资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．已知关于x的方程x2+bx+a＝0有一个根是﹣a（a≠0），则a﹣b的值为（ ）
A．a﹣b＝1 B．a﹣b＝﹣1 C．a﹣b＝0 D．a﹣b＝±1
2．抛物线y=(x-3)2+4的顶点坐标是（ ）
A．(-1，2) B．(-1，-2) C．(1，-2) D．(3，4)
3．已知点，如果把点绕坐标原点顺时针旋转后得到点，那么点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．若将抛物线y=- x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是( )
A． B．
C． D．
5．点P（3，5）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣3，5） B．（3，﹣5） C．（5，3） D．（﹣3，﹣5）
6．若抛物线y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第一象限，则m的取值范围为( )
A．m＞1 B．m＞0 C．m＞－1 D．－1＜m＜0
7．如图，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上的一点，且BF＝3CF，连接AE、AF、EF，下列结论：①∠DAE＝30°，②△ADE∽△ECF，③AE⊥EF，④AE2＝AD•AF，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．在一个万人的小镇，随机调查了人，其中人看某电视台的早间新闻，在该镇随便问一个人，他看该电视台早间新闻的概率大约是（ ）
A． B． C． D．
9．点是反比例函数的图象上的一点，则（ ）
A． B．12 C． D．1
10．下列计算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，将图形用放大镜放大，这种图形的变化属于（ ）
A．平移 B．相似 C．旋转 D．对称
12．在平面直角坐标系中，把抛物线y=2x2绕原点旋转180°，再向右平移1个单位，向下平移2个单位，所得的抛物线的函数表达式为( )
A．y=2(x﹣1)2﹣2 B．y=2(x+1)2﹣2
C．y=﹣2(x﹣1)2﹣2 D．y=﹣2(x+1)2﹣2
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，点为等边三角形的外心，连接.
①___________.
②弧以为圆心，为半径，则图中阴影部分的面积等于__________．
14．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，点A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB=___°．
15．二次函数的最小值是 ．
16． “国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到156个红包，则该群一共有_____人．
17．若、是关于的一元二次方程的两个根，且，则，，，的大小关系是_____________．
18．如图，某河堤的横截面是梯形，，迎水面长26，且斜坡的坡比（即）为12:5，则河堤的高为__________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于第一象限内的点A，且点A的横坐标为1.过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为1.
（1）求反比例函数和一次函数的解析式.
（2）若一次函数的图象与x轴相交于点C，求∠ACO的度数.
（3）结合图象直接写出：当＞＞0时，x的取值范围.
20．（8分）如图，在平面内。点为线段上任意一点.对于该平面内任意的点，若满足小于等于则称点为线段的“限距点”.
（1）在平面直角坐标系中，若点.
①在的点中，是线段的“限距点”的是 ；
②点P是直线上一点，若点P是线段AB的“限距点”，请求出点P横坐标的取值范围.
（2）在平面直角坐标系中，若点.若直线上存在线段AB的“限距点”，请直接写出的取值范围
21．（8分）如图，点P是上一动点，连接AP，作∠APC=45°，交弦AB于点C．AB=6cm．
小元根据学习函数的经验，分别对线段AP，PC，AC的长度进行了测量．
下面是小元的探究过程，请补充完整：
（1）下表是点P是上的不同位置，画图、测量，得到线段AP，PC，AC长度的几组值，如下表：
AP/cm
0
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
PC/cm
0
1.21
2.09
2.69
m
2.82
0
AC/cm
0
0.87
1.57
2.20
2.83
3.61
6.00
①经测量m的值是 （保留一位小数）．
②在AP，PC，AC的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和 的长度都是这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当△ACP为等腰三角形时，AP的长度约为 cm（保留一位小数）．
22．（10分）如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．
23．（10分）已知正方形中，为对角线上一点，过点作交于点，连接，为的中点，连接．
（1）如图1，求证：；
（2）将图1中的绕点逆时针旋转45°，如图2，取的中点，连接．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）将图1中的绕点逆时计旋转任意角度，如图3，取的中点，连接．问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）
24．（10分）如图，在中，， 点是边上一点，连接，以为边作等边.
如图1，若求等边的边长;
如图2，点在边上移动过程中，连接，取的中点，连接，过点作于点.
