2022年九年级数学创造性学习潜能开发第一讲一元二次方程2.pdf

精品pdf资料欢迎卜载学习必备 欢迎下载九年级(上)数学创造性学习潜能开发班第一讲：一元二次方程(一)【思维体验】、一元二次方程的概念例 1(1)(D)(2)由题意：同-2=2,二科=4,a=4,当 a=4 时，a-4=0(舍去)，当 a=-4 时,方程-8 x2+2x-4=0符合题意，a=-4二、一元二次方程的解【例2已知m、n是二次方程x2+2009x+7=0的两个根；求(m2+2008 m+6)(n 2+2010n+8)的值【解答】m 是 x2+2009x+7=0 的根，/.m2+2009m+7=02 2/.m+2008 m+6=-m-1,同理：n+2010n*8=n+1原式=(-m-1)(n+1)=-(mn+m+n+1)由根与系数的关系得：mn=7,m+n=-2009,.所求代数式=-(7-2009+1)=200 1例3已知方程x2-mx+m+5=0有两实根a,p；方程x2-(8 m+1)x+15m+7=0有两实根a,丫求a 2 丫的值(北京市竞赛题)【解答】方程x2-mx+m+5=0和方程x2-(8 m+1)x+15m+7=0都有根ao o/.a-ma+m+5=0 0 a 一(8 m+1)ct+15m+7=0 00-(-m+8 m+1)a-14m-2=0(7 m+1)(a-2)=0,m=-或 a=-2当m=一时，两方程相同，不合题意舍去。7a=2 代入O,4-2m+m+5=0 m=9此时，两方程 x2-9x+14=0,x2-7 3x+142=0由根与系数关系：a(3=14,a Y=142,/.a y=a p a y=14 X 142=198 8:、一元二次方程根的判别式及应用例4【解答】(可以直接想，也可以从反面入手)假设工个方程都没有实根则 1-4m 0 且 4-4(m-1)0 月.4+4(m-2)且m2且m i,如果都有实根，则 m -,m 2,m4 4至少有两个方程有实根，.1m 一 4 方程O有实根m 2解 m 或 1WmW24则出现如下组合 1mW 一或(4方程。有实根或m 1m 2万程Q有实根 m21选(B)第1页，共30精品pdf资料欢迎卜载学习必备 欢迎下载例 5整理方程(X4+6x3+9x2)-3p(x2+3x)+2p2=0即(X2+3x)-3p(x2+3x)+2p2=0(x2+3x-2p(x2+3x-p)=02x-3x+2p=02或 x+3xp=0方程有且只有一个实根一个方程有重根，另一个方程无实根9+8 p=0即：4 o)或9+4p 09+8 p B,不解方程,求62+3 B 2的值 a(“祖冲之杯”邀请赛试题)【解答】由根与系数关系:a+8=7 或 a(3=8 易得：a2+p2=(a+Bj _aB=49-16=33*a P,(a-P)2=(a -40=/3-1=x+1=v3 x2+2x+1=3/.x2+2x=2 o o3-2x-4x 3-2（x+2x）3-4-Z-=-Z-=-=1x2+2x-1 x2+2x-1-2-1-2.已知 a,b,c满足 a+b+c=0,abc=8,且 c0,求证：c22t4【解答】：丁 abc=8/.a,b,c不等于0 v c0,a+b+c=0,abc=8 a,b同号并同时为负数第3页，共30页精品pdf资料欢迎卜载学习必备 欢迎下载O Oa+b=-c ab=贝U a,b为方程 z2+cz+=0 两根，c c a.b 为实数，c2-0 c0/.c3 32，c 132=214 co o3.设a,b,c为互不相等的非零实数，求证：三个方程 ax+2bx+c=0,bx+2cx+a=0,oex+2ax+b=0,不可能都有两个相等的实数根(山东省竞赛题)【解答】：假设同时都有两个相等的实根，4b2_4ac=0且 4c2-4ab=0且o o o 24a-4bc=0 三个式子相力口 得：a+b+c-ac-ab-be=02 2 2/.(a-b)+(a-c)+(b-c)=0/.a=b=c 这与 a,b,c互不相等矛盾，三个方程不可能都有两个相等的实数根。4.如果方程(x-1)(x2-2x+m)=0的：根可以作为一个三角形的三边之长，那么，实数m的取值范围是()(全国初中数学竞赛试题)3 3 3(A)0WmW1(B)m 2一 VmW1(D)一 W mW 14 4 4【解答】：(x-1 lx?2x+m)=0 Xi=1或x?