资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．下列图形中是中心对称图形的有( )个．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知点，如果把点绕坐标原点顺时针旋转后得到点，那么点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．在下列函数图象上任取不同两点，，一定能使成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4． “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为
A．9 B．6 C．4 D．3
5．如图，在中，为上一点，连接、，且、交于点，，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．如图，以原点O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是 上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB=α，则点P的坐标是（ ）
A．（sinα，sinα） B．（cosα，cosα） C．（cosα，sinα） D．（sinα，cosα）
7．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+a﹣1＝0没有实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a＜2 B．a＞2 C．a＜﹣2 D．a＞﹣2
8．如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标是，给出下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．如图，△ABC是一块锐角三角形材料，高线AH长8 cm，底边BC长10 cm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形DEFG的一边EF在BC上，其余两个顶点D，G分别在AB，AC上，则四边形DEFG的最大面积为( )
A．40 cm2 B．20 cm2
C．25 cm2 D．10 cm2
10．抛掷一枚质地均匀的硬币，若抛掷6次都是正面朝上，则抛掷第7次正面朝上的概率是（ ）
A．小于 B．等于 C．大于 D．无法确定
11．中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4400000000，这个数用科学记数法表示（ ）
A． B． C． D．
12．下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ）
A． B． C．， D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．点与关于原点对称，则__________．
14．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝6，D是BC上一点，CD＝2，过点D的直线l将△ABC分成两部分，使其所分成的三角形与△ABC相似，若直线l与△ABC另一边的交点为点P，则DP＝________．
15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b与反比例函数的图象相交于点和点，则关于x的不等式的解集是_____．
16．进价为元/件的商品，当售价为元/件时，每天可销售件，售价每涨元，每天少销售件，当售价为________元时每天销售该商品获得利润最大，最大利润是________元．
17．如图，在平面直角坐标系中，CO、CB是⊙D的弦，⊙D分别与轴、轴交于B、A两点，∠OCB＝60º，点A的坐标为（0，1），则⊙D的弦OB的长为____________。
18．如图，已知直线l：y＝﹣x+4分别与x轴、y轴交于点A，B，双曲线（k＞0，x＞0）与直线l不相交，E为双曲线上一动点，过点E作EG⊥x轴于点G，EF⊥y轴于点F，分别与直线l交于点C，D，且∠COD＝45°，则k＝_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）用配方法解方程：x2﹣6x＝1．
20．（8分）如图，某居民楼的前面有一围墙，在点处测得楼顶的仰角为，在处测得楼顶的仰角为，且的高度为2米，之间的距离为20米（，，在同一条直线上）.
（1）求居民楼的高度.
（2）请你求出、两点之间的距离.（参考数据：，，，结果保留整数）
21．（8分）同时抛掷两枚质地均匀的正四面体骰子，骰子各个面的点数分别是1至4的整数，把这两枚骰子向下的面的点数记为（a，b），其中第一枚骰子的点数记为a，第二枚骰子的点数记为b．
（1）用列举法或树状图法求（a，b）的结果有多少种？
（2）求方程x2+bx+a＝0有实数解的概率．
22．（10分）如图，A（4，3）是反比例函数y=在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x轴，截取AB=OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y=的图象于点P．
（1）求反比例函数y=的表达式；
（2）求点B的坐标；
（3）求△OAP的面积．
23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点P是AB上一点，且点P是弦CD的中点．
（1）依题意画出弦CD，并说明画图的依据；（不写画法，保留画图痕迹）
（2）若AP＝2，CD＝8，求⊙O的半径．
24．（10分）已知：正方形ABCD，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点D处，使三角板绕点D旋转．
（1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想CE与AF的数量关系，并加以证明；
（2）在（1）的条件下，若DE：AE：CE＝1：：3，求∠AED的度数；
（3）若BC＝4，点M是边AB的中点，连结DM，DM与AC交于点O，当三角板的边DF与边DM重合时（如图2），若OF＝，求DF和DN的长．
25．（12分）如图，已知抛物线y=－x2+mx+3与x轴交于点A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为（3，0），抛物线与直线y=－x+3交于C、D两点．连接BD、AD．
（1）求m的值．
（2）抛物线上有一点P，满足S△ABP=4S△ABD，求点P的坐标．
26．某公司经销一种成本为10元的产品，经市场调查发现，在一段时间内，销售量（件）与销售单价（ 元/件 ）的关系如下表：
15
20
25
30
550
500
450
400
设这种产品在这段时间内的销售利润为（元），解答下列问题：
（1）如是的一次函数，求与的函数关系式；
（2）求销售利润与销售单价之间的函数关系式；
（3）求当为何值时，的值最大？最大是多少？
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【解析】∵正三角形是轴对称能图形；平行四边形是中心对称图形；正五边形是轴对称图形；正六边形既是中心对称图形又是轴对称图形，
∴中心对称图形的有2个．
故选B.
