2022年高考数学一轮复习专题 专题42 圆锥曲线知识点与典型例题（解析版）.pdf

专题42圆锥曲线知识点与典型例题(解版)第一、知识储备：1.直线方程的形式(1)直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。(2)与直线相关的重要内容倾斜甭与斜率左=tan a,。e 0,)k=%2 一匹点尸(/Jo)到直线4x+g y+C=0的距离 d=/玉二垃()+CyjA2+B2/,:y=k.x+b,k-k,夹角公式：直线 夹角为a,则tan a=-Ll2-y=k2x+b2 1+左2 左 i(3)弦长公式直线V=去+6上两点/(%),8(%2，%)间的距离=5(%2-5)2+32-乂)2|/卸=Jl+l 卜一即=(1+左2)(再+)2 4t|48|=1+(b一2(4)两条直线的位置关系I1:y=k,x+b,(I)1l2.y=k2x+h2 4 _L/=k1k2=-1 I、HI、q k、=-2且4b2(1I)4：4x+8/+g=。Z7 4,x+B y+C-0 4 _L l2=A A2+B B-,=0 4/4 o 44-4与=0_EL4G w2c l w 0 或今卷母=0)两平行线距离公式4:y=kx+bl2:y=kx+b2.I-b2|距离d=J1+/1 AxJcBy+C=0I:Ax+By+。2=0距离d=Ja2+b2二、椭圆、双曲线、抛物线:1椭圆双曲线抛物线定义1.到两定点F1,F2的距离之 和为定值2a(2a|FEl)的 点的轨迹2.与定点和直线的距离之 比为定值e的点的轨迹.(0el)1.到两定点K，Fz的距离之差的 绝对值为定值2a(02al)与定点和直线的距离相等的 点的轨迹.轨迹条件点集：(M I I MF I MF2 1=2a,I F)F2 1 2a.点集M I I MF I=点乂到直 线1的距离.y/，图形B,M 以B,-二J一一方 程标准 方程2 2+=T(a b 0)a2 b22 2x y、F、=l(a0,b0)a2 b2y2=2px参数 方程x=a cos 6y=b sin 0(参数防离心角)卜=a sec 3y=b tan 0(参数防离心角);常:(t为参数)范围-axa,-by a,yeRx0中心原点0(0,0)原点0(0,0)顶点(a,0),(a,0),(0,b),(0,b)(a,0),(a,0)(0.0)对称轴x轴，y轴；长轴长2a,短轴长2bx轴，y轴；实轴长2a,虚轴长2b.X轴焦点Fi(c,0),F2(c,0)Fi(c,0),F2(c,0)嘴，。)准线2 a x=c准线垂直于长轴，且在椭圆 外.2 a x二土 一c准线垂直于实轴，且在两顶点的 内侧.X 2准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.焦距2c(c=2c(c=ya2 b2)Ja2+b2)离心率e=(0 e l)ae=l2【备注1双曲线:焦半径P(X。，y。)为圆锥曲线上一点，Fn F2分别为左、右焦点P F,=a+ex0P F2=a-ex0P在右支时：P在左支时：|P F=a+ex|P F=-a-ex0P F2=-a+ex0 P F2=a-ex01 P F|=Xo+T等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为y=x,离心率e=VI.共朝双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共朝双曲线.=与 a1 b2=-二=-4互为共轲双曲线，它们具有共同的渐近线：=-=o.a1 b2 a2 h22 2 2 2共渐近线的双曲线系方程：二-4=/1(%，0)的渐近线方程为二-二=0如果双曲线的渐近线为上=0时,a2 b2 a2 b2 a b2 2它的双曲线方程可设为1-J=a2 b2【备注2】抛物线：(1)抛物线/=2px(p0)的焦点坐标是(5,0),准线方程x=-,开口向右；抛物线y2=-2px(p0)的焦点坐标是(-,0),准线方程*=,开口向左；抛物线2=2py(p0)的焦点坐标是(0,),准线方程丫=-,开 2 2 2 2口向上；抛物线-=-2py(p0)的焦点坐标是(0,-),准线方程丫=,开口向下.2 2(2)抛物线y2=2px(p0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离，同=%。+与；抛,物线y2=-2px(p0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离=/(3)设抛物线的标准方程为户2P x(p0),则抛物线的焦点到其顶点的距离为多顶点到准线的距离勺焦点 到准线的距离为P.(4)已知过抛物线j?=2px(p0)焦点的直线交抛物线于A、B两点，则线段A B称为焦点弦，设A(xl,yl),B(x2,y2),则弦长却=再+午+P或|“同=(a为直线A B的倾斜角)，%=-p?