资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，在平面直角坐标系中，将绕着旋转中心顺时针旋转，得到，则旋转中心的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
2．若x＝2是关于x的一元二次方程x2﹣ax＝0的一个根，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
3．把二次函数化为的形式是
A． B．
C． D．
4．下列方程式属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，若干个半径为1的单位长度，圆心角为60°的扇形组成一条连续的曲线，点P从原点O出发，向右沿这条曲线做上下起伏运动(如图)，点P在直线上运动的速度为每1个单位长度．点P在弧线上运动的速度为每秒个单位长度，则2019秒时，点P的坐标是( )
A． B．
C． D．
6．如图，平行四边形的顶点，在轴上，顶点在上，顶点在上，则平行四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．下列事件中是必然发生的事件是（ ）
A．抛两枚均匀的硬币，硬币落地后，都是正面朝上
B．射击运动员射击一次，命中十环
C．在地球上，抛出的篮球会下落
D．明天会下雨
8．在中，，，，则直角边的长是（ ）
A． B． C． D．
9．一个不透明的盒子装有个除颜色外完全相同的球，其中有4个白球.每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过如此大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.2左右，则的值约为（ ）
A．8 B．10 C．20 D．40
10．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．若将方程x2+6x=7化为(x+m)2=16,则m=______.
12．甲、乙两个篮球队队员身高的平均数都为2.07米，方差分别是、，且，则队员身高比较整齐的球队是_____．
13．如图，将边长为4的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，当两个三角形重叠部分的面积为3时，则的长为_________．
14．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点(1，0)作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标为_________.
15．如图，是的直径，点和点是上位于直径两侧的点，连结，，，，若的半径是，，则的值是_____________．
16．在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交均价由去年10月份的7000元/m2下降到12月份的5670元/m2，则11、12两月平均每月降价的百分率是_____．
17．已知关于x的一元二次方程(k－1)x2＋x＋k2－1＝0有一个根为0，则k的值为________．
18．已知线段，点是它的黄金分割点，，设以为边的正方形的面积为，以为邻边的矩形的面积为，则与的关系是__________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P是第一象限抛物线上的一个动点，连接CP交x轴于点E，过点P作PK∥x轴交抛物线于点K，交y轴于点N，连接AN、EN、AC，设点P的横坐标为t，四边形ACEN的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F是PC中点，过点K作PC的垂线与过点F平行于x轴的直线交于点H，KH＝CP，点Q为第一象限内直线KP下方抛物线上一点，连接KQ交y轴于点G，点M是KP上一点，连接MF、KF，若∠MFK＝∠PKQ，MP＝AE+GN，求点Q坐标．
20．（6分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，BD＝AD＝AC，E为CD的中点．若∠B＝35°，求∠CAE度数.
21．（6分）综合与实践：
操作与发现：
如图，已知A，B两点在直线CD的同一侧，线段AE，BF均是直线CD的垂线段，且BF在AE的右边，AE＝2BF，将BF沿直线CD向右平移，在平移过程中，始终保持∠ABP＝90°不变，BP边与直线CD相交于点P，点G是AE的中点，连接BG．
探索与证明：求证：
（1）四边形EFBG是矩形；
（2）△ABG∽△PBF．
22．（8分）如图，AB=3AC，BD=3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．求证：△ABD∽△CAE
23．（8分）某商场经销种高档水果 ，原价每千克元，连续两次降价后每千克元，若每次下降的百分率相同求每次下降的百分率
24．（8分）如图，分别以△ABC的边AC和BC为腰向外作等腰直角△DAC和等腰直角△EBC，连接DE.
（1）求证：△DAC∽△EBC；
（2）求△ABC与△DEC的面积比．
25．（10分）如图，已知反比例函数（k1＞0）与一次函数相交于A、B两点，AC⊥x轴于点C. 若△OAC的面积为1，且tan∠AOC＝2 .
（1）求出反比例函数与一次函数的解析式；
（2）请直接写出B点的坐标，并指出当x为何值时，反比例函数y1的值大于一次函数y2的值.
26．（10分）先化简，再求值：(x－1)÷(x－),其中x =+1
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，可知旋转中心一定在任何一对对应点所连线段的垂直平分线上，由图形可知，线段OC与BE的垂直平分线的交点即为所求．
【详解】∵绕旋转中心顺时针旋转90°后得到，
∴O、B的对应点分别是C、E，
又∵线段OC的垂直平分线为y=1，
线段BE是边长为2的正方形的对角线，其垂直平分线是另一条对角线所在的直线，
由图形可知，线段OC与BE的垂直平分线的交点为（1，1）．
故选C．
【点睛】
本题考查了旋转的性质及垂直平分线的判定．
2、C
【分析】将x=2代入原方程即可求出a的值．
【详解】将x＝2代入x2﹣ax＝0，
∴4﹣2a＝0，
∴a＝2，
故选：C．
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
3、B
【分析】利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【详解】原式＝（x2＋4x−4）
＝（x2＋4x＋4−8）
＝（x＋2）2−2
故选：B．
【点睛】
此题考查了二次函数一般式与顶点式的转换，解答此类问题时只要把函数式直接配方即可求解．
4、D
【解析】根据一元二次方程的定义逐项进行判断即可.