①求证:；
②如图3，将沿翻折得，连接，直接写出的最小值.
25．（12分）如图，已知⊙O的直径d=10，弦AB与弦CD平行，它们之间的距离为7，且AB=6，求弦CD的长．
26．如图，在中，点是弧的中点，于，于，求证：．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析】把x＝﹣a代入方程得到一个二元二次方程，方程的两边都除以a，即可得出答案．
【详解】把x＝﹣a代入方程得：（﹣a）2﹣ab+a＝0，
a2﹣ab+a＝0，
∵a≠0，
∴两边都除以a得：a﹣b+1＝0，
即a﹣b＝﹣1，
故选：B．
【点睛】
此题考查一元二次方程的解，是方程的解即可代入方程求其他未知数的值或是代数式的值.
2、D
【解析】根据抛物线解析式y=(x-3)2+4,可直接写出顶点坐标.
【详解】y=(x-3)2+4的顶点坐标是(3，4).
故选D.
【点睛】
此题考查了二次函数y=a(x-h)2+k的性质，对于二次函数y=a(x-h)2+k，顶点坐标是(h，k)，对称轴是x=k.
3、B
【分析】连接OP，OP1，过P作PN⊥y轴于N，过P1作P1M⊥y轴于M，根据旋转的性质，证明，再根据所在的象限，即可确定点的坐标．
【详解】如图
连接OP，OP1，过P作PN⊥y轴于N，过P1作P1M⊥y轴于M
∵点绕坐标原点顺时针旋转后得到点
∴
∴
∴，
∴
∵
∴
∵
∴
∵在第四象限
∴点的坐标为
故答案为：B．
【点睛】
本题考查了坐标轴的旋转问题，掌握旋转的性质是解题的关键．
4、A
【分析】按“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律平移即可得出所求函数的解析式.
【详解】∵ 将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，
∴y=-（x+3）2-2.
故答案为A.
【点睛】
本题考查了二次函数图象的平移，其规律是是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k （a，b，c为常数，a≠0），确定其顶点坐标(h，k)，在原有函数的基础上“h值正右移，负左移； k值正上移，负下移”．
5、D
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，横纵坐标的坐标符号均相反，根据这一特征求出对称点坐标．
【详解】解：点P（3，5）关于原点对称的点的坐标是（-3，-5），
故选D．
【点睛】
本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的变化规律．
6、B
【分析】利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式表示出其顶点坐标，根据顶点在第一象限，所以顶点的横坐标和纵坐标都大于0列出不等式组．
【详解】顶点坐标（m,m+1）在第一象限，则有
解得：m>0,
故选B.
考点：二次函数的性质．
7、C
【分析】根据题意可得tan∠DAE的值，进而可判断①；设正方形的边长为4a，根据题意用a表示出FC，BF，CE，DE，然后根据相似三角形的判定方法即可对②进行判断；在②的基础上利用相似三角形的性质即得∠DAE＝∠FEC，进一步利用正方形的性质即可得到∠DEA+∠FEC＝90°，进而可判断③；利用相似三角形的性质即可判断④.
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，E为CD中点，∴CE＝ED＝DC＝AD，
∴tan∠DAE＝，∴∠DAE≠30°，故①错误；
设正方形的边长为4a，则FC＝a，BF＝3a，CE＝DE＝2a，
∴，∴，又∠D＝∠C=90°，
∴△ADE∽△ECF，故②正确；
∵△ADE∽△ECF，∴∠DAE＝∠FEC，
∵∠DAE+∠DEA＝90°∴∠DEA+∠FEC＝90°，
∴AE⊥EF．故③正确；
∵△ADE∽△ECF，∴，∴AE2＝AD•AF，故④正确.
综上，正确的个数有3个，故选：C.
【点睛】
本题考查了正方形的性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质等知识，属于常考题型，熟练掌握正方形的性质和相似三角形的判定和性质是解题的关键.
8、D
【解析】根据等可能事件的概率公式，即可求解．
【详解】÷=，
答：他看该电视台早间新闻的概率大约是．
故选D．
【点睛】
本题主要考查等可能事件的概率公式，掌握概率公式，是解题的关键．
9、A
【解析】将点代入即可得出k的值．
【详解】解：将点代入得，，解得k=-12，
故选：A．
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点，若一个点在某个函数图象上，则这个点一定满足该函数的解析式．
10、D
【分析】直接利用二次根式混合运算法则分别判断得出答案．
【详解】A、无法计算，故此选项不合题意；
B、，故此选项不合题意；
C、，故此选项不合题意；
D、，正确.
