资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．把分式中的、都扩大倍，则分式的值（ ）
A．扩大倍 B．扩大倍 C．不变 D．缩小倍
2．在中，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则下列等式正确的是( )
A．sinA= B．cosA= C．tanA= D．cosA=
4．已知x1，x2是一元二次方程x2－2x－1＝0的两根，则x1＋x2－x1·x2的值是（ ）
A．1 B．3 C．－1 D．－3
5．如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图为（ ）．
A． B． C． D．
6．已知甲、乙两地相距100（km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间（t）与行驶速度v（km/h）的函数关系图象大致是（ ）．
A． B． C． D．
7．二次函数y=ax1+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(-4，0)，对称轴为直线x=-1，下列结论：
①abc>0；
②1a-b=0；
③一元二次方程ax1+bx+c=0的解是x1=-4，x1=1；
④当y>0时，-4<x<1．
其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．1个 D．1个
8．如图，将直尺与含30°角的三角尺放在一起，若∠1＝25°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
9．二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是（ ）
A．50° B．60° C．80° D．100°
11．方程x=x(x-1)的根是（ ）
A．x=0 B．x=2 C．x1=0，x2=1 D．x1=0，x2=2
12．如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，将矩形沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE交AD于点F，则BF的长为________.
14．已知如图，中，，点在上，，点、分别在边、上移动，则的周长的最小值是__________．
15．计算：__________.
16．四边形ABCD是☉O的内接四边形，，则的度数为____________.
17．如图所示，个边长为1的等边三角形，其中点，，，，…在同一条直线上，若记的面积为，的面积为，的面积为，…，的面积为，则______.
18．在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移2个单位后顶点坐标为_______．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF、EO，若DE＝2，∠DPA＝45°．
（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．
20．（8分）如图，PB与⊙O相切于点B，过点B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连结PA，AO，AO的延长线交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．
（1）求证：PA是⊙O的切线;
（2）若tan∠BAD=， 且OC=4，求PB的长.
21．（8分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF，
（1）求证：AF=DC；
（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
22．（10分）根据学习函数的经验，探究函数y＝x2+ax﹣4|x+b|+4（b＜0）的图象和性质：
（1）下表给出了部分x，y的取值；
x
L
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
L
y
L
3
0
﹣1
0
3
0
﹣1
0
3
L
由上表可知，a＝ ，b＝ ；
（2）用你喜欢的方式在坐标系中画出函数y＝x2+ax﹣4|x+b|+4的图象；
（3）结合你所画的函数图象，写出该函数的一条性质；
（4）若方程x2+ax﹣4|x+b|+4＝x+m至少有3个不同的实数解，请直接写出m的取值范围．
23．（10分）已知：如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点E，AD=DC，DC2=DE•DB，求证：
（1）△BCE∽△ADE；
（2）AB•BC=BD•BE．
24．（10分）如图，在四边形中，，点为的中点，．
（1）求证：∽；
（2）若，，求线段的长．
25．（12分）专卖店销售一种陈醋礼盒，成本价为每盒40元．如果按每盒50元销售，每月可售出500盒；若销售单价每上涨1元，每月的销售量就减少10盒．设此种礼盒每盒的售价为x元（50＜x＜75），专卖店每月销售此种礼盒获得的利润为y元．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）专卖店计划下月销售此种礼盒获得8000元的利润，每盒的售价应为多少元？
（3）专卖店每月销售此种礼盒的利润能达到10000元吗？说明理由．
26．某商场销售一种成本为每件元的商品，销售过程中发现，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系可近似看作一次函数．商场销售该商品每月获得利润为（元）．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）如果商场销售该商品每月想要获得元的利润，那么每件商品的销售单价应为多少元？
（3）商场每月要获得最大的利润，该商品的销售单价应为多少？
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】依据分式的基本性质进行计算即可．
【详解】解：∵a、b都扩大3倍，
∴
∴分式的值不变．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查的是分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
2、A
【分析】根据勾股定理求出AB，根据余弦的定义计算即可．
【详解】由勾股定理得，，
则，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦是解题的关键．
3、B
【分析】利用勾股数求出BC=4，根据锐角三角函数的定义，分别计算∠A的三角函数值即可．
【详解】解：如图所示：
∵∠C=90°，AB=5，AC=3，
∴BC=4，
∴sinA=，故A错误；
cosA=，故B正确；
tanA=，故C错误；
cosA=，故D错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义，勾股数的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
4、B
【分析】直接根据根与系数的关系求解．
【详解】由题意知：，，
∴原式＝2－（－1）＝3
故选B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则，．
5、A
【分析】根据几何体的三视图解答即可.