-2x+m=0 由题意：根课作为一个三角形三边长，不妨设另两边为 X2,x3;有根/.A=4-4m 0 x2+x3=24+4m 02 3x2 x3=m0(x2+x3)1 x3 m 满足条件 0/.即一 mW14-4m 04k+4 0第4页，共30页精品pdf资料欢迎卜载学习必备 欢迎下载5.已知方程1：x?-px+2q=。和方程2：x?-qx+2P=0有公共根，且 pWq；p、q是方 程3：4x+mx+n=0的两个实数根.(1)求方程1和方程2的公共根；(2)如果m、n都是正整数，求所有满足题意的正整数对(m,n).【略解】(1)方程1和方程2相减，得(p-q)(x+2)=0,pWq,x=-2；.20分(2)将x=-2代入方程1,得/q=-2,又p、q是方程3的两相异实数根，所以p+q=-m/4,所以 m=8.30 分又方程3有两个相异实数根，所以 m2-16n0,解得n 0a+b=-c.I 1ab=I c设a,b是方程x2+cx+=0两根c2 4=c 一一 N 0c c 0.,.ch 4,cV7=3=V=-V 8 V 8 2第6页，共30页精品pdf资料欢迎卜载学习必备 欢迎下载【例5对任意矩形A：设长为a,宽为b,矩形B的长为x,宽为y则；x+y=k(a+b)xy=kab贝x,y是方程 z2-k(a+b)z+kab=0两根=k2(a+b)2-4kab=k k(a+b)2-4abk(a+b)2-4ab】=k(a-b)2 0.必存在两个实根x,y则存在矩形B二、一元二次方程整数根问题的研讨【例6已知关于x的方程(a-1)x2+2x-a-1=0的根都是整数，那么符合条件的整数a有一个【解答】解：(全国初中数学竞赛试题)当aa+1 a-1+2 4 2Xi-1-a-1 a-1 a-1X2=1x为整数/.a-1=1,23.=2,0,3,-1当a=12x-2=0 x=1符合题意综上所述：a=1,2,0,3,-1【反思小结】若根可用有理式表示出根，结合整除性求解【例7】求所有正实数a,使得方程x2-ax+4a=0仅有整数根(全国初中数学联赛试题)【解答】解：设整数根为,x2Xi+X2=aXi X2=4aa 0?.Xi 0,x2 0X1X2=4(Xi+x2)X1X2-4Xi-4x2=0Xi(X2-4)-4(x2-4)=16(X1-4)(x2-4)=16=1-16=2-8=4-4,Xi=5 x,=6 X=8x2=20 x2=12 x2=8a=25,18,16【反思小结】由根与系数的关系得到关于 a的两个等式，以退为进，消去 a,先求出两整数第7页，共30精品pdf资料 欢迎卜.我学习必备 欢迎下载根，再求a的值【例8试求出所有这样的正整数 a,使得二次方程ax2+2(2a-1)x+4(a-3)=0至少有一个整数根(祖冲之杯邀请赛试题)解：2ax+4ax-2x+4a-12=02(x+4x+4 叔=2x+122x+12 2(x+6)a=2=2-x+4x+4(x+2)2/.x+4x+4 2x+12ox+2x-8 0(x+4(x-2)0?.-4 x 1,b1且aWb.,八曰 b+2 a+2.公共根是 a=-或 b=-.b-1 a-1两个等式去分母后的结果是一样的.即 aba=b+2,ab-a-b+1=3,(a-1)(b-1)=3.a,b都是正整数,a1=1,a1=3；或1b-1=3 b-1=1I I解得仁或=4b=2又解：设公共根为Xo那么(a-1)xo2-(a2-2)x+(a2+2a)=O 先消去二次项：(b-1)x02-(b2+2)x+(b2+2b)=0 x(b-1)一x(a-1)得一(a2+2)(b-1)+(b2+2)(a-1)xo+(a2+2a)(b-1)-(b2+2b)(a-1)=0.整理得(a-b)(ab-a-b-2)(xo-1)=O.；aWb，x()=1；或(abab 2)=0.当Xq=1时，由方程得 a=1,.a1=0,.方程不是二次方程.，xo不是公共根.当(abab 2)=0时，得(a1)(b 1)=3 解法同上.5.若直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程 mx-2x-m+1=0的根(m为整数)，这样的三角形是否存在？若存在，求出满足条件的所有：角形的三边长；若不存在。请说明第10页，共30页精品pdf资料 欢迎学习必备 欢迎下载理由。(湖北省黄冈市竞赛题)解：m w 0A=4-4m(-m+1)=4+4m2-4m=4m(iTi-1)+1 当 m=1,=4此时方程x2-2x=0X=2,x2=0(舍去)当m=0方程-2x+1=0 x=(不合题意舍去)2当m 01且m w 0时如果是完全平方数则 m(m-1)+1=k2/.m(m-1)=(k+1(k-1)m是整数m(m-1隹连续自然数的积但(k+1：(k-1户是连续自然数的积/.