=60°，由勾股定理可得，在中，可得，从而在中，即可求解二面角M—AC—B的平面角的正切值.
【小问1详解】
证明：∵SC⊥平面ABC，∴SC⊥BC，
又∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，又ACSC=C，
∴BC⊥平面SAC，
又∵P，M是SC、SB的中点，
∴PM∥BC，∴PM⊥面SAC，又PM平面MAP，
∴平面MAP⊥平面SAC；
【小问2详解】
解：∵SC⊥平面ABC，∴SC⊥AC，又AC⊥BC，BCSC=C，
∴AC⊥平面SBC，
∴AC⊥CM，AC⊥CB，从而∠MCB为二面角M—AC－B的平面角，
∵直线AM与直线PC所成的角为60°，
∴过点M作MN⊥CB于N点，连接AN，

则∠AMN=60°，在△CAN中，由勾股定理可得，
在中，，
在中，.
22、（1），
（2）单调递增
（3）
【解析】（1）根据函数奇偶性的性质即可求，的值；
（2）根据指数函数的单调性即可判断的单调性；
（3）根据函数的单调性将不等式在上恒成立，进行转化，即可求实数的取值范围
【小问1详解】
解：因为是偶函数，
所以，即，
则，即，
所以，即，解得
若是奇函数，
又定义域为，则，即，解得；
【小问2详解】
解：因为，所以，
因为函数单调递增，函数单调递减，所以单调递增；
小问3详解】
解：由（2）知单调递增；
则不等式在上恒成立，
等价为在上恒成立，
即在上恒成立，
则，
设，则在上单调递增，
∴，
则，
所以实数的取值范围是．