，再/=尸|=再+(14尸|sin cl 4 2叫做焦半径).椭圆典型例题一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。例1：已知椭圆的焦点是B(0,1)、F2(0,l),。是椭圆上一点，并且尸丹+。尸2=2乃，求椭圆的标准方程。解：由 PB+PF2=2FiB=2X2=4,得 2a=4.又 c=1,所以 =3.所以椭圆的标准方程是支+芷=1.4 32.已知椭圆的两个焦点为厅(一1,0),凡(1,0),且2a=10,求椭圆的标准方程._ _ 2 2解：由椭圆定义知c=l,6=/匚1=也.,.椭圆的标准方程为上+匕=1.25 24二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。3例：L椭圆的一个顶点为力（2,0）,其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程.分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置.解：（1）当力（2,0）为长轴端点时，a=2,b=,椭圆的标准方程为：二+匕=1；4 1（2）当Z（2,0）为短轴端点时，b=2,。=4,椭圆的标准方程为：二+匕=1；4 16三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。r2 v2例.求过点（一3,2）且与椭圆光十彳=1有相同焦点的椭圆的标准方程.2 2 q解：因为1=94=5,所以设所求椭圆的标准方程为；+=1.由点（一3,2）在椭圆上知5+a a 5 aa 2 2=1,所以才=15.所以所求椭圆的标准方程为工+匕=1.a2-5 15 10四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。例：已知中心在原点，焦点在工轴上的椭圆与直线+1=0交于4、8两点，M为AB中点，的斜率为0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程.X c解：由题意，设椭圆方程为一+/=1,x+y-1=0由 5),它的两焦点分别是Fi，F2,且FiF2=8,弦八B过点Fi，求人命2的周 a2 25长.因为F/2=8,即即所以2c=8,即c=4,所以4=25+16=41,即。=勺石，所以八命2的周长为4a=4bl.3.设*、B是椭圆战+且=1的两个焦点/是椭圆上的点，且04:72=2:1,求凡的面积.9 4解析：由椭圆方程，得 a=3,h=2,c=H,:.P Fi+P F2=2a=6.又 P Fi：P F2=2：1,：.P F=A,P F2=2,由22+42=(2贴可知尸QB是直角三角形，故。厂内的面积为-P Fi P F2=-X2X4=4.七、直线与椭圆的位置问题例已知椭圆+2=1,求过点尸(g,；且被尸平分的弦所在的直线方程.分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为左，利用条件求人.解法一：设所求直线的斜率为左，则直线方程为y-(二左1-.代入椭圆方程，并整理得(l+2k2)x2-(2k2-2k)x+k2-k+=0.由韦达定理得玉+-尸是弦中点，.,.1+%2=1 故得左=5.所以所求直线方程为2x+4y-3=0.一得日产+M2一只=0.将、代入得口2=即直线的斜率为L.xl-x2 2 2所求直线方程为2%+4y 3=0.双曲线典型例题一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。2 2例1讨论+工=1表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征.25-k 9-k分析：由于左W9,左W25,则左的取值范围为左9,9k25,左25,分别进行讨论.解：(1)当左0,9-k0,所给方程表示椭圆，此时/=25左，b2=9-k,。2=屋一/=16,这些椭圆有共同的焦点(一%0),(4,0).(2)当9左25时，25-左0,9-k0,所给方程表示双曲线，此时，a2=25-k,b2=9-k,c2=a2+b2=16,这些双曲线也有共同的焦点(一4,0),)(4,0).(3)左25,k=9,左=25时，所给方程没有轨迹.说明：将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系，不妨取一些左值，画出其图形，体会一 下几何图形所带给人们的美感.二、根据已知条件，求双曲线的标准方程。例2根据下列条件，求双曲线的标准方程.(1)过点尸(3,9,5且焦点在坐标轴上.(2)C=屈,经过点(一5,2),焦点在1轴上.(3)与双曲线上一匕=1有相同焦点,16 4且经过点(372,2)解：(1)设双曲线方程为土+匕=1 m n P、。两点在双曲线上,9 225 m 16 256 25,、91n n加二一 16n=9解得6.