资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点，若∠D＝110°，则∠AOC的度数为（ ）
A．130° B．135° C．140° D．145°
2．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（ ）
A．（x+1）（x+2）=18 B．x2﹣3x+16=0 C．（x﹣1）（x﹣2）=18 D．x2+3x+16=0
3．一个不透明的布袋里装有5个红球，2个白球，3个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出1个球，是黄球的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
甲
乙
丙
丁
平均数（cm）
181
186
181
186
方差
3.5
3.5
6.5
7.5
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．如图，将图形用放大镜放大，这种图形的变化属于（ ）
A．平移 B．相似 C．旋转 D．对称
6．如图，以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为( )
A．2：1 B．3：1 C．4：3 D．3：2
7．两个相似三角形，其面积比为16：9，则其相似比为( )
A．16:9 B．4：3 C．9：16 D．3：4
8．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则t
anC的值是（ ）
A．2 B． C．1 D．
9．质检部门对某酒店的餐纸进行调查，随机调查5包(每包5片)，5包中合格餐纸(单位：片)分别为4，5，4，5，5，则估计该酒店的餐纸的合格率为 （ ）
A．95% B．97% C．92% D．98%
10．如图，在△ABC中，DE∥BC，BE和CD相交于点F，且S△EFC＝3S△EFD，则S△ADE：S△ABC的值为（ ）
A．1：3 B．1：8 C．1：9 D．1：4
11．用配方法解方程时，应将其变形为( )
A． B． C． D．
12．在中，最简二次根式的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，在四边形ABCD中，，E、F、G分别是AB、CD、AC的中点，若，，则等于______________．
14．在一个不透明的口袋中装有5个红球和3个白球，他们除颜色外其他完全相同，任意摸出一个球是白球的概率为________．
15．已知,相似比为,且的面积为,则的面积为__________．
16．如图，某测量小组为了测量山BC的高度，在地面A处测得山顶B的仰角45°，然后沿着坡度为1：的坡面AD走了200米到D处，此时在D处测得山顶B的仰角为60°，则山高BC＝_____米（结果保留根号）．
17．如图，一组等距的平行线，点A、B、C分别在直线l1、l6、l4上，AB交l3于点D，AC交l3于点E，BC交于l5点F，若△DEF的面积为1，则△ABC的面积为_____．
18．已知a、b是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根，则a+b＝_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，已知，在直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，点从A点开始以1个单位/秒的速度沿轴向右移动，点从点开始以2个单位/秒的速度沿轴向上移动，如果两点同时出发，经过几秒钟，能使的面积为8个平方单位．
20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点M是AB边的中点.
(1)如图1，若CM=，求△ACB的周长；
(2)如图2，若N为AC的中点，将线段CN以C为旋转中心顺时针旋转60°，使点N至点D处，连接BD交CM于点F，连接MD，取MD的中点E，连接EF.求证：3EF=2MF.
21．（8分）在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图MN是装订机的底座，AB是装订机的托板AB始终与底座平行，连接杆DE的D点固定，点E从A向B处滑动，压柄BC绕着转轴B旋转．已知连接杆BC的长度为20cm，BD＝ cm，压柄与托板的长度相等．
（1）当托板与压柄的夹角∠ABC＝30°时，如图①点E从A点滑动了2cm，求连接杆DE的长度．
（2）当压柄BC从（1）中的位置旋转到与底座垂直，如图②．求这个过程中，点E滑动的距离．（结果保留根号）
22．（10分）为落实“垃圾分类”，环卫部门要求垃圾要按A,B,C三类分别装袋,投放，其中A类指废电池,过期药品等有毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料,废纸等可回收垃圾.甲投放了一袋垃圾，乙投放了两袋垃圾，这两袋垃圾不同类．
(1)直接写出甲投放的垃圾恰好是A类的概率；
(2)求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率．
23．（10分）如图，已知抛物线与轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线经过点C，与轴交于点D．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）点P是（1）中的抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t（0＜t＜3）．
①求△PCD的面积的最大值；
②是否存在点P，使得△PCD是以CD为直角边的直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（10分）如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，D为AB的中点，EF为△ACD 的中位线，四边形EFGH为△ACD的内接矩形（矩形的四个顶点均在△ACD的边上）．
（1）计算矩形EFGH的面积；
（2）将矩形EFGH沿AB向右平移，F落在BC上时停止移动．在平移过程中，当矩形与△CBD重叠部分的面积为时，求矩形平移的距离；
（3）如图③，将（2）中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形，将矩形绕点按顺时针方向旋转，当落在CD上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形，设旋转角为，求的值．
25．（12分）现有红色和蓝色两个布袋，红色布袋中有三个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字1，2，3，蓝色布袋中有也三个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字2，3，4小明先从红布袋中随机取出一个小球，用m表示取出的球上标有的数字，再从蓝布袋中随机取出一个小球，用n表示取出的球上标有的数字．
（1）用列表法或树状图表示出两次取得的小球上所标数字的所有可能结果；
（2）若把m、n分别作为点A的横坐标和纵坐标，求点A（m，n）在函数y＝的图象上的概率．
26．在如图所示的平面直角坐标系中，已知△ABC．
(1)将△ABC向左平移4个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1的图形，并写出点A1的坐标.