【详解】根据立体图形得到：
主视图为：，
左视图为：，
俯视图为：，
故答案为：A.
【点睛】
此题考查小正方体组成的几何体的三视图，解题的关键是掌握三视图的视图角度及三视图的画法.
6、C
【分析】根据题意写出t与v的关系式判断即可.
【详解】根据题意写出t与v的关系式为，故选C.
【点睛】
本题是对反比例函数解析式和图像的考查，准确写出解析式并判断其图像是解决本题的关键.
7、B
【分析】根据抛物线的图象与性质（对称性、与x轴、y轴的交点）逐个判断即可．
【详解】∵抛物线开口向下
∵对称轴
同号，即
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方
，则①正确
∵对称轴
，即，则②正确
∵抛物线的对称轴，抛物线与x轴的一个交点是
∴由抛物线的对称性得，抛物线与x轴的另一个交点坐标为，从而一元二次方程的解是，则③错误
由图象和③的分析可知：当时，，则④正确
综上，正确的结论有①②④这3个
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质，熟记函数的图象与性质是解题关键．
8、C
【分析】通过三角形外角的性质得出∠BEF＝∠1+∠F，再利用平行线的性质∠2＝∠BEF即可.
【详解】
∵∠BEF是△AEF的外角，∠1＝25°，∠F＝30°，
∴∠BEF＝∠1+∠F＝55°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠BEF＝55°，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质及三角形外角的性质，掌握三角形外角的性质及平行线的性质是解题的关键.
9、D
【分析】由一次函数y=ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（-1，0），即可排除A、B，然后根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象进行判断．
【详解】解：由一次函数可知，一次函数的图象与轴交于点，排除；当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三、四象限，当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除；
故选．
【点睛】
本题主要考查一次函数和二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和一次函数的图象与系数之间的关系．
10、D
【分析】首先圆上取一点A，连接AB，AD，根据圆的内接四边形的性质，即可得∠BAD+∠BCD=180°，即可求得∠BAD的度数，再根据圆周角的性质，即可求得答案．
【详解】圆上取一点A，连接AB，AD，
∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，
∴∠BAD=50°，
∴∠BOD=100°.
故选D．
【点睛】
此题考查了圆周角的性质与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
11、D
【详解】解：先移项，再把方程左边分解得到x（x﹣1﹣1）=0，
原方程化为x=0或x﹣1﹣1=0，
解得：x1=0； x2=2
故选D．
【点睛】
本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧进行计算是解题关键．
12、C
【分析】由∠A是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A与B正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得D正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
【详解】∵∠A是公共角，
∴当∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相似），故A与B正确，不符合题意要求；
当AB：AD=AC：AB时，△ADB∽△ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故D正确，不符合题意要求；
AB：BD=CB：AC时，∠A不是夹角，故不能判定△ADB与△ABC相似，故C错误，符合题意要求，
故选C．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、5
【解析】由翻折的性质可以知道,由矩形的性质可以知道: ,从而得到,于是,故此BF=DF,在中利用勾股定理可求得BF的长.
【详解】由折叠的性质知,CD=ED,BE=BC.
四边形ABCD是矩形,
在和中,
,
,
;
设BF=x,则DF=x,AF=8-x,
在中,可得: ,即,
计算得出:x=5,
故BF的长为5.
因此，本题正确答案是:5
【点睛】
本题考查了折叠的性质折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等，也考查了勾股定理,矩形的性质.
14、
【分析】作P关于AO,BO的对称点E,F，连接EF与OA，OB交于MN,此时△PMN周长最小；连接OE,OF,作OG⊥EF,利用勾股定理求出EG，再根据等腰三角形性质可得EF.
【详解】作P关于AO,BO的对称点E,F，连接EF与OA，OB交于MN,此时△PMN周长最小；连接OE,OF,作OG⊥EF
根据轴对称性质：PM=EM,PN=NF,OE=OP,
OE=OF=OP=10,
∠EOA=∠AOP,∠BOF=∠POB
∵∠AOP+∠POB=60°
∴∠EOF=60°×2=120°
∴∠OEF=
∵OG⊥EF
∴OG=OE=
∴EG=
所以EF=2EG=10
由已知可得△PMN的周长=PM+MN+PN=EF=10
故答案为：10
【点睛】
考核知识点：轴对称，勾股定理.根据轴对称求最短路程，根据勾股定理求线段长度是关键.
15、
【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、二次根式化简三个考点，在计算时需要针对每个考点分别进行计算，然后再进行加减运算即可.
【详解】3-4-1=-2.
故答案为：-2.
【点睛】
本题考查的是实数的运算能力，注意要正确掌握运算顺序及运算法则.