所求双曲线方程为二二十匕=1 16 9说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的.（2）:焦点在1轴上，C=,.设所求双曲线方程为：工上一二1（其中0%6）/I 6 A25 4.双曲线经过点（一5,2）,-=1Z 6-/1.几=5或4=30（舍去）所求双曲线方程是 y2=l5说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉.（3）设所求双曲线方程为：-J=l（04 me MN=3.取等号时，M、P、三点共线，.尸点纵坐标为2,代入方程，求出其横坐标为2,所以尸点坐标为(2,2).12走进高考专题19：圆锥曲线全国卷高考真题综合1（解析版）一、单选题1,2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I）已知/为抛物线C:炉=2内（p0）上一点，点/到。的焦点的距离为12,到 轴的距离为9,贝Up=（）A.2 B.3 C.6 D.9【答案】C【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.【详解】设抛物线的焦点为H由抛物线的定义知|4尸|=3+5=12,即12=9+5,解得p=6.故选：C.【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.2,2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I）已知。：f+y 22x 2y 2=0,直线/：2x+y+2=0,尸为/上的动点，过点。作。的切线夕/,06,切点为48,当|尸最小时，直线48的方程为（）A.2x y 1 0 B.2x+y 1 0 C.2%y+l=0 D.2x+y+l=0【答案】D【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点4尸,反共圆，且根据|尸陷小同=4产油=4户力|可知，当直线0_L/时，|孙小4同最小，求出以产为直径的圆的方程，根 据圆系的知识即可求出直线的方程.【详解】圆的方程可化为（X+（71）2=42x l+l+2 厂点 M到直线/的距离为d=l/=奏2,所以直线/与圆V22+l2相离.依圆的知识可知，四点4尸,5,M四点共圆，且48 J.尸，所以131PMMb|=4S4”=4x；x|P/|x|/卜川尸H，而 网=,何_4，当直线必_L/时，|P|m in=/，臼L=l，此时|尸最小.f 1 1 f 11 z、1 1 y x H x=一/.MP 1=（x-1）即 y x H,由 2 2 解得，y.2 2 2 2x+y+2=0 所以以MP为直径的圆的方程为（%1）（%+1）+丁（7-1）=0,即x2+y2-y-1=0,两圆的方程相减可得：2x+y+l=0,即为直线力5的方程.故选：D.【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学 运算能力，属于中档题.3,2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标H）若过点（2,1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2%-丁-3=0的距离为（）a 亚 2指 3y5 _ 4a/5A -D -L-U-5 5 5 5【答案】B【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为（见。）,。0，可得圆的半径为。，写出圆的标准方程，利用点（2,1）在圆上，求得实数。的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线2%-丁-3=0的距离.【详解】由于圆上的点（2,1）在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为（Q,Q）,则圆的半径为。，圆的标准方程为（.丫一4）2+5-4）2=。2由题意可得（2+（1 a）?=/,可得/6a+5=0,解得。=1 或a=5,所以圆心的坐标为（1,1）或（5,5）,14圆心（1,1）到直线2x-3=0的距离均为&=|2x l-l-3|275V5-5圆心（5,5）到直线2x-y-3=0的距离均为么|2x 5-5-3|_ 275 忑甘圆心到直线2%丁 3=0的距离均为d-2|_ 2后所以，圆心到直线2%y 3=0的距离为安.故选：B.【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.4,2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标H）2 2设。为坐标原点，直线X=与双曲线c：三=1（。0力0）的两条渐近线分别交于。,E两点，若。