【详解】A、是一元三次方程，故不符合题意；
B、是分式方程，故不符合题意；
C、是二元二次方程，故不符合题意；
D、是一元二次方程，符合题意.
故选：D.
【点睛】
本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握定义是关键.
5、B
【分析】设第n秒运动到Pn(n为自然数)点，根据点P的运动规律找出部分Pn点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“P4n+1( ，)，P4n+2(n+1，0)，P4n+3(，﹣)，P4n+4(2n+2，0)”，依此规律即可得出结论．
【详解】解：设第n秒运动到Pn(n为自然数)点，
观察，发现规律：P1(，)，P2(1，0)，P3(，﹣)，P4(2，0)，P5(，)，…，
∴P4n+1(，)，P4n+2(n+1，0)，P4n+3(，﹣)，P4n+4(2n+2，0)．
∵2019＝4×504+3，
∴P2019为(，﹣)，
故答案为B．
【点睛】
本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出变化规律并根据规律找出点的坐标．
6、D
【分析】先过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CD⊥y轴于点D，再根据反比例函数系数k的几何意义，求得△ABE的面积=△COD的面积相等=|k2|，△AOE的面积=△CBD的面积相等=|k1|，最后计算平行四边形的面积．
【详解】解：过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CD⊥y轴于点D，
根据∠AEB=∠CDO=90°，∠ABE=∠COD，AB=CO可得：△ABE≌△COD（AAS），
∴S△ABE与S△COD相等，
又∵点C在的图象上，
∴S△ABE=S△COD =|k2|，
同理可得：S△AOE =S△CBD =|k1|，
∴平行四边形OABC的面积=2（|k2|+|k1|）=|k2|+|k1|=k2-k1，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
7、C
【解析】试题分析：A．抛两枚均匀的硬币，硬币落地后，都是正面朝上是随机事件，故A错误；
B．射击运动员射击一次，命中十环是随机事件，故B错误；
C．在地球上，抛出的篮球会下落是必然事件，故C正确；
D．明天会下雨是随机事件，故D错误；
故选C．
考点：随机事件．
8、B
【分析】根据余弦的定义求解．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB= ，
∴BC=10cos40°．
故选：B．
【点睛】
本题考查解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
9、C
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【详解】由题意可得，＝0.2，
解得，m＝20，
经检验m=20是所列方程的根且符合实际意义，
故选：C．
【点睛】
本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
10、A
【分析】根据中心对称图形的定义和轴对称的定义逐一判断即可.
【详解】A选项是中心对称图形,也是轴对称图形,故A符合题意;
B选项是中心对称图形,不是轴对称图形,故B不符合题意;
C选项不是中心对称图形,是轴对称图形,故C不符合题意;
D选项是中心对称图形,不是轴对称图形,故D不符合题意.
故选：A.
【点睛】
此题考查的是中心对称图形的识别和轴对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义和轴对称图形的定义是解决此题的关键.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、3
【详解】在方程x2+6x=7的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得x2+6x+32=7+32，
∴（x+3）2=16
∴m=3.
12、乙
【解析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】解：∵，
∴队员身高比较整齐的球队是乙，
故答案为：乙．
【点睛】
本题考查方差．解题关键在于知道方差是用来衡量一组数据波动大小的量
13、1或1
【分析】设AC、交于点E，DC、交于点F，且设，则，，列出方程即可解决问题．
【详解】设AC、交于点E，DC、交于点F，且设，则，，
重叠部分的面积为，
由，
解得或1．
即或1．
故答案是1或1．
【点睛】
本题考查了平移的性质、菱形的判定和正方形的性质综合，准确分析题意是解题的关键．
14、
【解析】根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8等的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“A4n+1（22n，22n+1），A4n+2（-22n+1，22n+1），A4n+3（-22n+1，-22n+2），A4n+4（22n+2，-22n+2）（n为自然数）”，依此规律结合2019=504×4+3即可找出点A2019的坐标．
【详解】解：当x=1时，y=2，
∴点A1的坐标为（1，2）；
当y=-x=2时，x=-2，
∴点A2的坐标为（-2，2）；
同理可得：A3（-2，-4），A4（4，-4），A5（4，8），A6（-8，8），A7（-8，-16），A8（16，-16），A9（16，32），…，
∴A4n+1（22n，22n+1），A4n+2（-22n+1，22n+1），
A4n+3（-22n+1，-22n+2），A4n+4（22n+2，-22n+2）（n为自然数）．
∵2019=504×4+3，
∴点A2019的坐标为（-2504×2+1，-2504×2+2），即（-21009，-21010）．
故答案为（-21009，-21010）．
【点睛】
本题考查一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的图象以及规律型中点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“A4n+1（22n，22n+1），A4n+2（-22n+1，22n+1），A4n+3（-22n+1，-22n+2），A4n+4（22n+2，-22n+2）（n为自然数）”是解题的关键．
15、
【分析】根据题意可知∠ADB=90°,∠ACD=∠ABD,求出∠ABD的正弦就是∠ACD的正弦值．
【详解】解：∵是的直径，
∴∠ADB=90°
∴∠ACD=∠ABD
∵的半径是，，
∴
故答案为：
【点睛】
本题考查的是锐角三角函数值.