不存在【成就测试】1.解方程 x-3|x|+2=0解：当x之02x-3x+2=0=2,X2=1当x 02.x+3x+2=0Xi=-2,x2=-12.解：x2+ax=4tx2+ax=-4丫有三个互不相同的实数 根其中一方程有两等根/.a=43.证明(用反证法)设两个方程都没有两个不相等的实数根，那么 10和4 2W0.第11页，共30页精品pdf资料欢迎卜载学习必备 欢迎下载r1-4b 0 即 a24c40 a=b+c+1 1 5由得b2L,b+1 代入，得4 45 a-c=b+12，4c0时，则 1和中至少有一个是正数4.已知实数a、b满足a?+ab+b2=1，且t=ab-a2-b2，求t的取值范围（全国数学联赛）解：+t+1=2abt+1ab=-22 t+1fa+b）=1+ab=1+之 02 3t+3（a-b）=1-3ab=1-0I 2t 3解得|1t N E=N C.VZ ABD=2ZE.AZ ABD=2ZC.在aABC 中，NBAC=120,NABD=2NC.则 N C=20.【举一反三】1【证明】（根据BD平分N ABC应用角平分线性质构造全等）如图：过点D作DELAB于点E.DF_LBC于点F,在BC上截取BG=BD,连结DG.V AB=AC,Z BAC=100,BD 平分N ABC 交 AC 于点 D,BG=BD.AZ ABC=ZACB=40.ZABD=ZCBD=20,N BDG=N BGD=8 0.Z DAE=8 0.AZ BGD=ZDAE.,?BD平分N ABC交AC于点D.过点D作DE LAB于点E,DFJ.BC于点F.A DE=DF,Z AED=ZGFD=90.在AAED和AGFD中，VZ BGD=ZDAE,Z AED=ZGFD=90,DE=DF.证明一图AEDAGFD.AD=GD.在 4CGD 中，Z ACB=40,Z BGD=8 01则 N GDC=40=NACB,则 DG=GC.又:AD=GD.AD=GC.XV BD=BG.BC=BG+CG=BD+AD.【证明二】（通过对折变换以及截长补短构造全等）证明二图第13页，共30页精品pdf资料 欢迎卜.我学习必备 欢迎下载在BC上截取BF=BD,连结DF.在BC上截取BE=AB,连结DE.V AB=AC,Z BAC=100.BD 平分N ABC 交 AC 于点 D,BD=BF.AZ ABC=ZACB=40,Z ABD=Z CBD=20.ZBDF=ZBFD=8 0,，Z FDC=ZBFD ZACB=8 040=40=ZACB.FD=FC.在ABAD和AEAD中，V AB=EB,Z ABD=ZCBD=20,BD=BD.BADA EAD.AZ BED=ZBAC=100,DA=DE.AZ DEF=8 0.又,：乙 BFD=8 0.AZ DEF=ZBFD.DE=DF.又DA=DE,FD=FC.BC=BF+FC=BD+CF=BD+DF=BD+DE=BD+AD.【证明三】（戳长补短”构造全等）延长BD至U F,使得BF=BC,连结CF.在BC上截取BE=BA,连结DE,V AB=AC,Z BAC=100.BD 平分N ABC 交 AC 于点 D,BD=BF.AZ ABC=ZACB=40,Z ABD=Z CBD=20.AZ ADB=60.在ABAD和AEAD中，V AB=EB,Z ABD=ZCBD=20BD=BD.*.BAD 丝 BED.AD=ED,Z ADB=ZADE=60.AZ CDE=ZCDF=60.VZ CBD=20,BF=BC.AZ BFC=NBCF=8 0.又,：乙 ACB=40.AZ DCF=40=ZACB.在4FCD和4ECD中，VZ CDE=ZCDF,CD=CD,NACB=NDCF.FCDAECD.DF=DE.又,:AD=ED.AD=DF.BC=BF=BD+DF=BD+DE=BD+AD.【证明四】（通过构造含有 30角的直角三角形）证明三图延长BD至U F,使得DF=DA.连接AF,过点B作BN1AF于点N,作AM，BC于点M,第14页，共30页精品pdf资料 欢迎卜.我学习必备 欢迎下载AB=AC,Z BAG=100,BD 平分N ABC 交 AC 于点 D,ABC=NACB=40。，Z ABD=Z CBD=20.AZ ADB=60.;DF=DA.AZ DAF=ZDFA=30.