的CT D面积为8,则。的焦距的最小值为（）A.4 B.8 C.16 D.32【答案】B【分析】2 2 人因为C:=-二=1（。0,60）,可得双曲线的渐近线方程是y=,与直线1=。联立方程求得Q,两点 a h a坐标，即可求得|。|,根据OQE的面积为8,可得值，根据2c=2籽工庐，结合均值不等式，即可求得答案.【详解】2 2-与=1（。0 1 0）a b双曲线的渐近线方程是夕=+-Xa2 2.直线x=a与双曲线C:A-2=l（a 0,6 0）的两条渐近线分别交于D,E两点Q-D不妨设。为在第一象限，在第四象限x-a(x-a联立 b，解得y=y=bl a 故。（q/）15x=a联立尸一纥，解得 ax-a故 E(a,b)|E D=2b。面积为：S0D E=ax2b=ab=2 2.双曲线 C:二一二=l(a0,60)a b 其焦距为2c=2，/+/22缶*=2而=8当且仅当。=6=2应取等号.C的焦距的最小值：8故选：B.【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使 用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.5,2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标III）设。为坐标原点，直线1=2与抛物线C：y2=2px（p0）交于。，E两点，若QDJ_O,则。的焦点坐标为（）A.,（）B.别 C.（1,0）D.（2,0）【答案】B【分析】7T根据题中所给的条件OQ_LO，结合抛物线的对称性，可知=,从而可以确定出点。的坐4标，代入方程求得夕的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.【详解】因为直线1=2与抛物线/=2px（p0）交于瓦。两点，且QD _L OE,根据抛物线的对称性可以确定/D O x=/E O x=?,所以。（2,2）,代入抛物线方程4=4P，求得夕=1,所以其焦点坐标为（；,（），故选：B.16【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的 条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.6,2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标III)2 2设双曲线C：=1(0,Z0)的左、右焦点分别为吊，F1,离心率为石.尸是。上一点，且产1P_LF2P.若 q bP尸诉2的面积为4,则a=()A.1 B.2 C.4 D.8【答案】A【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.【详解】：=石，.”=耳，根据双曲线的定义可得|尸片HP用1=2%S4P FF2=刊计|咋|=4,即I尸片|忖司=8，:P F+P F=(2c.(|P I-P F21)2+2|-|=4c2,即/_5/+4=0,解得 Q=l,故选：A.【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.7,2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标I卷)2 _ _ _设抛物线C：2=4式的焦点为尸，过点(-2,0)且斜率为的直线与。交于M,N两点，则可7.丽=A.5 B.6 C.7 D.8【答案】D【分析】首先根据题中的条件，利用点斜式写出直线的方程，涉及到直线与抛物线相交，联立方程组，消元化简，求得两点(1,2),N(4,4),再利用所给的抛物线的方程，写出其焦点坐标，之后应用向量坐标公式，求得FM=(0,2),丽=(3,4),最后应用向量数量积坐标公式求得结果.【详解】172 2根据题意，过点(-2,0)且斜率为的直线方程为y=(%+2),V=2(x+2)与抛物线方程联立|3，消元整理得：y2-6 y+8=0,=4x解得 M(1,2),N(4,4),又尸(1,0),所以闲=(0,2),丽=(3,4),从而可以求得西.丽=0 x3+2x4=8，故选D.【点睛】该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意 确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出(1,2),N(4,4),之后借助于抛物线的方程 求得尸(1,0),最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不 求点M、N的坐标，应用韦达定理得到结果.8,2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标I卷)2已知双曲线C：-y2=l,O为坐标原点，尸为。的右焦点，过户的直线与。