2、B
【分析】连接OP，OP1，过P作PN⊥y轴于N，过P1作P1M⊥y轴于M，根据旋转的性质，证明，再根据所在的象限，即可确定点的坐标．
【详解】如图
连接OP，OP1，过P作PN⊥y轴于N，过P1作P1M⊥y轴于M
∵点绕坐标原点顺时针旋转后得到点
∴
∴
∴，
∴
∵
∴
∵
∴
∵在第四象限
∴点的坐标为
故答案为：B．
【点睛】
本题考查了坐标轴的旋转问题，掌握旋转的性质是解题的关键．
3、B
【分析】根据各函数的增减性依次进行判断即可．
【详解】A.∵k=3>0
∴y随x的增大而增大,即当x ₂﹥ x ₁时,必有y ₂﹥ y ₁.
∴当x≤0时,﹥0
故A选项不符合;
B. ∵抛物线开口向下,对称轴为直线x=1 ，
∴当x≥1时y随x的增大而减小,即当x ₂﹥ x ₁时,必有y ₂﹤ y ₁
∴当x≥1时,＜0
故B选项符合;
C. 当x>0时,y随x的增大而增大,即当x ₂﹥ x ₁时,必有y ₂﹥ y ₁.
此时﹥0
故C选项不符合;
D. ∵抛物线的开口向上,对称轴为直线x=2,
当0﹤x﹤2时y随x的增大而减小,此时当x ₂﹥ x ₁时,必有y ₂﹤ y ₁，
∴当0﹤x﹤2时,＜0
当x≥2时,y随x的增大而增大,即当x ₂﹥ x ₁时,必有y ₂﹥ y ₁，
此时﹥0
所以当x﹥0时D选项不符合．
故选: B
【点睛】
本题考查的是一次函数、反比例函数、二次函数的增减性,增减区间的划分是正确解题的关键．
4、D
【分析】已知ab＝8可求出四个三角形的面积，用大正方形面积减去四个三角形的面积得到小正方形的面积，根据面积利用算术平方根求小正方形的边长.
【详解】
故选D.
【点睛】
本题考查勾股定理的推导，有较多变形题，解题的关键是找出图形间面积关系，同时熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．
5、A
【分析】根据平行四边形得出，再根据相似三角形的性质即可得出答案.
【详解】四边形ABCD为平行四边形
故选A.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.