又:BN1AF./.BN=1 BF.2V AB=AC,Z BAC=100.AMBC 于点 M,BNAF./.Z BAM=Z CAM=50.ZBMA=90=ZBNA,MB=MC.XVZ DAF=30,Z BAC=100.AZ BAN=50=ZBAM.在4BNA和aBMA中，BNA=NBMA,ZBAN=ZBAM,AB=AB./.BNAABMA.BN=BM.VMB=MC,BNBF.2/.BD+AD=BD+DF=BF=2BN=2BM=BM+MC=BC.【证明五】（通过作平行线构造等腰三角形）证明四图过点D作DEBC交AB于点E,在BC上截取BF=BD,连结DF.V AB=AC,Z BAG=100,BD 平分N ABC 交 AC 于点 D.ABC=NACB=40,N ABD=N CBD=20,Z BDF=Z BFD=8 0.N FDC=NBFD NACB=8 040=40=ZACB./.DF=FC.DEBC.CBD=NEBD=20,N AED=N ABC=N ACB=NADE=40.ED=BE,AD=AE.XV AB=AC.EB=DC=ED.在AAED和 DFC中，TZ AED=ZFDC,ED=DC,NADE=NFCD,AEDA DFC.DE=DC,AD=CF.又：BD=BF.证明五图BC=BF+FC=BD+CF=BD+AD.如果作为竞赛训练题还有其它解法.（下面只提供一种）【证明六】（构造等边三角形）以BC为边作正EBC,连结EA.V AB=AC,Z BAC=100,BD 平分N ABC 交 AC 于点 D,正 aEBC.AZ ABC=ZACB=40,Z DBA=Z DBC=20,Z EBA=20,Z ADB=60,ZBEC=60.第15页，共30页精品pdf资料 欢迎卜.我学习必备 欢迎下载以B为圆心，以BD为半径画弧交 AE于点F,则BD=BF,连结 AF.,；BF=BD,N EBA=NDBA,BA=BA.FBAA DBA.AF=AD,Z ADB=Z AFB=60.VAB=AC,EA=EC.E、A都在BC的垂直平分线上.A AE 1 BC,AE 平分 BC.又 AB=AC,Z BEC=60.EA 平分N BEC,Z AEF=30.又AFB=60n.AZ EAF=ZAFBZAEF=30=ZAEF.AF=EF.又,.AF=AD,BC=BE,BD=BF.，BC=BE=BF+EF=BD+AF=BD+AD.【举一反三】2.【证明】在 AB上截取AE=AC,连接DE.VAE=AC,AB=AC+CD.EB=CD.：AD 平分N BAG.AZ BAD=ZCAD.,；AE=AC,NBAD=NCAD,AD=AD.ADE ADC.，DE=DC,NAED=NC.XV CD=EB.DE=EB.，NB=NEDB,Z C=ZAED=ZB+ZEDB=2ZB.AZ B:ZC=1:2.【证明二】延长 AC至U E使得AE=AB,连接DE.VAE=AB,AB=AC+CD.CE=CD.AZ E=NCDE,NACB=NCDE+NE=2NE.AD 平分N BAG.AZ BAD=ZCAD.*.*AE=AB,NCAD=NBAD,AD=AD.ADEA ADB.AZ E=ZB.XV Z ACB=2Z E.AZ ACB=2ZB.AZ B:ZACB=1:2.例3.【证明一】延长 FM到点G,使得MG=FM,连接BG.VMB=MC,NAMG=NCMF,MG=MF.BMGA CMF.CF=BG,N G=N CFM.：AD ME.AZ CFM=ZDAC,NCFM=NE.G证明一图第16页，共30页精品pdf资料 欢迎卜.我学习必备 欢迎下载VZ DAC=ZBAD.N CFM=N BAD=N E=N G.，BE=BG,而 BG=CF,则 BE=CF.BE=AB+AE,AE=AF.2BE=AB+AF+CF.即：CF=BE=1(AB+AC).【证明二】利用中点构造中位线证明.过点B作BG EM交CA的延长线于点 G.V BG/7 EM,M为BC的中点./.CF=FG.：BGEM,ADME,AD 平分N BAC.证明二图N BAD=N CAD,N CAD=N G=N AFE,N BAD=N ABG=N E.N ABG=NG,N E=N AFE.AB=AG,AE=AF.BE=AB+AE=AG+AF=FG=CF=gcG=；(AC+AG)弓(AB+AC).例4【证明】连接PN.