的两条渐近线的交点分别 3为M、N.若OMN为直角三角形，则|MV|=A.-B.3 C.2a/3 D.42【答案】B【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到/bON=30，根据直角 三角形的条件，可以确定直线的倾斜角为60或120,根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是 相等的，从而设其倾斜角为60，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得”(3,百),N(|,亭)，利用两点间距离公式求得的值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为且，且右焦点为尸(2,0),3从而得到ZFO N=30，所以直线MN的倾斜角为60或120,根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60,可以得出直线的方程为y=G(x-2),18分别与两条渐近线y=和y=X3%联立,3 3点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么 来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直 角三角形的条件得到直线的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对 应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果.9,2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷H）2 2双曲线 4=1（。040）的离心率为百，则其渐近线方程为 a bA.y=+y/2x B.y=+y/3x C.y=+-X D.y=x【答案】A【解析】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.7 2 2 2 1、如 刀 c rz b c a?b r详解：*/c =0）求渐近线方程：14=0n y=2x.ci o a b a10,2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷H）已知,鸟是椭圆c工+4=1（。60）的左，右焦点，力是。的左顶点，点尸在过力且斜率为由的直线 b-6上，尸耳片为等腰三角形，/片耳尸=120。，则。的离心率为2 111A.B.C.D.一3 2 3 4【答案】D【详解】分析：先根据条件得PF?=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率.19详解：因为尸片鸟为等腰三角形，/片与尸=120。，所以P Fz=FE=2c,由 AP 斜率为得，tan ZP AF2=sin ZP AF2=3,c o s ZP AF2=芈，6 6 V13 V13由正弦定理得P F2 _ sin ZP AF2 AF sin ZAP F212c J13所以=一片2-a+c s in g尸力尸2)V3 V12 1 12 V13 2 V132,1。=4c,e=,故选 d.5 4点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于，,b,c的方程或不等式，再根据 出仇c的关系消掉6得到44的关系式，而建立关于出伉。的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性 质、点的坐标的范围等.11,2018年全国卷H I理数高考试题直线x+y+2=0分别与x轴，V轴交于4，3两点，点P在圆（-2+/=2上，则尸面积的取值范 围是A.2,6 B.4,8 C.VL 3&D.120,3及【答案】A【解析】分析：先求出A,B两点坐标得到|A B|,再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即 可详解：.直线x+y+2=o分别与x轴，y轴交于A,B两点.A（-2,O）,B（O,-2）4“A B|=20点 P 在圆（x 2）2+j?=2 上|2+0+2|r圆心为（2,0）,则圆心到直线距离4 =2,2V2故点P到直线x+y+2=0的距离d2的范围为J5,3夜则 8.，=；|48区=&322,6故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题.2012,2018年全国卷H I理数高考试题 2 2设片，鸟是双曲线彳=1（a0,b0）的左、右焦点，。是坐标原点.过与作。的一条渐近线的垂 a b线,垂足为尸.若|郎|=后|。?则C的离心率为A.V5 B.V3 c.2 D.V2【答案】B【详解】分析：由双曲线性质得到|尸阊=6,|PO|二 a然后在RQPOg和在RtA P6片中利用余弦定理可得.