资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题（每题4分，共48分）
1．抛物线y=﹣（x+2）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（2，3） D．（﹣2，﹣3）
2．抛物线的开口方向是（ ）
A．向下 B．向上 C．向左 D．向右
3．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知，，，则的周长为
A．13 B．17 C．20 D．26
4．一元二次方程x2+x+1＝0的根的情况是（ ）．
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．以上说法都不对
5．如图，钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长m，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为m，则鱼竿转过的角度是（ ）
A．60° B．45° C．15° D．90°
6．如图，在中，，过重心作、的垂线，垂足分别为、，则四边形的面积与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
7．中，，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
8．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．0
9．要使方程是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．a≠0 B．a≠3
C．a≠3且b≠-1 D．a≠3且b≠-1且c≠0
10．如图，在中，，将△AOC绕点O顺时针旋转后得到，则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（ ）．
A． B． C． D．
11．已知二次函数y=x2+2x-m与x轴没有交点，则m的取值范围是（ ）
A．m＜-1 B．m＞-1 C．m＜-1且m≠0 D．m＞-1且m≠0
12．如果关于的方程是一元二次方程，那么的值为：（ ）
A． B． C． D．都不是
二、填空题（每题4分，共24分）
13．某游乐场新推出一个“极速飞车”的项目．项目有两条斜坡轨道以满足不同的难度需求，游客可以乘坐垂直升降电梯AB自由上下选择项目难度，其中斜坡轨道BC的坡度为，BC=米，CD=8米，∠D=36°，（其中A，B，C，D均在同一平面内）则垂直升降电梯AB的高度约为__________米．（精确到0.1米，参考数据：）
14．如图，与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，，，若点的坐标是，则点的坐标是__________，点的坐标是__________.
15．若二次函数（为常数）的最大值为3,则的值为________．
16．把二次函数变形为的形式为_________．
17．已知MAX(a，b)=a， 其中a>b 如果MAX(， 0)=0，那么 x 的取值范围为__________
18．已知函数y＝kx2﹣2x+1的图象与x轴只有一个有交点，则k的值为_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，AB是的直径，点C，D在上，且BD平分∠ABC．过点D作BC的垂线，与BC的延长线相交于点E，与BA的延长线相交于点F．
（1）求证：EF与相切：
（2）若AB=3，BD=，求CE的长．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与两坐标轴分别交于点A、B、C，直线y＝﹣x+4经过点B，与y轴交点为D，M（3，﹣4）是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）已知点N在对称轴上，且AN+DN的值最小．求点N的坐标．
（3）在（2）的条件下，若点E与点C关于对称轴对称，请你画出△EMN并求它的面积．
（4）在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、N、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（8分）为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本），该阅览室在2014年图书借阅总量是7500本，2016年图书借阅总量是10800本．
（1）求该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率；
（2）已知2016年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2017年达到1440人，如果2016年至2017年图书借阅总量的增长率不低于2014年至2016年的年平均增长率，那么2017年的人均借阅量比2016年增长a%，求a的值至少是多少？