(2)以原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2图形，并写出点A2的坐标.
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】根据“圆内接四边形的对角互补”，由∠D可以求得∠B，再由圆周角定理可以求得∠AOC的度数．
【详解】解：∵∠D＝110°，
∴∠B＝180°﹣110°＝70°，
∴∠AOC＝2∠B＝140°，
故选C．
【点睛】
本题考查圆周角定理及圆内接四边形的性质，熟练掌握有关定理和性质的应用是解题关键．
2、C
【详解】试题分析：可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣1）m，宽为（x﹣2）m．根据长方形的面积公式列方程可得=1．
故选C．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
3、A
【分析】让黄球的个数除以球的总个数即为所求的概率．
【详解】解：因为一共10个球，其中3个黄球，所以从袋中任意摸出1个球是黄球的概率是．
故选A．
【点睛】
本题考查概率的基本计算，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
4、B
【分析】根据平均数与方差的意义解答即可.
【详解】解: ,
乙与丁二选一,
又,
选择乙.
【点睛】
本题考查数据的平均数与方差的意义,理解两者所代表的的意义是解答关键.
5、B
【分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．
【详解】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．
故选：B．
【点睛】
本题考查相似形的识别，联系图形根据相似图形的定义得出是解题的关键．
6、A
【分析】通过观察图形可知∠C和∠F是对应角，所以AB和DE是对应边；BC和EF是对应边，即可得出结论．
【详解】解：观察图形可知∠C和∠F是对应角，所以AB和DE是对应边；BC和EF是对应边，∵BC＝12，EF＝6，∴．
故选A.
【点睛】
此题重点考察学生对相似三角形性质的理解，掌握相似三角形性质是解题的关键.
7、B
【分析】根据两个相似多边形的面积比为16：9，面积之比等于相似比的平方．
【详解】根据题意得：＝．即这两个相似多边形的相似比为4：1．
故选：B．
【点睛】
本题考查了相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．
8、B
【分析】在直角三角形ACD中，根据正切的意义可求解．
【详解】如图：
在RtACD中，tanC．
故选B．
【点睛】
本题考查了锐角三角比的意义．将角转化到直角三角形中是解答的关键．
9、C
【分析】随机调查1包餐纸的合格率作为该酒店的餐纸的合格率，即用样本估计总体．
【详解】解：1包（每包1片）共21片，1包中合格餐纸的合格率．
故选：C．
【点睛】
本题考查用样本估计整体，注意1包中的总数是21，不是1．
10、C
【分析】根据题意，易证△DEF∽△CBF，同理可证△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积比是对应边比例的平方即可解答．
【详解】∵S△EFC＝3S△DEF，
∴DF：FC＝1：3 （两个三角形等高，面积之比就是底边之比），
∵DE∥BC，
∴△DEF∽△CBF，
∴DE：BC＝DF：FC＝1：3
同理△ADE∽△ABC，
∴S△ADE：S△ABC＝1：9，
故选：C．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比是对应边比例的平方．
11、D
【分析】二次项系数为1时，配一次项系数一半的平方即可.
【详解】
故选：D
【点睛】
本题考查的是解一元二次方程的配方法，配方法要先把二次项系数化为1，再配一次项系数一半的平方是关键.
12、A
【分析】根据最简二次根式的条件进行分析解答即可．
【详解】解：不是最简二次根式，是最简二次根式.
故选A.
【点睛】
本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、36°
【分析】根据三角形中位线定理得到FG∥AD，FG=AD，GE∥BC，GE=BC，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：∵F、G分别是CD、AC的中点，
∴FG∥AD，FG=AD，
∴∠FGC=∠DAC=15°，
∵E、G分别是AB、AC的中点，
∴GE∥BC，GE=BC，
∴∠EGC=180°-∠ACB=93°，
∴∠EGF=108°，
∵AD=BC，
∴GF=GE，
∴∠FEG=×（180°-108°）=36°；
故答案为：36°．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
14、
【详解】解：∵在一个不透明的口袋中装有5个红球和3个白球，
∴任意从口袋中摸出一个球来，P（摸到白球）= =.
15、
【分析】根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】∵，相似比为，
∴与，的面积比等于4：1，
∵的面积为，
∴的面积为1．
故答案是：1．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的性质定理，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，是解题的关键．
16、300+100
【分析】作DF⊥AC于F．解直角三角形分别求出BE、EC即可解决问题.