详解：由题可知|?阊=b,|OE|二 c|PO|=a在RtaPO与中,cosZPF2O=RI*b,:在 AP FE 中,c o s/PO=用十|片名-附 2版归周hb2+4c2 b 2-=_ n/2b-2c-c=3a2e=V3故选B.点睛：本题主要考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中档题.二、填空题1,2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标H）已知双曲线过点（4,6），且渐近线方程为y=；%，则该双曲线的标准方程为.V-2【答案】y2=4【详解】依题意，设所求的双曲线的方程为V4/=丸.点A/(4,JJ)为该双曲线上的点,.4=16 12=4.21该双曲线的方程为：x2-4y2=4,即?_/=.故本题正确答案是二-J/：.42,2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标III）2 2设片，为椭圆。：二+匕=1的两个焦点，河为C上一点且在第一象限.若与鸟为等腰三角形，则”的 36 20坐标为.【答案】（3,后）【分析】根据椭圆的定义分别求出|孙|、|摩|，设出的坐标，结合三角形面积可求出河的坐标.【详解】由已知可得力=36,/=20,.。2=。2一/=i6,.c=4,二.防卜忻闾=2c=8.小二4.设点的坐标为（/，%）（%，为）,则S呻小；|耳闻盟=4%,又二4回八二4而，解得3g.芯_+卜竺1=1，解得o=3（/=3舍去），.36 20：.M的坐标为（3,而）.【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养.3,2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I）2 2已知产为双曲线C：=-二=1（。0力 0）的右焦点，A为。的右顶点，6为。上的点，且6歹垂直于x轴.若Z6 a o的斜率为3,则。的离心率为.【答案】2【分析】22根据双曲线的几何性质可知，忸尸|=幺，|4尸|=。-。，即可根据斜率列出等式求解即可.a【详解】x-c2 2联立“T=1 a ba2=b2+c2x=cb2，所以忸利=y二土一 a解得BF.2 2依题可得，4=3,AF=c-a,即 a=c-a 变形得c+a=3a,c=2a,I I c-a a(c-a)因此，双曲线。的离心率为2.故答案为：2.【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题.4,2018年全国卷H I理数高考试题已知点/(1,1)和抛物线C：/=4%,过。的焦点且斜率为左的直线与。交于力，3两点.若/画=90。,则上二.【答案】2【分析】利用点差法得到A B的斜率，结合抛物线定义可得结果.【详解】详解：设 A(XjJ,B(X2/2)4=4百4=4%则所以乂2,=4匹所以k=里为一x2 必+2取A B中点M(%0,%),分别过点A,B作准线x=1的垂线，垂足分别为A,B，因为 NA MB=90,.MM=；|力创=；(司+忸尸|)=+忸m),因为M，为A B中点,23所以MNT平行于x轴因为 所以为=1,则必+%=2即k=2故答案为2.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，设A（国,必）1（%2，%）,利用点差法得到k=2二三=一，取A B中点M（%,%）,分别过点A,B作准线x=1的垂线，垂足分别为A,B1由抛X%2 必+歹2物线的性质得到|MM=g（|44+W8）,进而得到斜率.三、解答题1,2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标H I）已知曲线C：尸5,D为直线尸5上的动点，过刀作C的两条切线，切点分别为4 B.（1）证明：直线过定点：（2）若以E（0,为圆心的圆与直线Z6相切，且切点为线段的中点，求四边形ZD8E的面积.【答案】见详解；（2）3或4a.【分析】（1）可设4（%,必），B（x2,y2）,。（/，一 g）然后求出A,B两点处的切线方程，比如弘+3二工/王一。，又因为也有类似的形式，从而求出带参数直线方程，最后求出它所过的定点.（2）由（1）得带参数的直线方程和抛物线方程联立，再通过M为线段的中点，而,方得出/的值，从而求出坐标和画的值，4,由分别为点Q，到直线的距离，则4二炉,2行结合弦长公式和韦达定理代入求解即可.【详解】1 1 9证明：设。匕一）,力区,必），则乂=万工又因为V=一2,所以y=%.则切线DA的斜率为西，故%+5=%（再t），整理得2f匹2必+1=0.24设8(%2/2)，同理得 2比2-2%+1=0.4(%,必),B(x2,%)都满足直线方程 2/x-2y+l=0.