22．（10分）如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2；
（2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，过点作轴于点，，，点的坐标为．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）是轴上一点，且是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点坐标．
24．（10分）计算：（1）；
（2）先化简，再求值．，其中a=2020；
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，连接，位于轴右侧且垂直于轴的动直线，沿轴正方向从运动到（不含点和点），且分别交抛物线、线段以及轴于点，，．连接，，，，．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，当直线运动时，求使得和相似的点点的横坐标；
（3）如图1，当直线运动时，求面积的最大值；
（4）如图2，抛物线的对称轴交轴于点，过点作交轴于点．点、分别在对称轴和轴上运动，连接、．当的面积最大时，请直接写出的最小值．
26．如图，在△ABC中，sinB=，cosC=，AB=5，求△ABC的面积．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【解析】试题分析：∵抛物线y=﹣（x+2）2﹣3为抛物线解析式的顶点式，∴抛物线顶点坐标是（﹣2，﹣3）．故选D．
考点：二次函数的性质．
2、B
【分析】抛物线的开口方向由抛物线的解析式y=ax2+bx+c（a≠0）的二次项系数a的符号决定，据此进行判断即可．
【详解】解：∵y=2x2的二次项系数a=2＞0，
∴抛物线y=2x2的开口方向是向上；
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象的开口方向．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的开口方向：当a＜0时，开口方向向下；当a＞0时，开口方向向上．
3、B
【分析】由平行四边形的性质得出，，，即可求出的周长．
【详解】四边形ABCD是平行四边形，
，，，
的周长．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，并利用性质解题平行四边形基本性质：平行四边形两组对边分别平行；平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形的两组对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分．
4、C
【分析】先计算出根的判别式的值，根据的值就可以判断根的情况．
【详解】＝b2-4ac＝1-4×1×1＝-3
∵-3＜0
∴原方程没有实数根
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程判别式的性质，从而完成求解．
5、C
【解析】试题解析：∵sin∠CAB=
∴∠CAB=45°．
∵，
∴∠C′AB′=60°．
∴∠CAC′=60°-45°=15°，
鱼竿转过的角度是15°．
故选C．
考点：解直角三角形的应用．
6、C
【分析】连接AG并延长交BC于点F，根据G为重心可知，AG=2FG，CF=BF，再证明△ADG∽△GEF，得出，设矩形CDGE中，DG=a，EG=b，用含a,b的式子将AC，BC的长表示出来，再列式化简即可求出结果．
【详解】解：连接AG并延长交BC于点F，根据G为重心可知，AG=2FG，CF=BF，
易得四边形GDCE为矩形，
∴DG∥BC，DG=CD=EG=CE，∠CDG=∠CEG=90°，
∴∠AGD=∠AFC，∠ADG=∠GEF=90°，
∴△ADG∽△GEF，
∴．
设矩形CDGE中，DG=a，EG=b，
∴AC=AD+CD=2EG+EG=3b，
BC=2CF=2(CE+EF)=2(DG+)=3a，
∴．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查重心的概念及相似的判定与性质以及矩形的性质，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的突破口，掌握基本概念和性质是解题的关键．
7、D
【分析】根据勾股定理求出BC的长度，再根据cos函数的定义求解，即可得出答案.
【详解】∵AC=，AB=4，∠C=90°
∴
∴
故答案选择D.
【点睛】
本题考查的是勾股定理和三角函数，比较简单，需要熟练掌握sin函数、cos函数和tan函数分别代表的意思.
8、D
【分析】设，则a=2k，b=3k，代入式子化简即可．
【详解】解：设，
∴a=2k，b=3k，
∴==0，
故选D.