【详解】作DF⊥AC于F．
∵DF：AF＝1：，AD＝200米，
∴tan∠DAF＝，
∴∠DAF＝30°，
∴DF＝AD＝×200＝100（米），
∵∠DEC＝∠BCA＝∠DFC＝90°，
∴四边形DECF是矩形，
∴EC＝DF＝100（米），
∵∠BAC＝45°，BC⊥AC，
∴∠ABC＝45°，
∵∠BDE＝60°，DE⊥BC，
∴∠DBE＝90°﹣∠BDE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBE＝45°﹣30°＝15°，∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝45°﹣30°＝15°，
∴∠ABD＝∠BAD，
∴AD＝BD＝200（米），
在Rt△BDE中，sin∠BDE＝，
∴BE＝BD•sin∠BDE＝200×＝300（米），
∴BC＝BE+EC＝300+100（米）；
故答案为：300+100．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题
17、
【分析】在三角形中由同底等高，同底倍高求出，根据平行线分线段成比例定理，求出，最后由三角形的面积的和差法求得．
【详解】连接DC，设平行线间的距离为h，
AD=2a，如图所示：
∵，
，
∴S△DEF=S△DEA，
又∵S△DEF=1，
∴S△DEA=1，
同理可得：，
又∵S△ADC=S△ADE+S△DEC，
∴，
又∵平行线是一组等距的，AD=2a，
∴，
∴BD=3a，
设C到AB的距离为k，
∴ak，
，
∴，
又∵S△ABC=S△ADC+S△BDC，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题综合考查了平行线分线段成比例定理，平行线间的距离相等，三角形的面积求法等知识，重点掌握平行线分线段成比例定理，难点是作辅助线求三角形的面积．
18、-1
【分析】直接根据两根之和的公式可得答案．
【详解】∵a、b是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根，
∴a+b＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点睛】
此题考查一元二次方程根与系数的公式，熟记公式并熟练解题是关键.
三、解答题（共78分）
19、2秒，4秒或秒
【分析】首先求得直线与两坐标轴的交点坐标，然后表示出三角形的两边利用三角形的面积计算公式列出方程计算即可．
【详解】解：直线AC与x轴交于点A（-6，0），与y轴交于点C（0，1），
所以，OA=6，OC=1．
设经过x秒钟，则OQ为2x．
当时，点P在线段OA上，底OP=，
可列方程，
解得．
当时，点P与点O重合或在线段OA的延长线上，底OP=，
可列方程，
解得，
而不合题意舍去．
综上所述，经过2秒，4秒或秒能使△PQO的面积为1个平方单位．
【点睛】
本题考查了一次函数和一元二次方程的应用，解题的关键是能够根据直线的解析式确定直线与两坐标轴的交点，从而求得有关的线段的长，注意分类讨论，难度不大．
20、 (1)；(2)证明见解析.
【分析】（1）根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得AB的长度，根据30°所对的直角边等于斜边的一半可得BC的长度，最后根据勾股定理可得AC的长度，计算出周长即可；
（2）如图所示添加辅助线，由（1）可得ΔBCM是等边三角形，可证ΔBCP≌ΔCMN，进而证明ΔBPF≌ΔDCF，根据E是MD中点，得出，根据BPMC，得出，进而得出3EF=2MF即可．
【详解】解：(1) 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M是AB边的中点，
∴
∴AB=2MC=，
又∵∠A=30°，
∴
由勾股定理可得，
∴△ABC的周长为++6=
(2)过点B作BPMC于P
∵∠ACB=90°，∠A=30° ，
∴
∵M为AB的中点 ，
∴
∴
∵∠ABC=60°
∴ΔBCM是等边三角形
∴∠CBP=∠MCN=30°,BC=CM
∴在ΔBCP与ΔCMN中
∴ΔBCP≌ΔCMN(AAS)
∴BP=CN ∵ CN=CD ∴BP=CD
∵∠BPF=∠DCF=90°
∠BFP=∠DFC
∴ΔBPF≌ΔDCF
∴PF=FC BF=DF
∵E是MD中点，
∴
∵BPMC，
∴
∴，
∴
∴
【点睛】
本题考查含30°直角三角形的性质、全等三角形的性质与判定、旋转的性质，解题的关键是能够综合运用上述几何知识进行推理论证．
21、（1）DE=2cm；（2）这个过程中，点E滑动的距离（18-6）cm．
【解析】（1）如图1中，作DH⊥BE于H．求出DH，BH即可解决问题．
（2）解直角三角形求出BE即可解决问题．
【详解】（1）如图1中，作DH⊥BE于H．
在Rt△BDH中，∵∠DHB=90°，BD=4cm，∠ABC=30°，
∴DH=BD=2（cm），BH=DH=6（cm），
∵AB=CB=20cm，AE=2cm，
∴EH=20-2-6=12（cm），
∴DE===2（cm）．
（2）在Rt△BDE中，∵DE=2，BD=4，∠DBE=90°，
∴BE==6（cm），
