河南省顶级名校2022年数学高一上期末统考试题含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．下列说法不正确的是（）
A.方向相同大小相等的两个向量相等
B.单位向量模长为一个单位
C.共线向量又叫平行向量
D.若则ABCD四点共线
2．用二分法求方程的近似解时,可以取的一个区间是
A. B.
C. D.
3．某学校高一、高二、高三共有学生3500人，其中高三学生人数是高一学生人数的两倍，高二学生人数比高一学生人数多300人，现在用分层抽样的方法抽取的样本容量为35，则应抽取高一学生人数为（）
A.8 B.11
C.16 D.10
4．为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（）
A.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B.横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
C.纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
D.纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变
5．命题“对任意x∈R，都有x2≥1”的否定是（）
A.对任意x∈R，都有x2<1 B.不存在x∈R，使得x2<1
C.存在x∈R，使得x2≥1 D.存在x∈R，使得x2<1
6．关于的一元二次不等式的解集为（）
A.或 B.
C.或 D.
7．关于x的一元二次不等式对于一切实数x都成立，则实数k满足（）
A. B.
C. D.
8．将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为
A B.
C. D.
9．是定义在上的偶函数，在上单调递增，，，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
10．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数是
A. B.
C. D.
11．函数的部分图像为（）
A. B.
C. D.
12．设为上的奇函数，且在上单调递增，，则不等式的解集是（）
A B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．已知，则函数的最大值为___________，最小值为___________.
14．函数的图象恒过定点,点在幂函数的图象上,则=____________
15．若函数在内恰有一个零点，则实数a的取值范围为______
16．若角的终边经过点，则___________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．已知，.
（1）求的值；
（2）求的值.
18．如图，在直三棱柱中，底面为等边三角形，.

（Ⅰ）求三棱锥的体积；
（Ⅱ）在线段上寻找一点，使得，请说明作法和理由.
19．对于两个定义域相同的函数和，若存在实数，使，则称函数是由“基函数，”生成的.
（1）若是由“基函数，”生成的，求实数的值；
（2）试利用“基函数，”生成一个函数，且同时满足以下条件：①是偶函数；②的最小值为1.求的解析式.
20．已知，且α是第二象限角.
（1）求的值；
（2）求的值.
21．已知函数
（1）若的定义域为，求实数的值；
（2）若的定义域为，求实数的取值范围
22．计算下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）.

参考答案

一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1、D
【解析】利用平面向量相等概念判断,利用共线向量和单位向量的定义判断.
【详解】根据向量相等的概念判断正确；
根据单位向量的概念判断正确；
根据共线向量的概念判断正确；
平行四边形中，因此四点不共线，故错误.
故选：.
【点睛】本题考查了命题真假性的判断及平面向量的基础知识，注意反例的积累，属于基础题.
2、A
【解析】分析：根据零点存在定理进行判断
详解：令，
因为
，，
所以可以取的一个区间是，
选A.
点睛：零点存在定理的主要内容为区间端点函数值异号，是判断零点存在的主要依据.
3、A
【解析】先求出高一学生的人数，再利用抽样比，即可得到答案；
【详解】设高一学生的人数为人，则高二学生人数为，高三学生人数为，
，
，
故选：A
4、B
【解析】直接利用三角函数伸缩变换法则得到答案.
【详解】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变.
故选：B
5、D
【解析】根据含有一个量词的否定是改量词、否结论直接得出.
【详解】因为含有一个量词的否定是改量词、否结论，
所以命题“对任意x∈R，都有x2≥1”的否定是“存在x∈R，使得x2<1”.
故选：D.
【点睛】本题考查含有一个量词的否定，属于基础题.
6、A
【解析】根据一元二次不等式的解法，直接求解，即可得出结果.
【详解】由得，解得或.
即原不等式的解集为或.
故选：A.
7、C
【解析】只需要满足条件即可.
【详解】由题意，解得.
故选：C.
8、B
【解析】由题意可知,由在上为增函数，得，选B.
9、C
【解析】根据对数的运算法则，得到 ，结合偶函数的定义以及对数函数的单调性，得到自变量的大小，根据函数在上的单调性，得到函数值的大小，得到选项.
【详解】，
而，
因为是定义在上的偶函数，且在上单调递增，
所以，
所以，
故选：C.
10、D
【解析】选项A为偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递减；选项B，y＝x3为奇函数；选项C，y＝cosx为偶函数，但在区间（0，+∞）上没有单调性；选项D满足题意
【详解】选项A，y＝ln为偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递减，故错误；
选项B，y＝x3为奇函数，故错误；
选项C，y＝cosx为偶函数，但在区间（0，+∞）上没有单调性，故错误；
选项D，y＝2|x|为偶函数，当x＞0时，解析式可化为y＝2x，显然满足在区间（0，+∞）上单调递增，故正确
故选D
【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题
11、D
【解析】先判断奇偶性排除C，再利用排除B，求导判断单调性可排除A.
【详解】因为，所以为偶函数，排除C；
因为，排除B；
当时，，，
当时，，所以函数在区间上单调递减，排除A.
故选：D
12、D
【解析】根据函数单调性结合零点即可得解.
【详解】为上的奇函数，
且在上单调递增，，
得：或
解得.
故选：D