16、10%
【分析】设11、12两月平均每月降价的百分率是x，那么11月份的房价为7000（1−x），12月份的房价为7000（1−x）2，然后根据12月份的价格即可列出方程解决问题．
【详解】解：设11、12两月平均每月降价的百分率是x，
由题意，得：7000（1﹣x）2＝5670，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
故答案为：10%．
【点睛】
本题是一道一元二次方程的应用题，与实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找到关键的数量关系，然后列出方程是解题的关键．
17、－1
【解析】把x=0代入方程得k2-1=0，解得k=1或k=-1，
而k-1≠0，
所以k=-1，
故答案为：-1．
18、
【分析】根据黄金分割比得出AP，PB的长度，计算出与即可比较大小．
【详解】解：∵点是AB的黄金分割点，，
∴，设AB=2，
则，
∴
∴
故答案为：．
【点睛】
本题考查了黄金分割比的应用，熟知黄金分割比是解题的关键．
三、解答题(共66分)
19、（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）S＝t2+t；（3）Q（，）．
【分析】（1）函数的表达式为：y＝（x+1）（x﹣3），即可求解；
（2）tan∠PCH＝＝＝，求出OE＝，利用S＝S△NCE+S△NAC，即可求解；
（3）证明△CNP≌△KRH，求出点P（4，5）确定tan∠QKP＝＝＝4﹣m＝tan∠QPK＝＝NG，最后计算KT＝MT＝（），FT＝4﹣（+），tan∠MFT＝＝4﹣m，即可求解．
【详解】（1）函数的表达式为：y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3；
（2）过点P作PH⊥y轴交于点H，设点P（t，t2﹣2t﹣3），
CN＝t2﹣2t﹣3+3＝t2﹣2t，
∴tan∠PCH＝＝＝，
，解得：OE＝，
S＝S△NCE+S△NAC＝AE×CN＝t2+t；
（3）过点K作KR⊥FH于点R，
∵KH＝CP，∠NCP＝∠H，∠R＝∠PNC＝90°，
∴△CNP≌△KRH，∴PN＝KR＝NS，
∵点F是PC中点，SF∥NP，
∴PN＝KR＝NS＝CN，即t＝（t2﹣2t﹣3+3），
解得：t＝0或4（舍去0），点P（4，5），
点K、P时关于对称轴的对称点，故点K（﹣2，5），
∵OE∥PN，则，故OE＝，同理AE＝，
设点Q（m，m2﹣2m﹣3），过点Q作WQ⊥KP于点W，
WQ＝5﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m+8，WK＝m+2，
tan∠QKP＝＝＝4﹣m＝tan∠QPK＝＝NG，
则NG＝8﹣2m，
MP＝AE+GN＝（8﹣2m）＝﹣m+，
KM＝KP﹣MP＝，
过点F作FL⊥KP于点L，点F（2，1），
则FL＝LK＝4，则∠LKF＝45°，
∵∠MFK＝∠PKQ，
tan∠MFK＝tan∠QKP＝4﹣m，
过点M作MT⊥FK于点T，则KT＝MT＝（），
FT＝4﹣（），
tan∠MFT＝＝4﹣m，
解得：m＝11或（舍去11），
故点Q（，）．
【点睛】
考查了二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形全等、图形的面积计算、解直角三角形等，其中（3），运用函数的观点，求解点的坐标．
20、∠CAE＝20°.
【分析】根据等边对等角求出∠BAD，从而求出∠ADC，在等腰三角形ADC中，由三线合一求出∠CAE.
【详解】
∵BD＝AD，
∴∠BAD=∠B=35°，
∴∠ADE=∠BAD＋∠B=70°，
∵AD=AC，
∴∠C=∠ADE=70°，
∵AD=AC，AE平分DC，
∴AE⊥EC，（三线合一）.
