资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，点在的边上，以原点为位似中心，在第一象限内将缩小到原来的，得到，点在上的对应点的的坐标为( )
A． B． C． D．
2．如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，则阴影区域的面积为( )
A． B． C． D．
3．如图，点在以为直径的半圆上，点为圆心，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②a+b+c＝2；③abc＜0；④a﹣b+c＜0，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠AOB＝110°，则∠ACB的度数为（ ）
A．35° B．55° C．60° D．70°
6．等腰三角形一边长为2，它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的两个实数根，则k的值是（ ）
A．8 B．9 C．8或9 D．12
7．已知2x=3y(y≠0)，则下面结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣4x+3=0的根，则该三角形的周长可以是（ ）
A．5 B．7 C．5或7 D．10
9．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，且点D，E分别是AC，AB的中点，若作半径为3的⊙C，则下列选项中的点在⊙C外的是（ ）
A．点B B．点D C．点E D．点A
10．如图，将绕点，按逆时针方向旋转120°，得到（点的对应点是点，点的对应点是点），连接.若，则的度数为（ ）
A．15° B．20 ° C．30° D．45°
11．如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A：∠C＝1：2，则∠A的度数等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．80°
12．如图，小明在打乒乓球时，为使球恰好能过网（设网高AB＝15cm），且落在对方区域桌子底线C处，已知小明在自己桌子底线上方击球，则他击球点距离桌面的高度DE为（ ）
A．15cm B．20cm C．25cm D．30cm
二、填空题（每题4分，共24分）
13．小燕抛一枚硬币10次，有7次正面朝上，当她抛第11次时，正面向上的概率为_________．
14．若，分别是一元二次方程的两个实数根，则__________．
15．在一次摸球实验中，摸球箱内放有白色、黄色乒乓球共50个，这两种乒乓球的大小、材质都相同．小明发现，摸到白色乒乓球的频率稳定在60%左右，则箱内黄色乒乓球的个数很可能是________．
16．如图，圆心都在x轴正半轴上的半圆O1，半圆O2，…，半圆On均与直线l相切，设半圆O1，半圆O2，…，半圆On的半径分别是r1，r2，…，rn，则当直线l与x轴所成锐角为30时，且r1=1时，r2017=_______.
17．某商品连续两次降低10%后的价格为a元，则该商品的原价为______．
18．如图所示的点阵中，相邻的四个点构成正方形，小球只在矩形内自由滚动时，则小球停留在阴影区域的概率为___________.
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，在中，，，，求和的长.
20．（8分）解方程或计算
（1）解方程：3y(y-1)=2(y-1)
（2）计算：sin60°cos45°＋tan30°．
21．（8分）如图，已知在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC＝8，求菱形ABCD的周长和面积．
22．（10分）如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接.
（1）若，，求的直径；
（2）若，求的度数.
23．（10分）如图，点是的内心，的延长线交于点，交的外接圆于点，连接，过点作直线，使；
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求.
24．（10分） “早黑宝”葡萄品种是我省农科院研制的优质新品种在我省被广泛种植，邓州市某葡萄种植基地2017年种植“早黑宝”100亩，到2019年“早黑宝”的种植面积达到196亩
（1）求该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率；
（2）市场查发现，当“早黑宝”的售价为20元千克时，每天售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广直传，基地决定降价促销，同时减存已知该基地“早黑宝”的平均成本价为12元/千克，若使销售“早黑宝”天获利1750元，则售价应降低多少元？
25．（12分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E，BE交AD于点F，AB＝AD．
（1）判断△FDB与△ABC是否相似，并说明理由；
（2）BC＝6，DE＝2，求△BFD的面积．
26．如图，二次函数的图象经过点与．
求a，b的值；
点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为，写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【解析】根据位似的性质解答即可.
【详解】解：∵点P（8，6）在△ABC的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC缩小到原来的，得到△A′B′C′，
∴点P在A′C′上的对应点P′的的坐标为：（4，3）．
故选A．
【点睛】
此题主要考查了位似变换，正确得出位似比是解题关键．如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，进而结合已知得出答案．
2、C
【分析】根据直角三角形的性质得到AC＝2，BC＝2，∠B＝60，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90，∠A＝30，AB＝4，
∴BC＝AB＝2，AC＝，∠B＝60，
∴阴影部分的面积＝S△ACB−S扇形BCD＝×2×2-=，
故选：C．
【点睛】
本题考查了扇形面积的计算，含30角的直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键
3、B
【分析】首先由圆的性质得出OC=OD，进而得出∠CDO=∠DCO，∠COD=70°，然后由圆周角定理得出∠CAD.
