（新教材）2022年人教B版数学选择性必修第一册课件：第2章 2.4 曲线与方程.pdf

第一童2.4平面解析几何曲线与方程学习任务核心素养1.了解曲线上的点与方程的解之间的对 应关系.2.理解曲线的方程和方程的曲线的概念.（重 点、易混点）3.学会根据已有的情境资料找规律，学会分 析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及掌握相互转化的思想方法.1.通过曲线与方程 概念的学习，培养数 学抽象素养.2.借助数形结合理 解曲线的方程和方 程的曲线，提升直观 想象和逻辑推理素 养.学习任务核心素养4.掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方 法，熟悉求曲线方程的步骤.5.掌握求轨迹方程的几种常用方法.（重点、难点）6.初步学会通过曲线的方程研究曲线的几 何性质.3.通过由方程研究曲 线的性质，培养直观 想象素养.4.借助由曲线求方 程，提升逻辑推理、数学运算素养.NO情境导学探新知知识点1知识点2知识点3蚕情境与问题笛卡尔被誉为“近代科学的始祖”“近代哲学之父”，他在哲 学、数学、物理学、天文学、心理学等方面都有研究且成就颇高.有 一个很有名的故事，笛卡尔给他的恋人写的一封信，内容只有短短的 一个公式：厂=a（l-sin夕）.你知道这是何意？其实这就是笛卡尔的爱 心函数，图形是心形线，是一个圆上的固定一点在它绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周滚动时所形成的轨迹，因其形状像心形而得 名.同学们，你能说出一条曲线和它对应的方程有怎样的关系吗？知识点1曲线与方程的概念一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲 线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程.一个二元方程总可以通过移项写成尸(x,y)=o的形式，其中F(X,y)是关于x,y的解析式.点此进入在平面直角坐标系中，如果曲线。与方程尸(X,歹)=0之间具有 如下关系：曲线C上的点的坐标都是方程万(%,歹)=0的解；以方程厂(%,y)=0的解为坐标的点都在曲线。上.那么，方程F(x,y)=0称为曲线。的方程；曲线C称为 方程方(x,y)=0的曲线点此进入圜考、1.如果曲线与方程仅满足“以方程na，y)=0的解为坐 标的点都在曲线。上”，会出现什么情况？举例说明.提示如果曲线与方程仅满足“以方程刀a，巧=0的解为坐标 的点都在曲线C上”，有可能扩大曲线的边界.如方程表 示的曲线是半圆，而非整圆.W12.如果曲线。的方程是F（x,y）=0,那么点尸（xo,泗）在 曲线。上的充要条件是什么？提示若点尸在曲线。上，则少（劭，次）=0；若尸（沏，乂）=0,则点尸在曲线。上，所以点P（xo,刃）在曲线。上的充要条件是网Xo,yo）=0.体验11.思考辨析(正确的打“J”，错误的打“X”)(1)若以方程厂(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线上，则方程F(x,y)=0,即为曲线。的方程.()(2)方程x+y2=0是以4(2,0),3(0,2)为端点的线段的方程()(3)在求曲线方程时，对于同一条曲线，坐标系的建立不同，所 得的曲线方程也不一样.()(4)求轨迹方程就是求轨迹.()答案(1)X(2)X(3)V(4)X提示(1)X 曲线的方程必须满足两个条件.(2)X 以方程的解为坐标的点不一定在线段48上，如M(-4,6)就不在线段45上.(3)7 对于曲线上同一点，由于坐标系不同，该点的坐标就不 一样，因此方程也不一样.(4)X 求轨迹方程得出方程即可，求轨迹还要指出方程的曲线是什么图形.知识点2求曲线的方程的步骤强考卜3.解析几何研究的主要问题是什么?提示(1)由曲线求它的方程.(2)利用方程研究曲线的性质._ 2 平面上有三点，(-从0,2j，C(x,y ABBC,则动点。的轨迹方程为.A 1)?1 一 x(OWxWl)分段画出该方程的图像，即为轴右侧的图像,便可以得到方程y=#2 一 2博+1的图像）如图所示.再根据对称性,n类型3直接法求曲线方程【例3（对接教材人教B教Pg例4）已知平面上两定点/,B,AB=2 a,平面上一动点M到4,B的距离之比为2：1,求动点M 的轨迹方程.解以48所在直线为1轴，线段48的垂直平分线为歹轴，建 立平面直角坐标系（图略）.设4（。，0）,则3（-小0）,设M%，歹）为 所求轨迹上任意一点，那么点M属于集合。=/设4|:MB=2：1.由距离公式，得点M适合的条件可表示为-a）2+:y（x+a）2+。=2：1,两边平方化简，得3%2+3/+10磁+3a2=0,即为动点M的轨迹方程.Z-.X直接法求轨迹方程的2种常见类型及解题策略直接法求轨迹方程，就是设出动点的坐标（%,歹），然后根据题目 中的等量关系列出1,y之间的关系并化简.