6、C
【解析】过P作PQ⊥OB，交OB于点Q，在直角三角形OPQ中，利用锐角三角函数定义表示出OQ与PQ，即可确定出P的坐标．
解：过P作PQ⊥OB，交OB于点Q，
在Rt△OPQ中，OP=1，∠POQ=α，
∴sinα=，cosα=，即PQ=sinα，OQ=cosα，
则P的坐标为（cosα，sinα），
故选C．
7、B
【分析】根据题意得根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【详解】∵，，，
由题意可知：
，
∴a＞2，
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程（a≠0）的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
8、C
【分析】①根据开口方向，对称轴的位置以及二次函数与y轴的交点的位置即可判断出a,b,c的正负，从而即可判断结论是否正确；
②根据对称轴为即可得出结论；
③利用顶点的纵坐标即可判断；
④利用时的函数值及a,b之间的关系即可判断；
⑤利用时的函数值，即可判断结论是否正确．
【详解】①∵抛物线开口方向向上，
．
∵对称轴为 ，
∴ ．
∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，
∴ ，
∴，故错误；
②∵对称轴为 ，
∴ ，
，故正确；
③由顶点的纵坐标得，，
∴，
∴，
∴，故正确；
④当时， ，故正确；
⑤当时， ，故正确；
所以正确的有4个，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
9、B
【解析】设矩形DEFG的宽DE=x，根据相似三角形对应高的比等于相似比列式求出DG，再根据矩形的面积列式整理，然后根据二次函数的最值问题解答即可．
【详解】如图所示：
设矩形DEFG的宽DE=x，则AM=AH-HM=8-x，
∵矩形的对边DG∥EF，
∴△ADG∽△ABC，
∴，
即，
解得DG=（8-x），
四边形DEFG的面积=（8-x）x=-（x1-8x+16）+10=-（x-4）1+10，
所以，当x=4，即DE=4时，四边形DEFG最大面积为10cm1．
故选B．
【点睛】
考查了相似三角形的应用，二次函数的最值问题，根据相似三角形的对应高的比等于相似比用矩形DEFG的宽表示出长是解题的关键．
10、B
【分析】利用概率的意义直接得出答案．
【详解】解：抛掷一枚质地均匀的硬币,正面朝上概率等于，
前6次的结果都是正面朝上，不影响下一次抛掷正面朝上概率，则第7次抛掷这枚硬币，正面朝上的概率为：，
故选：．
【点睛】
此题主要考查了概率的意义，正确把握概率的定义是解题关键．
11、C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：将4400000000用科学记数法表示为4.4×109.
故选C.
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12、A
【分析】根据一元二次方程的定义解答．
【详解】A、是一元二次方程，故A正确；
B、有两个未知数，不是一元二次方程，故B错误；
C、是分式方程，不是一元二次方程，故C正确；
D、a=0时不是一元二次方程，故D错误；
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是1．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】直接利用关于原点对称点的性质分析得出答案．
【详解】解：∵点P（-4，7）与Q（1m，-7）关于原点对称，
∴-4=-1m，
解得：m=1，
故答案为：1．
【点睛】
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号是解题关键．
14、1， ，
【分析】分别利用当DP∥AB时，当DP∥AC时，当∠CDP=∠A时，当∠BPD=∠BAC时求出相似三角形，进而得出结果．
【详解】BC＝6,CD=2，
∴BD=4,
①如图，当DP∥AB时，△PDC∽△ABC，
∴,∴,∴DP=1;
②如图，当DP∥AC时，△PBD∽△ABC．
∴,∴,∴DP=;
③如图，当∠CDP=∠A时，∠DPC∽△ABC，
∴,∴,∴DP=;
④如图，当∠BPD=∠BAC时，过点D的直线l与另一边的交点在其延长线上，，不合题意。
综上所述，满足条件的DP的值为1， ，.
【点睛】
本题考查了相似变换，利用分类讨论得出相似三角形是解题的关键，注意不要漏解．
15、-6＜x＜0或x＞2；
【解析】观察一次函数和反比例函数图象，一次函数比反比例函数高的部分就是所求.
【详解】解：本题初中阶段只能用数形结合，由图知-6＜x＜0或x＞2；
点睛：利用一次函数图象和反比例函数图象性质数形结合解不等式：
形如式不等式，构造函数，=，如果,找出比,高的部分对应的x的值,,找出比,低的部分对应的x的值.