；P为BC的中点，N为CD的中点.NPBC,NP=-BC.2又 Q为MN的中点.A ME=QM_=r 即：mE=NP.PN QNVM是AB的中点/.MA=MB=i BA2AE=MAME=AB-ME.2证明图CE=BE-BC=BM+ME-2PN=-AB+ME-2ME=-AB-ME.2 2/.AE=CE.【举一反二】【解答】PQ的长度不变化，等于-AB.4理由：连接EB,取EB的中点H,连接HF、FM、MG、GH、MH、NH.VH为EB的中点，F为BC的中点,M为CD的中点，G为DE的中点.四边形HFMQ是平行四边形，且MH与FG互相平分，即:Q为MH的中点.又 P为MN的中点.H为EB的中点.APQ=-NH，NH=-AB2 2 PQ=-AB4第17页，共30页精品pdf资料欢迎卜载学习必备 欢迎下载即：pq的长度不变化，等于 Jab.4例5证明：连结AC,把 ABC绕点A逆时针旋转120得到 AEF,则ZAEF=Z ABC,EF=BC,AF=ACVZABC+ZAED=18 0/.ZAEF+ZAED=18 0.D、E、F;点共线DF=DE+EF=BC+DE=CD/.ADFA ADC/.Z ADF=N ADC,即 AD 平分N CDEAB=AE=AC.例7.【证明一】连结 MB.首先利用条件N ADB=90而后证明a ADBA ADE,例6提示：如图，延长 CD至7 EVA ACBA BDE./.AC=BD,BC=DE,AB=BE,NABC=NBED,ZCAB=ZEBD.又ACB=90,Z BDE=90,M 为 AE 的中点.AZ ABE=90,MB=MA=ME,Z BAM=Z MBA=Z MBE=Z BEM=45,BM AE.A Z CAM=Z CAB+Z BAM=ZCAB+45=Z EBD+45=Z DBM.在CAM和DBM中，V CA=DB,NCAM=NDBM,MA=MB.CAMA DBM,，CM=DM,Z AMC=ZBMD.XV BM 1AE.AZ AMB=90,Z CMD=ZCMB+ZBMD=/.MCD是等腰直角：角形.证明-图【证明二】观察整个图形四边形 ACDE是一个直角梯形，M为AE中点，考虑构造中位线来解决问题.取CD的中点N,连结MN.第18页，共30页精品pdf资料欢迎卜载学习必备 欢迎下载 ACB与4BDE是两个全等的直角三角形，C、B、D在一条直线上,MN ACED,MN=-1(AC+ED)=g(DB+CB)=、CD,CN=DN,MN1CD.MN=CN=DN,MN CD./.MCD是等腰直角：角形.解答图2【证明三】根据已知，M是AE的中点，ACDE.延长CM交DE的延长线于点 N,构造ACMgANEM,得至 U：MN=MC,NE=AC,而 AC=BD.得到等腰直角 ACDN,M 为 CN 的中点，则NN=NDCN=45,CM=MC=MN,DM CN,则问题得证.延长CM交DE的延长线于点 N.VZ ACD=ZCDE=90.ACDE,M 为 AE 的中点.AC _ AIV CM _/.EN-EM-NM-.CM=NM,AC=EN.VCB=DE,BD=AC.DC=CB+DB=DE+AC=DE+EN=DN.VZ CDE=90,MC=MN.DCN=NDNC=45,DM=CM=NM.AZ DCN=ZCDM=45.AZ CMD=90./.CMD是等腰直角二角形.【一试身手】【基础训练】1.B；2.3；3.6；4.证明：过点 D 作 DELAB 于点 E,则N AED=90,ZC=90,Z BED=90 VAD 是N BAG 的角平分线，AZ EAD=ZCAD.VZ AED=90,Z C=90,，NAED=NC.；NAED=NC,NEAD=NCAD,AD=AD,/.AED AACD.DE=DC,AC=AE.设 AC=k,CD=X.根据 BC=2AC 得到：BC=2k,根据N C=90,BC=2AC,得到：AB=5k.根据AC=AE得至I：AE=AC=k，根据DE=DC得至I：DE=DC=X.在三角形BED中，Z BDE=90.第19页，共30页精品pdf资料欢迎卜载学习必备 欢迎下载BD2=DE2+BE2,即：(2k-x)2=x2+(V5k-k)2.，4kx=4k2-5k2-k2+25k+4k+k-v,5k=5k=5AC.2解法二：过点 D 作 DE_LAB 于点 E,则N AED=90,Z C=90,Z BED=90VAD是/BAC的角平分线，:.