【详解】由已知，得OC=OD
∴∠CDO=∠DCO=55°
∴∠COD=180°-∠CDO-∠DCO=180°-55°-55°=70°
∵∠COD为弧CD所对的圆心角，∠CAD为弧CD所对的圆周角
∴∠CAD=∠COD=35°
故答案为B.
【点睛】
此题主要考查对圆周角定理的运用，熟练掌握，即可解题.
4、D
【分析】由抛物线的开口方向判断a与1的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与1的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】①∵抛物线与x轴有两不同的交点，
∴△＝b2﹣4ac＞1．
故①正确；
②∵抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过点（1，2），
∴代入得a+b+c＝2．
故②正确；
③∵根据图示知，抛物线开口方向向上，
∴a＞1．
又∵对称轴x＝﹣＜1，
∴b＞1．
∵抛物线与y轴交与负半轴，
∴c＜1，
∴abc＜1．
故③正确；
④∵当x＝﹣1时，函数对应的点在x轴下方，则a﹣b+c＜1，
故④正确；
综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个．
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系．会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
5、B
【分析】直接根据圆周角定理进行解答即可．
【详解】解：∵∠AOB与∠ACB是同弧所对的圆心角与圆周角，∠AOB=110°，
∴∠ACB=∠AOB=55°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
6、B
【分析】根据一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质即可求出答案．
【详解】解：①当等腰三角形的底边为2时，
此时关于x的一元二次方程x2−6x＋k＝0的有两个相等实数根，
∴△＝36−4k＝0，
∴k＝9，
此时两腰长为3，
∵2＋3＞3，
∴k＝9满足题意，
②当等腰三角形的腰长为2时，
此时x＝2是方程x2−6x＋k＝0的其中一根，
代入得4−12＋k＝0，
∴k＝8，
∴x2−6x＋8＝0
求出另外一根为：x＝4，
∵2＋2＝4，
∴不能组成三角形，
综上所述，k＝9，
故选B．
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质．
7、A
【解析】试题解析：A、两边都除以2y，得，故A符合题意；
B、两边除以不同的整式，故B不符合题意；
C、两边都除以2y，得，故C不符合题意；
D、两边除以不同的整式，故D不符合题意；
故选A．
8、B
【解析】先通过解方程求出等腰三角形两边的长，然后利用三角形三边关系确定等腰三角形的腰和底的长，进而求出三角形的周长．
本题解析：
x ²-4x+3=0
(x−3)(x−1)=0，
x−3=0或x−1=0，
所以x ₁=3,x ₂=1，
当三角形的腰为3，底为1时，三角形的周长为3+3+1=7，
当三角形的腰为1，底为3时不符合三角形三边的关系，舍去，
所以三角形的周长为7.
故答案为7.
考点：解一元二次方程-因式分解法, 三角形三边关系, 等腰三角形的性质
9、D
【分析】分别求出AC、CE、BC、CD的长，根据点与圆的位置关系的判断方法进行判断即可．
【详解】如图，连接CE，
∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC＝=3，
∵点D，E分别是AC，AB的中点，
∴CD＝AC= 2，CE＝AB=，
∵⊙C的半径为3，BC=3，，，
∴点B在⊙C上，点E在⊙C内，点D在⊙C内，点A在⊙C外，
故选：D．
【点睛】
本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是求点到圆心的距离．
10、C
【分析】根据旋转的性质得到∠BAB′=∠CAC′=120°，AB=AB′，根据等腰三角形的性质易得∠AB′B=30°，再根据平行线的性质即可得∠C′AB′=∠AB′B=30°．
【详解】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转l20°得到△AB′C′，
∴∠BAB′=∠CAC′=120°，AB=AB′，
∴∠AB′B=（180°-120°）=30°，
∵AC′∥BB′，
∴∠C′AB′=∠AB′B=30°，
∴∠CAB=∠C′AB′=30°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．
11、C
【分析】设∠A、∠C分别为x、2x，然后根据圆的内接四边形的性质列出方程即可求出结论．
【详解】解：设∠A、∠C分别为x、2x，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴x+2x＝180°，
解得，x＝60°，即∠A＝60°，
故选：C．
【点睛】
此题考查的是圆的内接四边形的性质，掌握圆的内接四边形的性质是解决此题的关键．
12、D
【分析】证明△CAB∽△CDE，然后利用相似比得到DE的长．
【详解】∵AB∥DE，
∴△CAB∽△CDE，
∴，
而BC=BE，
∴DE=2AB=2×15=30(cm)．
故选：D．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】求出一次抛一枚硬币正面朝上的概率即可．
【详解】解：∵抛硬币正反出现的概率是相同的，不论抛多少次出现正面或反面的概率是一致的，
∴正面向上的概率为．
故答案为.