故选D.
【点睛】
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
11、B
【分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．
【详解】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．
故选：B．
【点睛】
本题考查相似形的识别，联系图形根据相似图形的定义得出是解题的关键．
12、C
【分析】抛物线y=1x1绕原点旋转180°，即抛物线上的点（x，y）变为（-x，-y），代入可得抛物线方程，然后根据左加右减的规律即可得出结论．
【详解】解：∵把抛物线y=1x1绕原点旋转180°，
∴新抛物线解析式为：y=﹣1x1，
∵再向右平移1个单位，向下平移1个单位，
∴平移后抛物线的解析式为y=﹣1(x﹣1)1﹣1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了抛物线的平移变换规律，旋转变换规律，掌握抛物线的平移和旋转变换规律是解题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、120
【分析】①连接OC利用等边三角形的性质可得出，可得出的度数
②阴影部分的面积即求扇形AOC的面积，利用面积公式求解即可.
【详解】解：① 连接OC，
∵O为三角形的外心，
∴OA=OB=OC
∴
∴
∴.
②∵
∴
∴阴影部分的面积即求扇形AOC的面积
∵
∴阴影部分的面积为：.
【点睛】
本题考查的知识点有等边三角形外心的性质，全等三角形的判定及其性质以及扇形的面积公式，利用三角形外心的性质得出OA=OB=OC是解题的关键.
14、70°
【分析】连接OA、OB，根据圆周角定理求得∠AOB，由切线的性质求出∠OAP=∠OBP=90°，再由四边形的内角和等于360°，即可得出答案
【详解】解：连接OA、OB，∠ACB＝55°，
∴∠AOB=110°
∵PA、PB是⊙O的两条切线，点A、B为切点，
∴∠OAP=∠OBP=90°
∵∠APB+∠OAP+∠AOB+∠OBP=360°
∴∠APB=180°-(∠OAP+∠AOB+∠OBP)=70°
故答案为：70
【点睛】
本题考查了切线的性质、四边形的内角和定理以及圆周角定理，利用切线性质和圆周角定理求出角的度数是解题的关键
15、﹣1．
【解析】试题分析：∵=，∵a=1＞0，∴x=﹣2时，y有最小值=﹣1．故答案为﹣1．
考点：二次函数的最值．
16、1
【分析】设该群的人数是x人，则每个人要发其他（x﹣1）张红包，则共有x（x﹣1）张红包，等于156个，由此可列方程．
【详解】设该群共有x人，依题意有：
x（x﹣1）=156
解得：x=﹣12（舍去）或x=1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的应用，正确找准等量关系列方程即可，比较简单．
17、
【分析】根据题意和二次函数性质，可以判断出的大小关系，本题得以解决．
【详解】令，则该函数的图象开口向上，
当时，，
当时，
，
即，
∵是关于的方程的两根，且，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
18、24cm
【分析】根据坡比（即）为12:5，设BE=12x，AE=5x，因为AB=26cm，根据勾股定理列出方程即可求解.
【详解】解：设BE=12x，AE=5x，
∵AB=26cm，
∴
∴BE=2×12=24cm
故答案为：24cm.
【点睛】
本题主要考查的是坡比以及勾股定理，找出图中的直角三角形在根据勾股定理列出方程即可求解.
三、解答题（共78分）
19、（1）y=；y=x+1；（2）∠ACO=45°；（3）0<x<1.
【解析】（1）根据△AOB的面积可求AB，得A点坐标．从而易求两个函数的解析式；
（2）求出C点坐标，在△ABC中运用三角函数可求∠ACO的度数；
（3）观察第一象限内的图形，反比例函数的图象在一次函数的图象的上面部分对应的x的值即为取值范围．
【详解】(1)∵△AOB的面积为1，并且点A在第一象限，
∴k=2,∴y=；
∵点A的横坐标为1，
∴A(1,2).
把A(1,2)代入y=ax+1得，a=1.
∴y=x+1.