乙EAD=ZCAD,A；NAED=90,NC=90,，NAED=NCVZ AED=ZC,NEAD=NCAD,AD=AD,/.AEDAACD,DE=DC,AC=AE,设 AC=k,CD=x,解答图 根据 BC=2AC 得到：BC=2k,根据N C=90,BC=2AC,得至U：AB=、/5k,根据AC=AE得至I：AE=AC=k，根据DE=DC得至I：DE=DC=XV Z C=90,BC=2AC,DEI AB,AZ C=ZBED=90,Z B=ZBDE:BE:BD=AC:BC:AB=1:2:,BE=AB-AE=(押-1)k 则 BD 二 BE 75=5-5 k,则 AB+2BD=v5k+5k-v5k=5k=5AC2 2 A【提高训练】/5.解答：在AB上截取AE=AB,连接DE.AE=AB,AC=AB+BD.B d cBD=CE.VAD平分N BAC.解答图AZ BAD=ZCAD.；AE=AB,NBAD=NCAD,AD=AD./.ABDAAED.DE=DB,N AED=NB.又：BD=CE.，DE=EC./.Z C=ZEDC,N B=NAED=NC+NEDC=2NC.：Z B=8 0.Z C=40,Z A=60.6.解答：AB=AC,AZ ABC=ZACB=-(18 0-NBAC),Z ABC 与N ACB 都是锐角，VAD=DE,.N DEA=ZDAE=18 0-NBAC,ZDAE 与NDEA 都是锐角，则N ADE=2NBAC-18 0,第20页，共30页精品pdf资料欢迎卜载学习必备 欢迎下载则N BAC为钝角，过点C作CF AB,过点D作DF BC交CF于点F,则四边形BDFC是平行四边形,则 DB=CF,BC=DF,NEAD=NECF,ZADF=ZABC=-1(18 0-Z BAC).VDA=CE,AB=AC./.DB=AE.而 DB=CF.DB=AE=CF.V DA=CE,NEAD=NECF,AE=CF.DABA EOF./.ED=EF.又ED=BC,BC=DF./.ED=DF=EF.解答图.,.A EDF是等边E角形.A 60=Z EDF=Z ADE+Z ADF=2Z BAC-18 0+-(18 0-ZBAC).AZ BAC=100.7.解：将ABO绕点A逆时针旋转60得AACD,连结OD,则AD=AO=3,DC=OB=5,Z CAD-Z BAOAZ DAO=Z CAB=60 AOD为等边三角形.,.ZAOD=60,OD=3,在 ODC 中,VOD=3,OC=4,DC=5COD=90/.Z AOC=Z AOD+Z COD=1508.证明：把 ADF绕中点D旋转180。得到 BDG，其中B与A、G与F分别是对应点,则BDGgAADF。于是S&DF+SDE=S3DG+S年de=S四边形 BEDGVD是AB的中点AD也是GF的中点，故Sheg=S_xef:Seg-S四边形 BEDGS/pEF W Sdf+S由DE9.解答：如图，作边长为 1的正方形ABCD,分别在AB、AD上取AE=a,AG=b,过E、G 分别作AD、AB的平行线，交 CD、BC于F、H,EF、GH交于。点.由题设条件及作图可知，AOG、BOE、COF、DOG皆为直角一角形第21页，共30页精品pdf资料欢迎卜载学习必备 欢迎下载0A=va2+b2,0B=、(1-a)2+b2,oc=x(1-a)2+(1-b)2,0D=x；a2+(1-b)2.再连结对角形 AC,BD,易知AC=BD=、W,OA+OCC,OB+OD田D,va2+b2+(1-a)2+b2+v a2+(1-b)2+x(1-a)2+(1-b)222衣.a-4=o则 或b-4=1第三讲：证题方法及应用（一）成就测试一、选择题（每小题 15分，共30分）1.B.设另一边长 c,则 c是奇数，且 2003 cb.则ab=a+b+va2，b22则 ab-2a-2b=2、齐后则 a2b2+4a2,4b2-4a2b-4ab2+8 ab=4a2+4b2则 a2b2-4a2b-4ab?+8 ab=0则 ab-4a-4b+8=0则（a-4）（b-4）=8a-4=4b-4=2a=12 a=8则4 或Jb=5 b=6答案是D二、填空题（每个小题 15分，共30分）3.答案：-34.答案：90.:、解答题5.解答：第22页，共30页精品pdf资料 欢迎FS学习必备 欢迎下载.，AE=DE=BD,BE=BC,AB=AC.AZ DBE=ZDEB,Z A=Z ADE=2 Z DBE,N BEC=NBCE=N A+N DBE=3N DBE.ZABC=ZBCE=3ZDBE.“ATZ A+ZABC+ZBCE=18 0.R.,.2ZDBE+3ZDBE+3ZDBE=18 0.2 Z DBE=45.Dy夕Z A=2Z DBE=45./B*-*C1题解答图6.