16、130°
【分析】根据圆内接四边形的对角互补，得∠ABC=180°-∠D=130°．
【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,
∴∠ABC+∠D=180°,
∵∠D=50°,
∴∠ABC=180°-∠D=130°．
故答案为：130°．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质，圆内接四边形对角互补．
17、
【分析】由n+1个边长为1的等边三角形有一条边在同一直线上，则B,B1，B2，B3，…Bn在一条直线上，可作出直线BB1．易求得△ABC1的面积，然后由相似三角形的性质，易求得S1的值，同理求得S2的值，继而求得Sn的值．
【详解】如图连接BB1，B1B2，B2B3；
由n+1个边长为1的等边三角形有一条边在同一直线上，则B,B1, B2，B3，…Bn在一条直线上．
∴S△ABC1=×1×=
∵B B1∥AC1，
∴△ BD1B1∽ △ AC1D1，△BB1C1为等边三角形
则C1D1=BD1=；，△C1B1D1中C1D1边上的高也为；
∴S1=××=；
同理可得；
则=,
∴S2=××=；
同理可得：；
∴=，
Sn=××=．
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定与性质以及等边三角形的性质．此题难度较大，属于规律性题目，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
18、
【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．
【详解】解：y=（x+5）（x-3）=（x+1）2-16，顶点坐标是（-1，-16）．
所以，抛物线y=（x+5）（x-3）向左平移2个单位长度后的顶点坐标为（-1-2，-16），即（-3，-16），
故答案为：（-3，-16）
【点睛】
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
三、解答题（共78分）
19、（1）；（2）π﹣．
【分析】（1）根据垂径定理得CE的长，再根据已知DE平分AO得CO＝AO＝OE，根据勾股定理列方程求解．
（2）先求出扇形的圆心角，再根据扇形面积和三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：（1）连接OF，
∵直径AB⊥DE，
∴CE＝DE＝1．
∵DE平分AO，
∴CO＝AO＝OE．
设CO＝x，则OE＝2x．
由勾股定理得：12+x2＝（2x）2．
x＝．
∴OE＝2x＝．
即⊙O的半径为．
（2）在Rt△DCP中，
∵∠DPC＝45°，
∴∠D＝90°﹣45°＝45°．
∴∠EOF＝2∠D＝90°．
∴S扇形OEF＝＝π．
∵∠EOF＝2∠D＝90°，OE＝OF＝
SRt△OEF＝＝．
∴S阴影＝S扇形OEF﹣SRt△OEF＝π﹣．
【点睛】
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了扇形的面积公式、圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．
20、（1）证明见解析（2）PB=3
【分析】（1）通过证明△PAO≌△PBO可得结论；
（2）根据tan∠BAD=，且OC=4，可求出AC=6，再证得△PAC∽△AOC，最后利用相似三角形的性质以及勾股定理求得答案．
【详解】解：（1）连结OB，则OA=OB，如图1，
∵OP⊥AB，
∴AC=BC，
∴OP是AB的垂直平分线，
∴PA=PB，
在△PAO和△PBO中，
∵ ，
∴△PAO≌△PBO（SSS），
∴∠PBO=∠PAO，
∵PB为⊙O的切线，B为切点，
∴PB⊥OB，
∴∠PBO=90°，
∴∠PAO=90°，即PA⊥OA，
∴PA是⊙O的切线；
（2）∵在Rt△AOC中，tan∠BAD=tan∠CAO=，且OC=4，
∴AC=6，则BC=6，
∴，
在Rt△APO中，AC⊥OP，
易得△PAC∽△AOC，
∴，即AC2=OC•PC，
∴PC=9，
∴OP=PC+OC=13，
在Rt△PBC中，由勾股定理，得PB=．
【点睛】
此题考查了切线的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质，考查的知识点较多，关键是熟练掌握一些基本性质和定理，在解答综合题目时能灵活运用．
21、（1）见解析（2）见解析
【分析】（1）根据AAS证△AFE≌△DBE，推出AF=BD，即可得出答案．
（2）得出四边形ADCF是平行四边形，根据直角三角形斜边上中线性质得出CD=AD，根据菱形的判定推出即可．
【详解】解：（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE．
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE=DE，BD=CD．
在△AFE和△DBE中，
∵∠AFE=∠DBE，∠FEA=∠BED， AE=DE，
∴△AFE≌△DBE（AAS）
∴AF=BD．
∴AF=DC．
（2）四边形ADCF是菱形，证明如下：
∵AF∥BC，AF=DC，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵AC⊥AB，AD是斜边BC的中线，