于是直线2/x 2y+l=0过点43,而两个不同的点确定一条直线，所以直线48方程为2次2y+l=0.即2tx+(-2歹+1)=0,当2%=0,-2丁+1=0时等式恒成立.所以直线AB恒过定点(0,；).(2)由(1)得直线的方程为V=比+；.,1y=tx+2由4 2，可得犬2/X 1=0，%y=一I 2于是 +x2=2t,x1x2=-1,j+y2=f(%i+%2)+l=2尸+1|AB|=Jl+厂|x21 Jl+厂+%)_ _4否%2(/+1).设4,4分别为点到直线48的距离，则4=m一 J一+1因此，四边形A DBE的面积S=；I 46 I(4+)=2+3)#+1.设M为线段A B的中点，则加由于丽7_1_方,而七/=。,/一2),方与向量(1/)平行,所以/+(-2上=。,解得/=0或/=1.当，=0时，S=3；当，=1 时S=4j?因此，四边形4D3E的面积为3或4行.【点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班的求解就可以.思路较为 清晰，但计算量不小.2.2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标I)3已知抛物线C：y2=3x的焦点为F,斜率为一的直线/与C的交点为4 B,与x轴的交点为P.2(1)若一尸|+归尸|=4,求/的方程；(2)若不=3而，求/司.25【答案】（1）12%-8歹一7=0；（2）勺叵.3【分析】（1）设直线/：y=-x+m,4（%，X）,B（x2,y2）；根据抛物线焦半径公式可得演+&=：；联立直线方程与 2 22抛物线方程，利用韦达定理可构造关于机的方程，解方程求得结果；（2）设直线/：x=-y+t；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用力=3万可得必=-38，结合韦达定理可求得必少2；根据弦长公 式可求得结果.【详解】3（1）设直线/方程为：y=-x+m,3（X2，72）由抛物线焦半径公式可知：AF+BF=xx+x2+-=A xx+x2=-联立卜 一 2*“得：9x2+（12m-12）x+4m2=0ly=3x2 1则 A=（12加一 12）一 一 144加20 m=即：nx-Sy-7=02 8（2）设尸,0）,则可设直线/方程为：x=-y+tf 2联立，3，得：y-2y-3l=0ly=3%则 A=4+12/03乂+%=2,乂%二一攵V AP=3P B/.*二一3%:.y2=-1,*=3:.yy2=-3则|/同=11+.（必+52）2-4 必先=乎.4+12=V y 3 3【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过 直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系.263.2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I）已知点/（0,-2）,椭圆氏二+勺=1 m0）的离心率为,歹是椭圆E的右焦点，直线/尸的斜率为2匹,a1 b2 2 3O为坐标原点.求E的方程；（2）设过点力的动直线,与上相交于P,。两点.当40尸。的面积最大时，求/的方程.【答案】（1）+y2=l（2）y=-x-2 4 2【解析】试题分析：设出尸，由直线N方的斜率为38求得。，结合离心率求得。，再由隐含条件求得6,即可求椭圆 3方程；（2）点轴时，不合题意；当直线/斜率存在时，设直线/：=6-2,联立直线方程和椭圆方程，由 判别式大于零求得左的范围，再由弦长公式求得|尸。|,由点到直线的距离公式求得。到/的距离，代入三角形面 积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出左值，则直线方程可求.试题解析：设尸（G。），因为直线4F的斜率为孚，力（0,2）所以2=冬目，c=6c 3又 9=/2=/a 2解得 a=2,b=1,所以椭圆的方程为+y2=l.4（2）解：设尸（国,弘）,。（/2）由题意可设直线/的方程为：y=kx-2,片 2=1联立7十 消去歹得（1+4左2卜2一16丘+12=0,y=kx-2,当A=16（4左2一3）。，所以左2,，即左 一且或人且时 4 2 2276 k 12石+/二4/，中2二干记.所以|P Q-J1+后2+/）一一4A：14二5W1+4FJ 1+4 左 2_4，1+42，4 左231+4公,2点0到直线I的距离d=r=4 k2+1所以SO P O=-dP Q=4*：3，设，4k23=/0,则4产=r+3，4，4 4邑8。鼻=二运1，t当且仅当，=2,即，4一3=2,解得左=也时取等号，2 3满足4224所以A。尸。的面积最大时直线I的方程为：丁=母一2或=x 2.