2022年高考数学一轮复习专题 专题47 数列复习课件.pdf

数列复习一、一般数列的基本概念M1、数列的定义；按一定次序排成的一列数叫数列。2、有穷数列与无穷数列；项数有限的数列叫有穷数列；项数无限的数列叫无穷数列。3、递增（减）、摆动、常数列;4、数列的通项公式an；5、数列%的递推公式；6、数列an的前n项和Sn练习：1.写出下面数列的一个通项公式,1)1,1-1=(-1)5/3)2 0 4.2 为正奇数 5+(-1)=2设S数列4的前项和,n知和求项:BP Sn=Q+2+3+贝1kSS.S7?=1)n2-r 号（I1、定义：4为等差数列0-4二常数2、通项公式：an=ar+（n-l）d推广：an=am+（一加）d3.前项和公式:S=皿+，）2,1、（一 1）,4.重要结论：=叫+-2d“为等差数列Q an=kn+b（2）.为等差数列 Sn=An2+Bn5.等差数列性质：(2)若加+=p+q(3)若数列%是等差数列，则Sk，2k Sk，3k S?k，S4左S3k，也是等差数列d*=k2 d(4)等差数列8皿的任意等距离的项构成的数列4等差1练习：%为等差数列1.%+au=4,4 JL JL J=7,求。9,%，“,$13-3；2；-5/2；262.1一。4-4O_ 12+。15=2,求 15 303.510=0,贝!J%+%=-_4.%=m.ai4=n,a2i.-2n-m5.在等差数列aj中,S10=100,S.=10,求 Sil。=410+i二常数1、定义：%为等比数列。%一 一12,通项公式：an=,二.推广：%=amqn-m3.前项和公式:S4.重要结论：若%是等比数列%(1/)/八i-q nax(q=1)nn7-/5.等比数列的性质%=3厂qn-m=%求夕am(2)若加+=2+%贝！1。相%=%(3)若数列4是等比数列，则Sk，凡左Sk,S3k S 2k，S s 3k，二也是等比数列*kq=q(4)等比数列an的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列练习：1、在等比数列%中，(1)若 4=5,8=6,则2 10=30a6=V30(2)若 a5=2,aw=10,则 ai5=50(3)已知 的。4。5=8求 2 43 04 05 06=32(4)若%+和=324,a3+a4=36,则a5+a6=区_公式定义an+i-an=d通项an=a1+(n I)d a.+=!-x n求和n 2n(n 1),=na、+a1 2中项2b-a+c,贝a,b,c成等差当 m+n=p+q 时变形am+ajj Hp+Hq2)a1111n+MH-li.qG2=ab,贝U a,G,b成等比当 m+n=p+q 时m2)解法1 S最大=an 05 a解法2求出S的表达式+尸0S=-2n2+62 iG-!也!；T；15.16 31自我小结：一个等差数列 的前项和S，在 什么时候有最大 值？什么时候有 最小值？由S手之+（：）可知 当d 0时,Sn有最小值.L某布匹批发市场一布商在10月20日投资购 进4000匹布，21日开始销售，且每天他都能 销售前一天的20%,并新进1000匹新布.设n 天后所剩布匹的数目为。(第一天为20日).(1)计算%并求明；(2)若干天后，布商所剩布匹能否稳定在 4900到5000匹之内？若能，说出是几天后；若不能，说明理由.(122 2 0.3010)_1.定义：%+i-%二d(常数)(nsN+)2.通项：an=a1+(n-l)d推广：an=am+(n-m)d(%+%)3.前n项的和：邑n(n-l)s=%+-2d 2/da n+(4i 一万)4.中项：若a,b,c等差数列，贝Ub为a与c的等差中项:2b=a+c5.简单性质:(1)若加+=2+%贝bm+Q”=a+aa特别地 m+n=2pam+an=2ap(等差数列)(2)%,氏+加,%+2加,组成公差为加d的等差数列(3电，邑-邑,组成公差为 2d的等差数列.1.定义：从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列=q(q为不等于零的常 数)an2.通项公式an=ap”J推广形式：a=amqn-m,n a ii in变式：q=吁？但I(n m,m,n e N*)naq=1)a/l q)ax a q(、-=(q W 0且q W 1)1-q 1-q4.等比中项：若a、b、c成等比数列，则b是a、c的等比前n项和3中项，且b=Vac5.在等比数列%忤有如下性质：(1)若m+n=p+q,ni,n,p,qN+贝！口=ap-aq(2)下标成等差数列的项构成等比数列S m，S2m-Sm,S 3.-S 2nl成等比数列D.