∴AD=DC．
∴平行四边形ADCF是菱形
22、（1）﹣1，﹣1；（1）详见解析；（3）函数关于x＝1对称；（4）0＜m＜1．
【分析】（1）将点（0，0）、（1，3）代入函数y＝x1+ax﹣4|x+b|+4，得到关于a、b的一元二次方程，解方程组即可求得；
（1）描点法画图即可；
（3）根据图象即可得到函数关于x＝1对称；
（4）结合图象找，当x＝﹣1时，y＝﹣1；当x＝1，y＝3；则当0＜m＜1时，方程x1+ax﹣4|x+b|+4＝x+m至少有3个不同的实数解．
【详解】解：（1）将点（0，0）、（1，3）代入函数y＝x1+ax﹣4|x+b|+4（b＜0），得 ，
解得a＝﹣1，b＝﹣1，
故答案为﹣1，﹣1；
（1）画出函数图象如图：
（3）该函数的一条性质：函数关于x＝1对称；
（4）∵方程x1+ax﹣4|x+b|+4＝x+m至少有3个不同的实数解
∴二次函数y=x1+ax﹣4|x+b|+4的图像与一次函数y＝x+m至少有三个交点，
根据一次函数图像的变化趋势，
∴当0＜m＜1时，方程x1+ax﹣4|x+b|+4＝x+m至少有3个不同的实数解，
故答案为0＜m＜1．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合应用，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．
23、（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）由∠DAC=∠DCA，对顶角∠AED=∠BEC，可证△BCE∽△ADE．
（2）根据相似三角形判定得出△ADE∽△BDA，进而得出△BCE∽△BDA，利用相似三角形的性质解答即可．
【详解】证明：（1）∵AD=DC，
∴∠DAC=∠DCA，
∵DC2=DE•DB，
∴=，∵∠CDE=∠BDC，
∴△CDE∽△BDC，
∴∠DCE=∠DBC，
∴∠DAE=∠EBC，
∵∠AED=∠BEC，
∴△BCE∽△ADE，
（2）∵DC2=DE•DB，AD=DC
∴AD2=DE•DB，
同法可得△ADE∽△BDA，
∴∠DAE=∠ABD=∠EBC，
∵△BCE∽△ADE，
∴∠ADE=∠BCE，
∴△BCE∽△BDA，
∴=，
∴AB•BC=BD•BE．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．
24、（1）见解析；（2）1．
【分析】（1）由得出，从而有，等量代换之后有，再加上即可证明相似；
（2）由相似三角形的性质可求出AE的长度，进而求出AB的长度，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，得出，从而求出CF的长度，最后利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）
（2）过点D作DF⊥BC于点F
∵点为的中点
∵，，
，DF⊥BC
∴四边形ABFD是矩形
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定方法及性质是解题的关键．
25、（1）y=－11x2＋1411x－41111；（2）销售价应定为61元/盒．（3）不可能达到11111元．理由见解析
【分析】（1）根据题意用x表示销售商品的件数，则利润等于单价利润乘以件数．
（2）根据此种礼盒获得8111元的利润列出一元二次方程求解，再进行取舍即可；
（3）得出相应的一元二次方程，判断出所列方程是否有解即可．
【详解】解：（1）y=(x－41)[511－11(x－51)]，
整理，得y=－11x2＋1411x－41111；
（2）由题意得y=8111，即－11x2＋1411x－41111=8111，
化简，得x2－141x＋4811=1．
解得，x1＝61，x2＝81（不符合题意，舍去）．
∴x＝61．
答：销售价应定为61元/盒．
（3）不可能达到11111元．理由如下：
当y=11111时，得－11x2＋1411x－41111=11111．
化简，得x2－141x＋5111=1．
△＝（-141）2-4×1×5111＜1，原方程无实数解．
∴该专卖店每月销售此种礼盒的利润不可能达到11111元．
【点睛】
解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．注意售价、进价、利润、销售量之间的数量关系．
26、（1）；（2）销售单价应为元或元；（3）定价每件元时，每月销售新产品的利润最大．
【分析】（1）根据：月利润=（销售单价-成本价）×销售量，从而列出关系式；
（2）令w=2000，然后解一元二次方程，从而求出销售单价；
（3）把（1）中得到的解析式及配方，利用二次函数的性质解答即可．
【详解】（1），
（2）由题意得，，
解得：，，
∴每月想要获得元的利润，销售单价应为元或元．
（3），
∵，∴当时，有最大值，
答：定价每件元时，每月销售新产品的利润最大．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，销售问题的数量关系：利润=每件利润×销售量的运用，二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数的性质，解答时求出函数的解析式是关键．
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