16、55，3．
【解析】试题分析：设售价为元，总利润为元，则，∴时，获得最大利润为3元.故答案为55，3．
考点：3．二次函数的性质；3．二次函数的应用．
17、
【分析】首先连接AB，由∠AOB=90°，可得AB是直径，又由∠OAB=∠OCB=60°，然后根据含30°的直角三角形的性质，求得AB的长，然后根据勾股定理，求得OB的长．
【详解】解：连接AB，
∵∠AOB=90°，
∴AB是直径，
∵∠OAB=∠OCB=60°，
∴∠ABO=30°，
∵点A的坐标为（0，1），
∴OA=1，
∴AB=2OA=2，
∴OB=，
故选：C．
【点睛】
此题考查了圆周角定理以及勾股定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
18、1
【解析】证明△ODA∽△CDO，则OD2＝CD•DA，而则OD2＝（4﹣n）2+n2＝2n2﹣1n+16，CD＝（m+n﹣4），DA＝n，即可求解．
【详解】解：点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，4），
即：OA＝OB，∴∠OAB＝45°＝∠COD，
∠ODA＝∠ODA，∴△ODA∽△CDO，
∴OD2＝CD•DA，
设点E（m，n），则点D（4﹣n，n），点C（m，4﹣m），
则OD2＝（4﹣n）2+n2＝2n2﹣1n+16，
CD＝（m+n﹣4），DA＝n，
即2n2﹣1n+16＝（m+n﹣4）×n，
解得：mn＝1＝k，
故答案为1．
【点睛】
本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，涉及到三角形相似、一次函数等知识点，关键是通过设定点E的坐标，确定相关线段的长度，进而求解．
三、解答题（共78分）
19、x1＝3﹣，x2＝3+．
【分析】根据配方法，可得方程的解．
【详解】解：配方，得
x2﹣6x+9＝1+9
整理，得（x﹣3）2＝10，
解得x1＝3﹣，x2＝3+．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知配方法解方程.
20、（1）居民楼的高约为22米；（2）、之间的距离约为48米
【分析】（1）过点作，垂足为，设为在中及中，根据三角函数即可求得答案；
（2）方法一：在中，根据，即可求得AE的值．
方法二：在中，根据，即可求得AE的值．
【详解】（1）如图，过点作，垂足为，
∴四边形为矩形，
∴，.
设为.
在中，，
∴，
∴.
在中，，，
∵，
∴，
∴.
答：居民楼的高约为22米.
（2）方法一：由（1）可得.
在中，，
∴，
∴，
即、之间的距离约为46米.
方法二：由（1）得.
在中，，
∴，
∴，
即、之间的距离约为48米.
（注：此题学生算到46或48都算正确）
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形，得出三角函数的关系是解题的关键.
21、（1）一共有16种结果；（2）．
【分析】（1）根据题意画出树状图，得出所有等情况的结果数，再列举出来即可；
（2）先找出符合条件的结果数，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：（1）根据题意画图如下：
（a，b）的结果如下：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），一共有16种结果；
（2）易知方程是一元二次方程，其有解的条件是b2﹣4a≥0，
符合条件的（a，b）：（1，4），（2，4），（3，4），（4，4），（1，3），（2，3），（1，2）共有7种结果，
所以，此方程有解的概率是．
【点睛】
本题主要考察列表法和概率，熟练掌握计算法则是解题关键.
22、（1）反比例函数解析式为y=；（2）点B的坐标为（9，3）；（3）△OAP的面积=1．
【解析】（1）将点A的坐标代入解析式求解可得；
（2）利用勾股定理求得AB=OA=1，由AB∥x轴即可得点B的坐标；
（3）先根据点B坐标得出OB所在直线解析式，从而求得直线与双曲线交点P的坐标，再利用割补法求解可得．
【详解】（1）将点A（4，3）代入y=，得：k=12，
则反比例函数解析式为y=；
（2）如图，过点A作AC⊥x轴于点C，
则OC=4、AC=3，
∴OA==1，
∵AB∥x轴，且AB=OA=1，
∴点B的坐标为（9，3）；
（3）∵点B坐标为（9，3），
∴OB所在直线解析式为y=x，
由可得点P坐标为（6，2），（负值舍去），
过点P作PD⊥x轴，延长DP交AB于点E，
则点E坐标为（6，3），
∴AE=2、PE=1、PD=2，
则△OAP的面积=×（2+6）×3﹣×6×2﹣×2×1=1．
【点睛】
本题考查了反比例函数与几何图形综合，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征、正确添加辅助线是解题的关键.