∴∠EAC=90°－∠C=20°.
【点睛】
本题的解题关键是掌握等边对等角和三线合一.
21、（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）先通过等量代换得出GE＝BF，然后由AE⊥CD，BF⊥CD得出AE∥BF，从而得到四边形EFBG是平行四边形，最后利用BF⊥CD，则可证明平行四边形EFBG是矩形；
（2）先通过矩形的性质得出∠AGB＝∠GBF＝∠BFE＝90°，然后通过等量代换得出∠ABG＝∠PBF，再加上∠AGB＝∠PFB＝90°即可证明△ABG∽△PBF．
【详解】（1）证明：∵AE⊥CD，BF⊥CD，
∴AE∥BF，
∵AE＝2BF，
∴BF＝AE，
∵点G是AE的中点，
∴GE＝AE，
∴GE＝BF，又AE∥BF，
∴四边形EFBG是平行四边形，
∵BF⊥CD，
∴平行四边形EFBG是矩形；
（2）∵四边形EFBG是矩形，
∴∠AGB＝∠GBF＝∠BFE＝90°，
∵∠ABP＝90°，
∴∠ABP﹣∠GBP＝∠GBF﹣∠GBP，
即∠ABG＝∠PBF，
∵∠ABG＝∠PBF，∠AGB＝∠PFB＝90°，
∴△ABG∽△PBF．
【点睛】
本题主要考查矩形的判定及性质，相似三角形的判定，掌握矩形的判定及性质和相似三角形的判定方法是解题的关键．
22、见解析
【分析】根据已知条件，易证得AB：AC和BD：AE的值相等，由BD∥AC，得∠EAC=∠B；由此可根据SAS判定两个三角形相似．
【详解】证明：∵，
∴
∵
∴
∴．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
23、每次下降的百分率为20%
【分析】设每次下降的百分率为a，然后根据题意列出一元二次方程，解方程即可．
【详解】解：设每次下降的百分率为a，根据题意得：
50（1－a）2＝32
解得：a＝1.8（舍去）或a＝0.2＝20%，
答：每次下降的百分率为20%，
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，读懂题意，列出方程是解题的关键．
24、（1）见解析；（2）
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质证明△DAC∽△EBC；
（2）依据△DAC∽△EBC所得条件，证明△ABC与△DEC相似，通过面积比等于相似比的平方得到结果.
【详解】（1）证明：∵△EBC是等腰直角三角形
∴BC＝BE，∠EBC＝90°
∴∠BEC＝∠BCE＝45°．
同理∠DAC＝90°，∠ADC＝∠ACD＝45°
∴∠EBC＝∠DAC＝90°，∠BCE＝∠ACD＝45°．
∴△DAC∽△EBC．
（2）解：∵在Rt△ACD中， AC2＋AD2＝CD2，
∴2AC2＝CD2
∴,
∵△DAC∽△EBC
∴＝，
∴＝，
∵∠BCE＝∠ACD
∴∠BCE－∠ACE＝∠ACD－∠ACE，即∠BCA＝∠ECD，
∵在△DEC和△ABC中，＝，∠BCA＝∠ECD，
∴△DEC∽△ABC，
∴S△ABC:S△DEC＝＝.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，以及相似三角形的面积比等于相似比的平方，解题的关键在于利用（1）中的相似推导出第二对相似三角形.
25、（1）；；（2）B点的坐标为（－2，－1）；当0＜x＜1和x＜－2时，y1＞y2.
【分析】（1）根据tan∠AOC＝＝2，△OAC的面积为1，确定点A的坐标，把点A的坐标分别代入两个解析式即可求解；
（2）根据两个解析式求得交点B的坐标，观察图象，得到当x为何值时，反比例函数y1的值大于一次函数y2的值．
【详解】解：（1）在Rt△OAC中，设OC＝m．
∵tan∠AOC＝＝2，∴AC＝2×OC＝2m．
∵S△OAC＝×OC×AC＝×m×2m＝1，∴m2＝1．∴m＝1（负值舍去）．
∴A点的坐标为（1，2）．
把A点的坐标代入中，得k1＝2．
∴反比例函数的表达式为．
把A点的坐标代入中，得k2＋1＝2，∴k2＝1．
∴一次函数的表达式．
（2）B点的坐标为（－2，－1）．
当0＜x＜1和x＜－2时，y1＞y2．
【点睛】
本题考查反比例及一次函数的的应用；待定系数法求解析式；图象的交点等，掌握反比例及一次函数的性质是本题的解题关键．
26、1+
【分析】先化简分式，然后将x 的值代入计算即可．
【详解】解：原式＝（x−1）÷，
当x＝＋1时，
原式＝．
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
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