【点睛】
本题考查比例线段，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
9、B
【分析】根据一元二次方程的定义选出正确选项．
【详解】解：∵一元二次方程二次项系数不能为零，
∴，即．
故选：B．
【点睛】
本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义．
10、B
【分析】根据旋转的性质可以得到阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积，利用扇形的面积公式即可求解．
【详解】解：
∴阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积
故选B．
【点睛】
考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，正确理解：阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积是解题关键．
11、A
【分析】函数y=x2+2x-m的图象与x轴没有交点，用根的判别式：△＜0，即可求解．
【详解】令y＝0，即：x2+2x-m＝0，
△＝b2−4ac＝4+4m＜0，
即：m＜-1，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是二次函数图象与x轴的交点，此类题目均是利用△＝b2−4ac和零之间的关系来确定图象与x轴交点的数目，即：当△＞0时，函数与x轴有2个交点，当△＝0时，函数与x轴有1个交点，当△＜0时，函数与x轴无交点．
12、C
【分析】据一元二次方程的定义得到m-1≠0且m2-7=2，然后解不等式和方程即可得到满足条件的m的值．
【详解】解：根据题意得m-1≠0且m2-7=2，
解得m=-1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、11.2
【分析】延长AB和DC相交于点E，根据勾股定理，可得CE，BE的长，根据正切函数，可得AE的长，再根据线段的和差，可得答案．
【详解】解：如图，延长AB和DC相交于点E，
由斜坡轨道BC的坡度为i=1:1，得
BE：CE=1：1．
设BE=x米，CE=1x米，
在Rt△BCE中，由勾股定理，得
BE1+CE1=BC1，
即x1+（1x）1=（11）1，
解得x=11，
即BE=11米，CE=12米，
∴DE=DC+CE=8+12=31（米），
由tan36°≈0.73，得tanD=≈0.73，
∴AE≈0.73×31=13.36（米）．
∴AB=AE-BE=13.36-11=11.36≈11.2（米）．
故答案为：11.2．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，作出辅助线构造直角三角形，利用勾股定理得出CE，BE的长度是解题关键．
14、 (2，2)
【分析】根据坐标系中，以点为位似中心的位似图形的性质可得点D的坐标，过点C作CM⊥OD于点M，根据含30°角的直角三角形的性质，可求点C的坐标．
【详解】∵与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，点的坐标是，
∴点D的坐标是(8，0)，
∵，，
∴∠D=30°，
∴OC=OD=×8=4，
过点C作CM⊥OD于点M，
∴∠OCM=30°，
∴OM=OC=×2=2，CM=OM=2，
∴点C的坐标是(2，2)．
故答案是：(2，2)；(8，0)．
【点睛】
本题主要考查直角坐标系中，位似图形的性质和直角三角形的性质，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．
15、-1
【分析】根据二次函数的最大值公式列出方程计算即可得解．
【详解】由题意得，，
整理得，，
解得：，
∵二次函数有最大值，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数的最值，易错点在于要考虑a的正负情况．
16、
【分析】利用配方法变形即可.
【详解】解：
故答案为：
【点睛】
本题考查了二次函数的的解析式，熟练掌握配方法是解题的关键.
17、0﹤x﹤1
【分析】由题意根据定义得出x2-x＜0，通过作出函数y=x2-x的图象，根据图象即可求得x的取值范围．
【详解】解：由题意可知x2-x＜0，
画出函数y=x2-x的图象如图：
由图象可知x2-x＜0的取值范围为0＜x＜1.
故答案为：0＜x＜1．
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是理解新定义并根据新定义列出关于x的不等式运用数形结合思维分析．
18、0或1．
【分析】当k＝0时，函数为一次函数，满足条件；当k≠0时，利用判别式的意义得到当△＝0时抛物线与x轴只有一个交点，求出此时k的值即可．
【详解】当k＝0时，函数解析式为y＝﹣2x+1，此一次函数与x轴只有一个交点；
当k≠0时，△＝（﹣2）2﹣4k＝0，解得k＝1，此时抛物线与x轴只有一个交点，
综上所述，k的值为0或1．
故答案为0或1．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点问题，注意要分情况讨论．
三、解答题（共78分）
19、（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）连接OD，由角平分线和等边对等角，得到，则，即可得到结论成立；
（2）连接，，，由勾股定理求出AD，然后证明，求出DE的长度，然后即可求出CE的长度.