【点睛】
本题考查的是概率的公式，注意抛硬币只有两种情况，每次抛出的概率都是一致的，与次数无关．
14、-3
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系的公式，代入所求式即可得解.
【详解】由题意，得
，
∴
故答案为：-3.
【点睛】
此题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握，即可解题
15、20
【解析】先设出白球的个数，根据白球的频率求出白球的个数，再用总的个数减去白球的个数即可．
【详解】设黄球的个数为x个，
∵共有黄色、白色的乒乓球50个，黄球的频率稳定在60%，
∴＝60%，
解得x＝30，
∴布袋中白色球的个数很可能是50－30＝20(个).
故答案为：20.
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.
16、
【详解】分别作O1A⊥l，O2B⊥l，O3C⊥l，如图，
∵半圆O1，半圆O2，…，半圆On与直线l相切，
∴O1A=r1，O2B=r2，O3C=r3，
∵∠AOO1=30°，
∴OO1=2O1A=2r1=2，
在Rt△OO2B中，OO2=2O2B，即2+1+r2=2r2，
∴r2=3，
在Rt△OO2C中，OO3=2O2C，即2+1+2×3++r3=2r3，
∴r3=9=32，
同理可得r4=27=33，
所以r2017=1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了从特殊到一般的方法解决规律型问题．
17、元
【分析】设商品原价为x元，则等量关系为原价=现价，根据等量关系列出方程即可求解．
【详解】设该商品的原价为x元，根据题意得
解得
故答案为元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程实际应用中的增长率问题，本剧题意列出方程是本题的关键．
18、
【分析】分别求出矩形ABCD的面积和阴影部分的面积即可确定概率.
【详解】设每相邻两个点之间的距离为a
则矩形ABCD的面积为
而利用梯形的面积公式和图形的对称性可知阴影部分的面积为
∴小球停留在阴影区域的概率为
故答案为
【点睛】
本题主要考查随机事件的概率，能够求出阴影部分的面积是解题的关键.
三、解答题（共78分）
19、，
【分析】作CD⊥AB于D．在Rt△BDC求出CD、BD，在Rt△ACD中求出AD、AC即可解决问题.
【详解】解：
如图，过点作于点，
在中，
，，
，
在中，
，∴，
，
∴.
【点睛】
本题考查解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
20、（1）y1=1 , y2=;（2）
【分析】（1）先移项，再用提公因式法解方程即可；
（2）将三角函数的对应值代入计算即可.
【详解】（1）3y(y-1)=2(y-1)，
，
（3y-2）（y-1）=0，
y1=1 , y2=；
（2）sin60°cos45°＋tan30°，
，
=.
【点睛】
此题考查计算能力，（1）是解方程，解方程时需根据方程的特点选择适合的方法使计算简便；（2）是三角函数值的计算，熟记各角的三角函数值是解题的关键.