解决等比数列有关问题的常见思维方法(1)方程的思想(“知三求二”问题由、an.Sn、q、n)(2)分类的思想运用等比数列的求和公式时，需要对 q=laql 讨论 湖1 1或许 0,0 q 0,q 1 或 0,0 q 1)(取倒数、累加)nan+2倒序相加法求和，如a/311+l错项相减法求和，$nan=(2n-l)2拆项法求和，如匕=211+3口裂项相加法求和，$nan=l/n(n+l)公式法求和,$nan=2n2-5n练习：L求下列各数列的前n项和1 1 1 1=-1-1-H H-1x3 3x5 5x7(2-1)(2+1)(2)an=(-l)n(2n-l)(3)=(21)331 1 12.求 =1+(1+不)+(1+不+)+例、在等比数列%中一e的前项和是X当S3=3%时，求公比q的值解：(1)当 q=l 时1为常数列，3=323=3%恒晟立.,q ax(1-q3)(2)当 q#l 时 S3=1 x 4=3a3:.aj.(1+q+q2)=3 ax q2:#0 2 q2-q-1=0解得q=-+或q=l（舍去）(1)定义法:(2)递推公式法：看通项法:(4)看前n加和屋n&Du u xyv（1）定义法:（2）递推公式法：看通项法:（4）看前n项和法：Q血1.数列。中间 0%=3*MIG i)2.数列%中,即w01Qi=1 2/*、(nwN)an1+2%=(3+a/3-3)12 n3、已知数列氏忡，ax=1,6+=3%+1,求：an解：设“+1+4=3(.+3).(*)得4+i+；=3(+；)迭加法 J4、已知数列%忡，4=5，%+i-%=%求：an角星：a2 at=1a3-a2=2a4 a3=31.T一5、已知数列上忡，%=1,嗅=山,求：凡%a2 a3 an_x 12 3 n-2 nn Q=（N）n6、已知Sn为数歹IJLW勺前项和，且S=2 2七求:数列。曲勺通项公式解 JS“+i 2-2%+,n S+i S”2%2%+i区=2-2%n 3a+i=lann 也=2(eN*)an 39数列层等比数列，公比”;2首项=5-2-2q n%=an=二(N*)命题热点,数列的基本概念与应用例1已知数列%中，%=（N*）,把它的各项依次排列成如图所示的三角形状（第一行一项，第二行三项，第三行五 项，每行依次比上一行多两项）.若做oil被排在第s行的第，项（从左到右）的位置，则尸,t=.第1行 01们T，43彳丁 9解析依题意，前s行共有2项,由（S1）2V2 011Vs2且N*,求得S=45.于是，前44行共有442=1 936项，而2 011-1 936=75,故 1=75.答案45 75年题精1/1.如果数列%的前A项和为Sa，i(AgN*),那么这个数列是A.递增数列且 S4+Sk+1=ak+B.递减数列)C.常数数列D.摆动数列解析：Sa+Sa+尸以+i=Sa+5妙5产0(成N)%=0(N*),即数列%为常数数列.答案：c2.已知数列&的前项和&=22+2小数列也”的前项和北=2一心求数列%与例的通项公式；(2)设。=血，证明：当且仅当栏3时，cn+10,1+也6*,23.2故3时，(/P 1成立，即婴()恒成立,，当且仅当23时，cn+A(N*),即 1r=3.解得an1%一1 3-1 3+1所求的通项公式“=（）.3.已知%为等差数列，4i+43+5=15,股+%+即=99,用S“表示%的前项和，则使得必达到最大 值的是（）A.21 B.20C.19D.18解析：由。1+3+5=105,得 33 105,即传=35,由 a2+%+。6=99 得 3%=99,即=33.，可得公差=-2,=39,故&=39+X(2)=-1+40=(-20)2+400,故=20时&最大.答案：B4.设等比数列%的前项和为若82+5=0,则下列式子中数值不能确定的是()D.S+解析：设数列%的公比为夕，由题设得手=8,所以夕=2.所以选项A,B,C的数值都是确定的.答案：D5.等比数列%中，已知1=2,%=16.(1)求数列%的通项公式；(2)若由，的分别为等差数列九的第3项和第5项，试求数列九的通项公式及前“项和解：设的公比为夕，由已知得16=2八 解得 q=2,%=2.(2)由(1)得3=8,5=32,则仇=8,公=32.设儿的公差为，则有济+2=8,力1+4=32,解得Zi=16,d=ll.从而 bn=-16+12(-1)=1228.所以数列九的前n项和必=n(16+12-28)26n222.命题热点兰数列的通项与求和例3(2011杭州二模)已知正数数列%的前项和为 且对任意正整数n满足2代=%+1.(1)求数列%的通项公式；(2)设0=一求数列0的前项和%+i解(1)已知2下,=%+1,将=1代入得“1=1,将2倔=%+1两边同时平方得4s.=(%+，式中n用n-l代入得4sLi=(%-i+1)2(22),一，得 4%=(册+1)2(%1+1)2,所以 0=(%1)2(册一1+1)2,即(斗1)+(斗1)一(当+1)】=0，又因为%为正数数列，所以册一%-1=2,所以数列%是以1为首项，2为公差的等差数列，所以 an=2n l.(2)由 bn 册q+1 Q 1)(2+1)2(2 1 2+1)所以 6“=/1；)+(；：)+(上高)1=：(1/6.