【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一 般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥 曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.4.2015年全国普通高等学校招生统考试理科数学（新课标H）已知椭圆C:9/+/=m2（m0），直线/不过原点o且不平行于坐标轴，/与C有两个交点A，3，线段48的 中点为“.（I）证明：直线。河的斜率与/的斜率的乘积为定值；（II）若/过点（,加），延长线段。“与。交于点尸，四边形。/必能否为平行四边形？若能，求此时/的斜28率，若不能，说明理由.【答案】（I）详见解析；（H）能，4近或4+b.【解析】试题分析：（1）设直线/：丁=丘+6（左工01。0）,直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理求根与系数的关系,并表示直线。M的斜率，再表示左0”.上；9（2）第一步由（1）得。河的方程为歹=-7工.设点尸的横坐标为尸，直线与椭圆方程联立求点尸的坐标,k第二步再整理点A/的坐标，如果能构成平行四边形，只需.=2x%,如果有左值，并且满足左0,左。3的条件就说明存在，否则不存在.试题解析：解：设直线/：y=履+6（左w0,b。0）,力（西,乂），B（x2,y2）,M（xM,yM）.y=kx+b.由7 i 得（左2+9）/+2妨X+/一加2=o,9x+y=mx.+x.kb.,9b ,y m=m+b=-3 M 2 k2+9 M a 2+9直线O M的斜率心乂=2=,即k0M-k=-9.xm 即直线OM的斜率与/的斜率的乘积为定值-9.（2）四边形。406能为平行四边形.m.直线/过点（；，冽），；/不过原点且与。有两个交点的充要条件是左 0，k手39由（I）得O M的方程为y=-x.设点。的横坐标为犬尸.k9 一.由/一广得 9x2+y2=m2,以,+81+km3病+9即Xp=将点（-,的坐标代入直线/的方程得h=硬,因此均=:瞥3 3 3（左+9）四边形O AP B为平行四边形当且仅当线段AB与线段O P互相平分，即Xp=2xmkm _ 2*mk(k-3)33+9-义 3(左2+9)解得尢=4 J7,k2=4+近.,：匕0,k产 3,i=l,2,29.当/的斜率为4-近或4+0时，四边形。4尸8为平行四边形.考点：直线与椭圆的位置关系的综合应用【一题多解】第一问涉及中点弦，当直线与圆锥曲线相交时，点是弦的中点，（1）知道中点坐标，求直线的 斜率，或知道直线斜率求中点坐标的关系，或知道求直线斜率与直线。M斜率的关系时、也可以选择点差法，设9x+I,刈与以）,3（孙）,代入椭圆方程M、，两式相减9（/-1）+（%、巧2）=0,化简为9x/+v/=w /+Y、9（再+Xj Xxi-X2）+（1+y2）（!-y2）=0,两边同时除以（毛+X、）（毛一毛z）得9+I,而（再+巧人巧一巧1=上州,即得到结果，玉+%x2（2）对于用坐标法来解决几何性质问题，那么就要求首先看出几何关系满足什么条件，其次用坐标表示这些几 何关系，本题的关键就是如果是平行四边形那么对角线互相平分，即%=2%”，分别用方程联立求两个坐标，最后求斜率.5.2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I带解析）2在直角坐标系X。,中，曲线C：y=与直线y=h+a,（a0）交与M,N两点，4（I）当=0时，分别求。在点M和N处的切线方程；（II）y轴上是否存在点P,使得当变动时，总有NOPM=NQPN?说明理由.【答案】（I）-。=0 或+y+a=0（II）存在【详解】试题分析：（1）先求出M,N的坐标，再利用导数求出M,N.（II）先作出判定，再利用设而不求思想即将=代+。代入曲线C的方程整理成关于工的一元二次方程，设出M,N的坐标和P点坐标，利用设而不求思想，将直线PM,PN的斜率之和用。表示出来，利用直线PM,PN的斜率为0,即可求出生人关系，从而找出适合条件的P点坐标.试题解析：（I）由题设可得A/（26,a）,N（2五,a）,或（一2后,a）,NQ,a）.1 2,.,y=一%,故=土在=2&a处的导数值为C在（2&a,a）处的切线方程为2 4y-a=sa（x-2ya）,4ax-y-a=0.30故=上在=-2&。处的导数值为后，C在(-2行见。)处的切线方程为 4y-a=-ya(x+2ya),y/ax+y+a=0.故所求切线方程为JZx-y-a=0或 GX+y+a=0.(ID存在符合题意的点，证明如下：设P(0,b)为复合题意得点，(西，乂)，N(%2/2),直线PM,PN的斜率分别为尢，左2将y=丘+a代入C得方程整理得x2 4kx 4a=0./.%+%2=44,七工2-4。._yx-b y2-b 2 脑9+（。一）（？+Z）k（a+b）jV|I I a西 2再了2当力=a时，有尢+左2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故NOPM=NOP