21、周长＝32，面积＝32．
【分析】由在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，可得△ABC是等边三角形，又由对角线AC＝1，即可求得此菱形的边长，进而可求出菱形的周长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的的一半即可求出其面积．
【详解】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝1．
∴菱形ABCD的周长＝4×1＝32，
∵BO＝＝4，
∴BD＝2BO＝1，
∴菱形ABCD的面积＝×1×＝32．
【点睛】
本题考查了菱形面积的计算，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键，难度一般．
22、（1）1；（2）
【分析】（1）由CD＝16，BE＝4，根据垂径定理得出CE＝DE＝8，设⊙O的半径为r，则，根据勾股定理即可求得结果；
（2）由∠M＝∠D，∠DOB＝2∠D，结合直角三角形可以求得结果；
（2）由OM＝OB得到∠B＝∠M，根据三角形外角性质得∠DOB＝∠B＋∠M＝2∠B，则2∠B＋∠D＝90°，加上∠B＝∠D，所以2∠D＋∠D＝90°，然后解方程即可得∠D的度数；
【详解】解：（1）∵AB⊥CD，CD＝16，
∴CE＝DE＝8，
设，
又∵BE＝4，
∴
∴，
解得：，
∴⊙O的直径是1．
（2）∵OM＝OB，
∴∠B＝∠M，
∴∠DOB＝∠B＋∠M＝2∠B，
∵∠DOB＋∠D＝90°，
∴2∠B＋∠D＝90°，
∵，
∴∠B＝∠D，
∴2∠D＋∠D＝90°，
∴∠D＝30°；
【点睛】
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
23、（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）首先根据三角形内心的性质得出，然后利用等弧对等角进行等量转换，得出，最后利用垂径定理即可得证；
（2）利用相似三角形的判定以及性质即可得解.
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵点是的内心，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵为半径，
∴直线是的切线；
（2）∵，
∴，
又∵（公共角），
∴，
∴，即，
∵，
∴
∴
∴．
【点睛】
此题主要考查圆的切线的证明以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握，即可解题.
24、（1）40%（2）3元
【分析】（1）设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x，根据题意得关于x的一元二次方程，解方程，然后根据问题的实际意义作出取舍即可；
（2）设售价应降低y元，根据每千克的利润乘以销售量，等于1750，列方程并求解，再结合问题的实际意义作出取舍即可．
【详解】（1）设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x，根据题意得
100（1＋x）2＝196
解得x1＝0.4＝40%，x2＝−2.4（不合题意，舍去）
答：该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为40%．
（2）设售价应降低y元，则每天可售出（200＋50y）千克
根据题意，得（20−12−y）（200＋50y）＝1750
整理得，y2−4y＋3＝0，
解得y1＝1，y2＝3
∵要减少库存
∴y1＝1不合题意，舍去，
∴y＝3
答：售价应降低3元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程在增长率问题和销售问题中的应用，根据题目正确列出方程，是解题的关键．
25、（1）相似，理由见解析；（2）．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得出BE＝CE，根据等腰三角形的性质得出∠EBC＝∠ECB，∠ABC＝∠ADB，根据相似三角形的判定得出即可；
（2）根据△FDB∽△ABC得出＝＝，求出AB＝2FD，可得AD＝2FD，DF＝AF，根据三角形的面积得出S△AFB＝S△BFD，S△AEF＝S△EFD，根据DE为BC的垂直平分线可得S△BDE=S△CDE，可求出△ABC的面积，再根据相似三角形的性质求出答案即可．
【详解】（1）△FDB与△ABC相似，理由如下：
∵DE是BC垂直平分线，
∴BE＝CE，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵AB＝AD，
∴∠ABC＝∠ADB，
∴△FDB∽△ABC．
（2）∵△FDB∽△ABC，
∴＝＝，
∴AB＝2FD，
∵AB＝AD，
∴AD＝2FD，
∴DF＝AF，
∴S△AFB＝S△BFD，S△AEF＝S△EFD，
∴S△ABC＝3S△BDE＝3××3×2＝9，
∵△FDB∽△ABC，
∴＝（）2＝（）2＝，
∴S△BFD＝S△ABC＝×9＝．
【点睛】
本题考查线段垂直平分线的性质及相似三角形的判定与性质，线段存在平分线上的点到线段两端的距离相等；熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．
26、（1）（2）最大值为1．
【分析】（1）将与代入，用待定系数法可求得；（2）过A作x轴的垂直，垂足为，连接CD、CB，过C作，轴，垂足分别为E，F，
则，关于x的函数表达式为，再求二次函数的最值即可.
【详解】解：将与代入，
得，解得：；
如图，过A作x轴的垂直，垂足为，连接CD、CB，过C作，轴，垂足分别为E，F，
；
；
，
则，
关于x的函数表达式为，
，
当时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为1．
【点睛】
本题考核知识点：二次函数与几何. 解题关键点：数形结合列出面积表达式，求二次函数的最值.
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