【详解】（1）证明，如图，连接．
平分，
．
∵，
．
．
．
．
∵,
．
．
即．
与相切．
（2）如图，连接，，．
是的直径，
．
在中，．
∵，，
．
，
即．
．
∵，，，
．
．
在中，．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，切线的判定，圆周角定理等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，两小题题型都很好，都具有一定的代表性．
20、（1）y＝x2﹣6x+5；（2）N(3，)；（3）画图见解析，S△EMN＝；（4）存在，满足条件的点P的坐标为（3，﹣）或（7，）或（﹣1，）．
【分析】（1）先确定出点B坐标，最后用待定系数法即可得出结论；（2）先判断出点N是直线BC与对称轴的交点，即可得出结论；（3）先求出点E坐标，最后用三角形面积公式计算即可得出结论；（4）设出点P坐标，分三种情况利用用平行四边形的两条对角线互相平分和中点坐标公式求解即可得出结论．
【详解】解：（1）针对于直线y＝﹣x+4，
令y＝0，则0＝﹣x+4，
∴x＝5，
∴B（5，0），
∵M（3，﹣4）是抛物线的顶点，
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2﹣4，
∵点B（5，0）在抛物线上，
∴a（5﹣3）2﹣4＝0，
∴a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣3）2﹣4＝x2﹣6x+5；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝（x﹣3）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为x＝3，
∵点A，B关于抛物线对称轴对称，
∴直线y＝﹣x+4与对称轴x＝3的交点就是满足条件的点N，
∴当x＝3时，y＝﹣×3+4＝，
∴N（3，）；
（3）∵点C是抛物线y＝x2﹣6x+5与y轴的交点，
∴C（0，5），
∵点E与点C关于对称轴x＝3对称，
∴E（6，5），
由（2）知，N（3，），
∵M（3，﹣4），
∴MN＝﹣（﹣4）＝，
∴S△EMN＝MN•|xE﹣xM|＝××3＝；
（4）设P（m，n），
∵A（1，0），B（5，0），N（3，），
当AB为对角线时，AB与NP互相平分，
∴（1+5）＝（3+m），（0+0）＝（+n），
∴m＝3，n＝﹣，
∴P（3，﹣）；
当BN为对角线时，（1+m）＝（（3+5），（0+n）＝（0+），
∴m＝7，n＝，
∴P（7，）；
当AN为对角线时，（1+3）＝（5+m），（0+）＝（0+n），
∴m＝﹣1，n＝，
∴P（﹣1，），
即：满足条件的点P的坐标为（3，﹣）或（7，）或（﹣1，）．
【点睛】
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形面积公式，对称性，平行四边形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
21、（1）20%；（2）12.1．
【解析】试题分析：（1）经过两次增长，求年平均增长率的问题，应该明确原来的基数，增长后的结果．设这两年的年平均增长率为x，则经过两次增长以后图书馆有书7100（1+x）2本，即可列方程求解；
（2）先求出2017年图书借阅总量的最小值，再求出2016年的人均借阅量，2017年的人均借阅量，进一步求得a的值至少是多少．
试题解析：（1）设该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为x，根据题意得
7100（1+x）2=10800，即（1+x）2=1.44，解得：x1=0.2，x2=﹣2.2（舍去）．
答：该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为20%；
（2）10800（1+0.2）=12960（本）
10800÷1310=8（本）
12960÷1440=9（本）
（9﹣8）÷8×100%=12.1%．
故a的值至少是12.1．
考点：一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用；最值问题；增长率问题．
22、（1）t为3秒时，△BDE的面积为7.3cm3；（3）存在时间t为或秒时，使得△BDE与△ABC相似．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质求三角形BDE边BE的高即可求解；