证明一：构造矩形 ABCD,使得AB=3,BC=4,在CD上截取CE=1,在AD上截取AF=1,则 DE=2,DF=3,可以得到：BE=%17,EF=、13,BF=7而，1111 1 可得：Sef=12-X4-1-X2-3-3-1=2 是有理数.占 2 2 2b2)2题解答1图证明二.设 zABC 中，BC=10、AC=、同、AB=设 AM=X，则 AC 2 AM 2=CM 2,BC2-BM 2=则 13-x?=10-(vT7-x)2,则 1310+17=247?xS&BC=X、1 7 X =是有理数 2 v,17 2第5讲反比例函数问题解答例1分两种情况考虑：(1)ai,a?符号相同.当a1，a2同正，A,B两点同时位于第四象限的曲线v17,作 CM _LAB 于 M,2CM,10 CKA 11则 x=-=,CM=-=,V17 V17Ca M b2题解答2图A(o-第23页，共30页精品pdf资料 欢迎卜.我学习必备 欢迎下载上；当av a2同负，A,B两点同时位于第二象限的曲线上，满足当 k 0时，在每个象限 内，y的值随x值的增大而增大，所以有 bi b2.(2)a，a2符号相反.因为a.a2,所以有a1 0b2.例2 B|z|z例 3解：(1)将 A(3,2)分别代入 y=-,y=ax 中，得 2=-,3a=2 x 32k=6,a=一36.反比例函数的表达式为：y=-x9正比例函数的表达式为 y=-x3(2)观察图象，得在第一象限内，当 0 x 3时，反比例函数的值大于正比例函数的值.(3)BM=DM理由：Saoivib=Saoac=二.k=32&，：形 OBDC=6q 边形 OADM+SA0MB+SA0AC=3+3+6=12即 OCxOB=12,OC=3，OB=4即n=4 m=n 23 3 3 MB=-,MD=3一=-2 2 2MB=MD例4(1)B点的坐标为(3,3)k=9P i(6.-)P 2(=6)2 227(3)S=9-3m(0 m3)m例5解:(1)由题意，得点 C(0,2),点 A(4,0).设点P的坐标为(a，a+2),其中ao.2由题意，得&abp=(a+4)(a+2)=9.解得a=2或a 10(舍去)第24页，共30页精品pdf资料欢迎卜载学习必备 欢迎下载而当a=2时，1a+2=3,，点P的坐标为（2,3）.2k（2）设反比例函数的解析式为 y=2.x k点P在反比例函数的图象上，.3=2,k=62反比例函数的解析式为 y=-，X设点R的坐标为（b，9），点T的坐标为（b，0）其中b2,b那么 BT=b-2,R T=.b当 R TB AOC时，空=肛，即=2-AO CO BT CO6一上一=2，解得b=3或b=-1（舍去）.b-2点R的坐标为（3,2）.当 R TBs COA时，=，即=-=-CO AO BT AO 26/.-=【，解得b=1+、记或b=1 v话(舍去).b-2 2点R的坐标为(1+v13,3).2综上所述，点 R的坐标为（3,2）或（1+、而例6（1）依题可得b=2a-ab+k=2(a+1)-1一得k=2.反比例函数解析式为1 y=-Xy=2x-1,(2)由 4 1y=，l XXi=1,得Yi凶=一2=-2.1=X为=1,经检验 1Yi=-I x_1.X2=-2都是原方程组的解.=-2.、，记-1）2第25页，共30页精品pdf资料欢迎卜载学习必备欢迎下载（3）A点在第一象限；A点坐标为（1,1）.（3）0A=A+d=、/,0A与X轴所夹锐角为45当 0A 为腰时，由 OA=OP,得 Pl（y/2,0）,P2（一 v2,0）；由 OA=OP，得 P3（2,0）.当OA为底时，得P4（1，0）.,这样的点有 4 个，分另是（y/2,0）,（一、运，0）,（2,0）,（1,0）.例7解：（1）、点E的坐标（a,1-a）;点F的坐标（1-b,b）（2）、当PM、PN与线段AB都相交时S/EOF=S/AOB-S/AOE-S/BOF=(a+b-1).当PM、PN中，一条与线段 AB相交，另一条与线段 AB的延长线相交时，S/EOF=S/FOA+S ZAOE=(a+b-1).或 S/EOF=S A FOB+S A BOE=(a+b-1).、/AOF与力BOE 一定相似OA=OB=1,Z OAF=Z EBO,BE=a,AF=b点P是函数图像上任意一点，A2ab=1.r-.AF OA a-.