已知一次函数兀0=区+1,且人1),火4),火13)成等比数列，则人2)+人4)+火2)()A.n(2n+3)B.n(n+4)C.2n(2n+3)D.2n(n+4)解析：Hx)=Ax+l(际0),4)=44+1,/(13)=13/1+1 火1)，火4)，火13)成等比数列，.H4)FDW13).即(44+1)2=6+1)(134+1).解得4=2./.y(x)=2x+i.2)=22+1,4)=24+1,f(2n)=2-2n+l.：./(2)+/(4)+.+/(n)=2(2+4+.+2n)+n=n(2n+3).答案：A7.设数列%的前项和为S，且=(1+42%,其中丸W 1,0.(1)证明：数列%是等比数列；(2)设数列%的公比夕=大4，数列满足仇=；,b=八bi)(N*,22),求数列步,的通项公式；(3)令2=1,金=四(：一1),求数列金的前项和北.解：(1)证明：由 s=(l+i)2%01=(1+4-4%1(22),两式相减得为=一1，所以a=冷(22),所以数列%是等比数歹!1.(w)=i+I,所以=备上;n=+L 所以是首项为2=2,公差为1的等差数列.一 1 1所以分=2+(-1)nd-1.所以力=“_|_.(3)因为 2=1,所以。1=51=(1+1)一的，所以何=1.所以“=(；)T.1 1所以 cn=aft(l)=n(2)n1.1 1 1所以 T,7=l+2Xy+3X(y)2+-+W(y)w l.jT；=1+2 X(1)2+3 X(1)3+-+w(1r.一，得;=1+；+(；)2+(1)3+(；)T即1 1=21_(式1_喳口1 1所以 Tf=4l-n-2n()n=4-1 n2 2 抑命题热点数列的综合问题例4定义：若数列4满足4+i=W，则称数列4为“平方数列”.已知数列%中，“1=2,点（,%+D在函 数/Cx）=2f+2x的图像上，其中为正整数.证明：数列2%+1是“平方数列”，且数列联2斯+1)为等 比数列.(2)设(1)中“平方数列”的前项之积为北，即北=(2的+1)(2散+1)(2%+1),求数列%的通项及北关于的表达式.(3)若数列%的前项和为此,G=亚北 lg(2%+试求满足a4 020的的最小值.解(1)证明：由条件%+1=2片+2%,得2%+i+l=4%+4%+1=(2%+I)2.2%+1是“平方数列”.Ig(2%+i+l)=21g(2%+l),怆(2曲+1)=怆5/0,lg(2%+i+l)_ lg(2on+l)一4，怛(2%+1)是首项为1=lg 5,公比夕=2的等比数列.(2)Vlg(21+l)=lg5,lg(2%+l)=2T lg 5.工 2斯+1=52”一：,an=；(52t-1).Vig 7；/=lg(2a1+l)+lg(2a2+l)+lg(2%+l)=Ig5(l2)1-2=(2J)lg 5.：.Tn=MigSir 与W=U=2_g 尸,1F1 1=2n21(5)=2n.2+2(不)”.1 1由 Sft4 020 得 2一2+2（5）4 020,+（不）”2 011,当“W2 010 时，n+（1）n2 011,：.n的最小值为2 OIL8.已知各项均不为零的数列%,定义向量。=(%,%+D，b=(n,+1)，mg N*.则下列命题中为真命题的是()A.若对于任意 N*总有c/l九成立，则数列%是等差 数列B.若对于任意N*总有c“ll”成立，则数列%是等比 数列C.若对于任意 N*总有c“_L九成立，则数列%是等差 数列D.若对于任意G N*总有c“_L九成立，则数列%是等比 数列解析：若对任意 WN*,有Q瓦则*=甯=窿，月斤 Qft+i a a+2 a+i，艮口 2a+i。+。+2,所以数列即为等差数歹！h答案：A9.祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在11个省区 设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务，某台商到大陆一创 业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种 经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬 菜收入50万美元，设/()表示前年的纯收入.(/()=前年的总收入一前年的总支出一投资额)从第几年开始获取纯利润?(2)若干年后，该台商为开发新项目，有两种处理方案：年平均利润最大时以48万美元出售该厂；纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂，问哪种方案最合算？解：由题意，知每年的经费是以12为首项，4为公差的等差 数列.设纯利润与年数的关系为人)，Jl(fl-1)贝！J f(n)=50 一 12+,义 4 一 72=2/+40 一 72.(1)获取纯利润就是要求人)0,故有-2一+40 720,解得 2易误警示3.错位相减法求和时，不要漏掉减数式的最后一项.4.用累加法、累乘法求通项公式时出错在用此法求通项公式时，易忽视（1）参加累加（乘）的 项数，误认为项；（2）最终忘了将生移到右边.