（3）根据等腰三角形和相似三角形的判定和性质分两种情况说明即可．
【详解】解：（1）分别过点D、A作DF⊥BC、AG⊥BC，垂足为F、G
如图
∴DF∥AG，＝
∵AB＝AC＝10，BC＝11∴BG＝8，∴AG＝1．
∵AD＝BE＝t，∴BD＝10﹣t，
∴＝
解得DF＝（10﹣t）
∵S△BDE＝BE•DF＝7.3
∴（10﹣t）•t＝13
解得t＝3．
答：t为3秒时，△BDE的面积为7.3cm3．
（3）存在．理由如下：
①当BE＝DE时，△BDE与△BCA，
∴＝即＝，
解得t＝，
②当BD＝DE时，△BDE与△BAC，
＝即＝，
解得t＝．
答：存在时间t为或秒时，使得△BDE与△ABC相似．
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是动点变化过程中形成不同的等腰三角形．
23、（1），；（2）9；（3）点坐标为（0，5）或（0，-5）或（0，8）或
【分析】（1）先根据勾股定理求出OD=3，AD=4，得出点A（3，4），进而求出反比例函数解析式，再求出点B坐标，最后用待定系数法求出直线AB解析式；
（2）求出直线AB与y轴的交点坐标，再根据解答即可；
（3）设出点P坐标，进而表示出OP，AP，OA，利用等腰三角形的两边相等建立方程求解即可得出结论．
【详解】（1）∵，
∴设，则，
，
∴，
∴，，
∴点的坐标为（3，4），
∵过点，
∴，
∴，当时，，
∴点坐标为（-6，-2），
∵直线过，
∴ 解得
∴直线解析式为．
（2）如图，记直线与轴交于点，
对于，当时，，
∴点坐标为（0，2），
∴．
（3）设点P（0，m），
∵A（3，4），O（0，0），
∴OA=5，OP=|m|，AP=，
∵△AOP是等腰三角形，
∴①当OA=OP时，
∴|m|=5，
∴m=±5，
∴P（0，5）或（0，-5），
②当OA=AP时，
∴5=，
∴m=0（舍）或m=8，
∴P（0，8），
③OP=AP时，
∴|m|=，
∴m=，
∴P（0，），
即：当P点坐标为（0，8），（0，5），（0，-5）或（0，）时，△AOP是等腰三角形．
【点睛】
此题是反比例函数综合题，主要考查了勾股定理，待定系数法，等腰三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
24、（1）；（2），1．
【分析】（1）把分式方程化为整式方程，即可求解；
（2）根据分式的运算法则进行化简，再代入a即可求解．
【详解】解：（1）去分母得：
解得：
检验：当时，
∴是原分式方程的解；
（2）
=
当时，原式=1．
【点睛】
此题主要考查分式方程与分式化简求值，解题的关键是熟知其运算法则．
25、（1）；（2）；（3）；（4）1．
【分析】（1）待定系数法即可求抛物线的表达式；
（2）由得到 ，从而有，点P的纵坐标为k，则，找到P点横纵坐标之间的关系，代入二次函数的表达式中即可求出k的值，从而可求P的横坐标；
（3）先用待定系数法求出直线BC的解析式，然后设点，从而表示出，利用二次函数的性质求最大值即可；
（4）通过构造直角三角形将 转化，要使取最小值，P,H,K应该与KM共线,通过验证发现K点正好在原点，然后根据特殊角的三角函数求值即可．
【详解】（1）设抛物线的表达式为
将，， 代入抛物线的表达式中得
解得
∴抛物线的表达式为
（2）∵直线l⊥x轴
∴
∵，
∴
设点P的纵坐标为k，则
∴
将 代入二次函数表达式中，解得
或(舍去)
此时P点的横坐标为
（3）设直线BC的解析式为
将， 代入得
解得
∴直线BC的解析式为
设点
当 时，PD取最大值，最大值为
∴面积的最大值为
（4）将y轴绕G点逆时针旋转60°，作KM⊥GM于M，则 ,连接OP
要使取最小值，P,H,K应该与KM共线,此时
而此时面积的最大，点
说明此时K点正好在原点O处
即
∴的最小值为4+6=1
【点睛】
本题主要考查二次函数与几何综合，相似三角形的判定及性质，掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键．
26、
【分析】过A作AD⊥BC，根据三角函数和三角形面积公式解答即可．
【详解】过A作AD⊥BC．在△ABD中，∵sinB=，AB=5，∴AD=3，BD=1．在△ADC中，∵cosC=，∴∠C=15°，∴DC=AD=3，∴△ABC的面积=．
【点睛】
本题考查了解直角三角形，关键是根据三角函数和三角形面积公式解答．
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