二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13、 ①. ②.
【解析】利用对勾函数的单调性直接计算函数的最大值和最小值作答.
【详解】因函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
即有当时，，而当时，，当时，，则，
所以函数的最大值为，最小值为.
故答案为：；
14、
【解析】因为函数图象恒过定点，则可之令2x-3=1,x=2,函数值为4，故过定点（2，4），然后根据且点在幂函数的图象上，设,故可知=9，故答案为9.
考点：对数函数
点评：本题考查了对数函数图象过定点（1，0），即令真数为1求对应的x和y，则是所求函数过定点的坐标
15、
【解析】根据实数a的正负性结合零点存在原理分类讨论即可.
【详解】当时，，符合题意，
当时，二次函数的对称轴为：，
因为函数在内恰有一个零点，所以有：
，或，即或，
解得：，或，
综上所述：实数a的取值范围为，
故答案为：
16、
【解析】根据三角函数的定义求出和的值，再由正弦的二倍角公式即可求解.
【详解】因为角的终边经过点，
所以，，则，
所以，，
所以，
故答案为：.

三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（1）；（2）.
【解析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求，进而利用二倍角的正弦函数公式即可计算得解；（2）由（1）及两角和的余弦函数公式，诱导公式即可计算得解．
试题解析：（1）由题意得：，
∴.
（2）∵，，
∴.
18、 (1) (2)见解析
【解析】（1）取BC中点E连结AE，三棱锥C1﹣CB1A的体积，由此能求出结果．（2）在矩形BB1C1C中，连结EC1，推导出Rt△C1CE∽Rt△CBF，从而CF⊥EC1，再求出AE⊥CF，由此得到在BB1上取F，使得，连结CF，CF即为所求直线
解析：（1）取中点连结.在等边三角形中，，
又∵在直三棱柱中，侧面面，
面面，∴面，
∴为三棱锥的高，又∵，∴，
又∵底面为直角三角形，∴，
∴三棱锥的体积
（2）作法：在上取，使得，连结，即为所求直线.
证明：如图，在矩形中，连结，
∵，，∴，
∴，∴，
又∵，∴，∴，
又∵面，而面，∴，
又∵，∴面，
又∵面，∴.

点睛：这个题目考查的是立体几何中椎体体积的求法，异面直线垂直的证法；对于异面直线的问题，一般是平移到同一平面，再求线线角问题；或者通过证明线面垂直得到线线垂直；对于棱锥体积，可以等体积转化到底面积和高好求的椎体中
19、（1）；（2）
【解析】⑴由已知得，求解即可求得实数的值；
⑵设，则，继而证得是偶函数，可得与的关系，得到函数解析式，设，则由，即可求解的最小值为
解析：（1）由已知得，
即，
得，所以.
（2）设，则.
由，得，
整理得，即，
即对任意恒成立，所以.
所以
.
设，令，则，
改写为方程，
则由，且，得，检验时，满足，
所以，且当时取到“=”.
所以，又最小值为1，所以，且，此时，
所以.
点睛：本题考查了学生对新定义的理解，方程的思想，对数的运算性质，不等式的性质以及函数的最值求法．考查了函数的最值及其几何意义，函数解析式的求解及其常用方法，本题涉及的函数的性质较多，综合性抽象性很强，做题的时候要做到每一步变化严谨
20、（1）
（2）
【解析】(1)根据三角函数的同角关系求得，结合角的象限即可得出结果；
(2)利用诱导公式将原式化简即可得出结果.
【小问1详解】
因为，所以.
因为α是第二象限角，所以.
【小问2详解】
.
21、（1）；（2）
【解析】（1）根据题意，由二次型不等式解集，即可求得参数的取值；
（2）根据题意，不等式在上恒成立，即可求得参数范围.
【详解】（1）的定义域为，即的解集为，
故，
解得；
（2）的定义域为，即恒成立，
当时，，经检验满足条件；
当时，解得，
综上，
【点睛】本题考查由函数的定义域求参数范围，涉及由一元二次不等式的解集求参数值，以及一元二次不等式在上恒成立问题的处理，属综合基础题.
22、 (1) （2）3 (3)1
【解析】（1）根据实数指数幂的运算法则化简即可；（2）根据对数的运算法则和性质化简求值；（3）利用诱导公式化简求值即可.
试题解析：
(1)原式＝-10(＋2)＋1
＝＋10－10－20＋1＝－.
（2）原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
(3)原式＝