∴这个过程中，点E滑动的距离（18-6）cm．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识．
22、（1）（2）．
【分析】（1）根据总共三种，A只有一种可直接求概率；
（2）列出其树状图，然后求出能出现的所有可能，及符合条件的可能，根据概率公式求解即可．
【详解】解： (1)甲投放的垃圾恰好是A类的概率是．
(2)列出树状图如图所示：
由图可知，共有18种等可能结果，其中乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的结果有12种．
所以， (乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类)．
即，乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率是．
23、（1）；（2）①3；②或
【分析】（1）根据直线解析式求出点C坐标，再用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）①过点P作轴于点F，交DC于点E，用t表示出点P和点E的坐标，的面积用表示，求出最大值；
②分两种情况进行讨论，或，都是去构造相似三角形，利用对应边成比例列式求出t的值，得到点P的坐标．
【详解】解：（1）令，则，求出，
将A、B、C的坐标代入抛物线解析式，得，解得，
∴；
（2）①如图，过点P作轴于点F，交DC于点E，
设点P的坐标是，则点E的纵坐标为，
将代入直线解析式，得，
∴点E坐标是，
∴，
∴，
∴面积的最大值是3；
②是以CD为直角边的直角三角形分两种情况，
第一种，，如图，过点P作轴于点G，
则，
∴，即，
整理得，解得，（舍去），
∴；
第二种，，如图，过点P作轴于点H，
则，
∴，即，
整理得，解得，（舍去），
∴，
综上，点P的坐标是或．
【点睛】
本题考查二次函数的综合，解题的关键是掌握待定系数法求解析式的方法，三角形面积的表示方法以及构造相似三角形利用数形结合的思想求点坐标的方法．
24、（1）；（2）矩形移动的距离为时，矩形与△CBD重叠部分的面积是；（3）
【解析】分析：（1）根据已知，由直角三角形的性质可知AB=2，从而求得AD，CD，利用中位线的性质可得EF，DF，利用三角函数可得GF，由矩形的面积公式可得结果；
（2）首先利用分类讨论的思想，分析当矩形与△CBD重叠部分为三角形时（0＜x≤），利用三角函数和三角形的面积公式可得结果；当矩形与△CBD重叠部分为直角梯形时（＜x≤），列出方程解得x；
（3）作H2Q⊥AB于Q，设DQ=m，则H2Q＝m，又DG1＝，H2G1＝，利用勾股定理可得m，在Rt△QH2G1中，利用三角函数解得cosα．
详解：（1）如图①，
在中，
∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，∴AB=2,
又∵D是AB的中点，∴AD=1，．
又∵EF是的中位线，∴，
在中，AD=CD, ∠A=60°,
∴∠ADC=60°．
在中,60°，
∴矩形EFGH的面积．
（2）如图②，设矩形移动的距离为则，
当矩形与△CBD重叠部分为三角形时，
则，
， ∴．（舍去）．
当矩形与△CBD重叠部分为直角梯形时，则，
重叠部分的面积S=, ∴．
即矩形移动的距离为时，矩形与△CBD重叠部分的面积是．
（3）如图③，作于．
设，则，又，．
在Rt△H2QG1中， ，
解之得（负的舍去）．
∴．
点睛：本题主要考查了直角三角形的性质，中位线的性质和三角函数定义等，利用分类讨论的思想，构建直角三角形是解答此题的关键．
25、（1）见解析；（2）．
【分析】（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果；
（2）利用，的值确定满足的个数，根据概率公式求出该事件的概率．
【详解】解：（1）所有可能情况如下表，且它们的可能性相
n
m
2
3
4
1
（1，2）
（1，3）
（1，4）
2
（2，2）
（2，3）
（2，4）
3
（3，2）
（3，3）
（3，4）
由列表知，（m，n）有9种可能；
（2）由（1）知，所有可能情况有9种，其中满足y＝的有（2，3）和（3，2）两种，
∴点A（m，n）在函数y＝的图象上的概率为．
【点睛】
本题考查了列表法求概率，反比例函数图象上点的坐标特点．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
26、 (1)图见解析，A1(-1，3)；(2)图见解析，A2(3，-3).
【分析】（1）依据平移的性质画出△A1B1C1图象，写出A1坐标即可；
（2）依据旋转的性质确定出点A2、B2、C2，连线画出△A2B2C2，表达出A2坐标即可．
【详解】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求，A1(-1，3)
（2）如图所示：△A2B2C2为所求，A2(3，-3)，
【点睛】
本题考查了作图——旋转变换及平移变换，解题的关键是能够理解平移及旋转的性质，找出平移或旋转后的对应点．
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