23、（1）画图见解析，依据：平分弦（非直径）的直径垂直于弦；（2）⊙O的半径为1．
【分析】（1）过P点作AB的垂线即可，作图依据是垂径定理的推论．
（2）设⊙O的半径为r，在Rt△OPD中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】（1）过P点作AB的垂线交圆与C、D两点， CD就是所求的弦，如图．
依据：平分弦（非直径）的直径垂直于弦；
（2）如图，连接OD，
∵OA⊥CD于点P，AB是⊙O的直径，
∴∠OPD＝90°，PD＝CD，
∵CD＝8，
∴PD＝2．
设⊙O的半径为r，则OD＝r，OP＝OA﹣AP＝r﹣2，
在Rt△ODP中，∠OPD＝90°，
∴OD2＝OP2+PD2，
即r2＝（r﹣2）2+22，
解得r＝1，
即⊙O的半径为1．
【点睛】
本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
24、（1）CE＝AF，见解析；（2）∠AED＝135°；（3），.
【解析】（1）由正方形和等腰直角三角形的性质判断出△ADF≌△CDE即可；
（2）设DE=k，表示出AE，CE，EF，判断出△AEF为直角三角形，即可求出∠AED；
（3）由AB∥CD，得出，求出DM，DO，再判断出△DFN∽△DCO，得到，求出DN、DF即可．
【详解】解：（1）CE＝AF，
在正方形ABCD和等腰直角三角形CEF中，FD＝DE，CD＝AD，∠ADC＝∠EDF＝90°，
∴∠ADF＝∠CDE，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴CE＝AF；
（2）设DE＝k，
∵DE：AE：CE＝1：：3
∴AE＝k，CE＝AF＝3k，
∴EF＝k，
∵AE2+EF2＝7k2+2k2＝9k2，AF2＝9k2，
即AE2+EF2＝AF2
∴△AEF为直角三角形，
∴∠AEF＝90°
∴∠AED＝∠AEF+DEF＝90°+45°＝135°；
（3）∵M是AB的中点，
∴MA＝AB＝AD，
∵AB∥CD，
∴△MAO∽△DCO，
∴，
在Rt△DAM中，AD＝4，AM＝2，
∴DM＝2，
∴DO＝，
∵OF＝，
∴DF＝，
∵∠DFN＝∠DCO＝45°，∠FDN＝∠CDO，
∴△DFN∽△DCO，
∴，即，
∴DN＝．
【点睛】
此题是几何变换综合题，主要考查了正方形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理及其勾股定理的逆定理，判断△AEF为直角三角形是解本题的关键，也是难点．
25、（1）m=2 ；（2）P（1+，－9）或P（1－，－9）
【解析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）利用方程组首先求出点D坐标．由面积关系，推出点P的纵坐标，再利用待定系数法求出点P的坐标即可．
【详解】解：（1）∵抛物线y=-x2+mx+3过（3，0），
∴0=-9+3m+3，
∴m=2
（2）由，得，，
∴D（，-），
∵S△ABP=4S△ABD，
∴AB×|yP|=4×AB×，
∴|yP|=9，yP=±9，
当y=9时，-x2+2x+3=9，无实数解，
当y=-9时，-x2+2x+3=-9，解得：x1=1+，x2=1-，
∴P（1+，-9）或P（1-，-9）．
26、（1）；（2）；（3）当时，的值最大，最大值为9000元
【分析】（1）根据待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）根据题意列出二次函数即可求解；
（3）根据二次函数的性质即可得到最大值.
【详解】(1)设与的函数关系式为y=kx+b
把（15，550）、（20，500）代入得
解得
∴
（2）∵成本为10元，故每件利润为（x-10）
∴销售利润
（3）=
∵-10＜0，
∴当时，的值最大，最大值为9000元.
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，理解题意抓住相等关系函数解析式是解题的关键．
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