主要有以下两类常见题 型：.思领悟(1)题目给出等量关系，求轨迹方程.可直接代入即可得出方程.(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程.可利用已知条件寻 找等量关系，得出方程.提醒：求出曲线的方程后要注意验证方程所表示的曲线上的点一 个也不能多)*一个也不能少.跟进训练3.如图，线段43与CD互相垂直平分于点0,AB=2 aa,CD=2 b(b,动点尸满足|E4|M|=|PC|尸。，求动点尸的轨迹方 程.解以。为坐标原点，直线CD分别为x轴、轴建立平 面直角坐标系(图略)，则/(-0),B(a,0),C(0,b),D(0,b),设尸(x,y)是曲线上的任意一点，由题意知，PAPB=PCPD,艮!7 l(x+a)2+丁,(x-a)2+丁=yjx2+(y+Z?)2 yfx2+(y-b?,d 七间 x2-y=-5一,2,b2故动点P的轨迹方程为%2-j/2=一一.，类型4代入法求曲线方程【例4】已知动点M在曲线f+/=i上移动，M和定点5(3,0)连线的中点为P,求尸点的轨迹方程.尝试与发现/-r 当所求动工 P的运动很明显地依赖于一已知曲线上的动点Q的 运动时，怎样求尸点的轨迹？提示设所求动点夕的坐标为(%,),再设与P相关的已知点 坐标为0(%0为),找出P,0之间的坐标关系，并表示为劭=/(%),为=9)，根据点Q的运动规律得出关于劭，yo的关系式，把劭=加0,加=9)代入关系式中，即得所求轨迹方程k_J解设尸(X,Mm为)，丁尸为MS的中点.X=y=Xo+322、x()=2 x-3,yo=2H即又在曲线f+/=i 上，A(2x-3)2+4y2=h：.P点的轨迹方程为(2x-3)2+4产=1.母题探究1.(变换条件)本例中把条件和定点5(3,0)连线的中点为P”改为“m=2曲”，求尸点的轨迹方程.解设 P(x,y),M(x0,yo),则7=(%-劭，一次)，=(3-x,-y),一 一x-X。=(3-x)X 2,由加=2厘得 rLy_yo=-2 y,x 一网=(3-x)X2,由加=2厘得 r)一为=-2 y,xQ=3x-6,c即 C 又M在曲线f+y2=上,Lyo=3H JA(3x-6)2+9 y2=1,.二点P的轨迹方程为(3x-6)2+9y2=1.2.(变换条件)本例中把条件和定点5(3,0)连线的中点为尸”改为“一动点尸和定点3(3,0)连线的中点为，试求动点P的轨 迹方程.解设尸(x,y),Mm为)，为尸B的中点.x+3x。一 2，又在曲线f+y2=1上,为=2X+312即(x+3)2+/=4,：.P点轨迹方程为(x+3)2+/=4.(,-x.代入法求解曲线方程的步骤(1)设动点P(x,y),相关动点M(xq,yo);(2)利用条件求出两动点坐标之间的关系f 一八：，Bo=g(%，)；(3)代入相关动点的轨迹方程；(4)化简、整理，得所求轨迹方程.其步骤可总结为“一设、二找、三代、四整理”.V)跟进训练4.设动点尸是曲线y=2f+l上任意一点，定点4（0,一1）,点M分我所成的比为2：1,则点M的轨迹方程是（）9 1B.y=3x2+jD.x=6y2jA 设点的坐标为（沏，为），因为点4（0,-1）,点M分以 所成的比为2：1,所以点尸的坐标为（3劭，3乂）+2）,代入曲线y=2f1 C 1+L得=即点M的轨迹方程是y=6f-三 NO.3当堂达标夯基础1.下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是1D 对于A,点(0,-1)满足方程，但不在曲线上，排除A;对 于B,点(1,-1)满足方程，但不在曲线上，排除B;对于C,曲线 上第三象限的点，由于y4个点由方程得j 2_4=0 表示4个点.1 2 3455.曲线 1 f和 y=x+（缶-1）2=0,所以得一 x+2公共点的个数为.5=小二？，两边平方并整理得故公共点只有一个2,2.1 2 345/-圆圜QQ囹-回顾本节知识，自我完成以下问题：1.曲线的方程和方程的曲线必须满足哪两个条件？提示曲线上点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点 都在曲线上.2.求得曲线方程后，如何避免出现“增解”或“漏解”？提示在化简的过程中，注意运算的合理性与准确性，尽量避 免“漏解”或“增解”.)啕圜QQ爵卜A3.曲线方程一般化简到什么程度？提示方程化简到什么程度，课本上没有给出明确的规定，一 般指将方程厂（了,四=0化成,y的整式.如果化简过程破坏了同解 性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹而遗漏的点.）-）萌圜00爵-4.“轨迹”与“轨迹方程”有何异同？提示“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念：求轨迹方 程只要求出方程即可；而求轨迹则应先求出轨迹方程，再说明轨迹的 形状.谢谢观看THANK YOU!