；b=1 X1,/AOF s/BEO.Ub DC(4)、当点P在曲线上移动时，/OEF中，ZEOF 一定等于45。由第(3)题得出/AOF与/BOE 一定相似AZ AFO=ZBOE,在/OEF 中，Z AFO=ZB+ZBOF,而N BOE=NEOF+NBOF,N EOF=N B=45.例 8.解：(1);A,B 在双曲线 y=(m0),ACy 轴，BC x轴,：.A,B 的坐标分别(1,m),(2m,-).9又点A,B在直线y=kx+-1或解得2 m=4.(1分)(2分)(4分)当k=-4且m=工时，点A,B的坐标都是（1,二），不合题意，应舍去；当 k=第26页，共30页精品pdf资料欢迎卜载学习必备 欢迎下载且m=4时，点A,B的坐标分别为(1,4),(8)，符合题意.2 k=月.m=4.(5 分)(2)假设存在点P使得MN=2 AB.2ACy 轴，MPy轴，ACMP，NPMN=ZCAB,R t AACB s Rt MPN，二 _=g=，.(7 分)AC AB 24 1 9设点P坐标为P(x,-)(1 x 8),则M点坐标为 M(x,一一 x+)，x 2 219 4 1 7 M P=x 十一又 AC=4=一,2 2 x 2 21 9 4 7 o.一一x+-=_，即 2x _11x+16=0(X).(9 分)2 2x4 A=(-11)2 _4x2x16=-7 0)经过点 M(2,2),A m=4.A y=-.x x又,点N在BC边上，B(4,2),点N的横坐标为4.,点 N 在直线 y=x+3 上，y=1./.N(4,1).2第27页，共30页精品pdf资料欢迎卜载学习必备 欢迎下载4 4当x=4时，y=1,.点N在函数 y=2 的图象上.x x（3）4W m W8.3.解：（1）平行四边形（2）.点B（p,1）在y=正的图象上，1=登，二 p=M.X P过B作BE_Lx轴于E,则0E=照，BE=1,在 R tZiBOE 中，tana=_L=.OE 73 3/.a=30.a OB=2.又.点B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点，.点B、D关于原点O成中心对称.OB=OD=.四边形 ABCD 是矩形，A（-m,0 C（m,0）,/.OA=OB=OC=OD=2./.m=2；能使四边形 ABCD为矩形的点B共有2个；（3）四边形ABCD不能是菱形.证明如下：证法一：.点A、C的坐标分别为（一m,0）、（m,0）,/.四边形ABCD的对角线AC在x轴上.又.点B、D分别是正比例函数与反比例函数在第一、:象限的交点.二对角线AC与BD不可能垂直./.四边形ABCD不能是菱形.证法二：若四边形 ABCD为菱形，则对角线 AC BD,且AC与BD互相平分,因为点A、C的坐标分别为（-m,0）、（m,0）,所以点A、C关于原点O对称，且AC在x轴上.所以BD应在y轴上，这与“点 B、D分别在第一、三象限”矛盾，所以四边形ABCD不能是菱形.雨露数学潜能班九年级第五讲成就测试一、填空题（每小题 15分，共60分）21.如图（1）,正比例函数 y=kx（k 0）与反比例函数 y=-的x图象相交于A、C两点，过A点作x轴的垂线，交x轴于B,过C作x轴的垂线，交x轴于D,则四边形 ABCD的面积为 一=4S&OB=46,2.如图2,已知点A在双曲线y=一上,X且0A=4,过A作AC J_x轴于第28页，共30页精品pdf资料 欢迎卜.我学习必备 欢迎下载C,0A的垂直平分线交 0C于B.(1)则 AOC的面积=3(2)ABC的周长为 2J7.3.如图3,R tA ABC在第象限，ZBAC=90C,AB=AC=2,点 A 在直线y=x上，其中点A的横坐标为1,k双曲线y=-（kw0）与 ABC有交点,且则围是1 k 44 14.函数y=-和y=在第-象限内的图像如图,AB x 轴，AC y 轴，若k的取值范点 P是y=的图像上一动点,PC_Lx轴于点C,交y=1的图像于点A；PDJ_y轴，交y=:的图像于点B.给出如下结论：ODB与AOCA的面积相等；PA与PB始终相等；四边形 PAOB的面积大小不会发生变化；CA=:AP.其中所有正确结论的序号是,二、解答题（本题 40分）如图5,过点PJ4,3）作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于kA B两点，交双曲线y=-（kN2）于E、F两点.(1)点E的坐标是x，点F的