(2)令y=0，0=x+1，
∴x=−1,
∴C(−1,0).
∴OC=1，BC=OB+OC=2.
∴AB=CB,
∴∠ACO=45°.
(3)由图象可知,在第一象限,当y>y>0时,0<x<1.
在第三象限,当y>y>0时,−1<x<0(舍去).
【点睛】
此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于结合函数图象进行解答.
20、（1）①E；②；（2）.
【分析】（1）①分别计算出C、D、E到A、B的距离，根据“限距点”的含义即可判定；
②画出图形，由“限距点”的定义可知，当点P位于直线上x轴上方并且AP时，点P是线段AB的“限距点”，据此可解；
（2）画出图形，可知当时，直线上存在线段AB的“限距点”，据此可解.
【详解】（1）①计算可知AC=BC= ，DA= ，DB= ，EA=EB=2，
设点为线段上任意一点，则
, , ,
∴,
∴点E为线段AB的“限距点”.
故答案是：E.
②如图,作PF⊥x轴于F,
由“限距点”的定义可知，当点P位于直线上x轴上方并且AP时，点P是线段AB的“限距点”，
∵直线与x轴交于点A(-1,0),交y轴于点H（0，），
∴∠OAH=30°,
∴当AP=2时，AF=，
∴此时点P的横坐标为-1，
∴点P横坐标的取值范围是 ；
（2）如图，直线与x轴交于M，AB交x轴于G，
∵点A(t,1)、B(t，-1),
直线与x轴的交点M(-1,0)，与y轴的交点C(0,)，
∴，
∴∠NMO=30°，
①当圆B与直线相切于点N，连接BN，连接BA并延长与直线交于D(t,)点，
∵∠NBD=∠NMO=30°，
∴，
即 ,
解得： ；
②当圆A与直线相切时，
同理可知：
∴ .
【点睛】
本题考查了一次函数、圆的性质、两点间的距离公式，是综合性较强的题目，通过做此题培养了学生的阅读能力、数形结合的能力，此题是一道非常好、比较典型的题目．
21、（1）①3.0；②AP的长度是自变量，PC的长度和AC的长度都是这个自变量的函数；（答案不唯一）;(2)见解析; （3）2.3或4.2
【分析】（1）①根据题意AC的值分析得出PC的值接近于半径；
②由题意AP的长度是自变量，分析函数值即可；
（2）利用描点法画出函数图像即可；
（3）利用数形结合的思想解决问题即可.
【详解】解：（1）①AC=2.83可知PC接近于半径3.0；
②AP的长度是自变量，PC的长度和AC的长度都是这个自变量的函数；（答案不唯一）
（2）如图（答案不唯一，和（1）问相对应）；
（3）结合图像根据AP=PC以及AC=PC进行代入分析可得AP为2.3或4.2
【点睛】
本题考查函数图像的相关性质，利用描点法画出函数图像以及利用数形结合的思想进行分析求解.
22、（1）直线DE与⊙O相切；（2）4.1．
【分析】（1）连接OD，通过线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质证明∠EDB＋∠ODA＝90°，进而得出OD⊥DE，根据切线的判定即可得出结论；
（2）连接OE，作OH⊥AD于H．则AH＝DH，由△AOH∽△ABC，可得，推出AH＝，AD＝，设DE＝BE＝x，CE＝8－x，根据OE2＝DE2＋OD2＝EC2＋OC2，列出方程即可解决问题；
【详解】（1）连接OD，
∵EF垂直平分BD，
∴EB＝ED，
∴∠B＝∠EDB，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠A，
∵∠C＝90°，
∴∠A＋∠B＝90°，
∴∠EDB＋∠ODA＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．
（2）连接OE，作OH⊥AD于H．则AH＝DH，
∵△AOH∽△ABC，
∴，
∴，
∴AH＝，AD＝，设DE＝BE＝x，CE＝8﹣x，
∵OE2＝DE2＋OD2＝EC2＋OC2 ，
∴42＋（8﹣x）2＝22＋x2 ，
解得x＝4.1，
∴DE＝4.1．
【点睛】
本题考查切线的判定和性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
23、 (1)见解析;(2)见解析;(3)见解析.
【解析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG．
（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG．
（3）结论依然成立．过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F作FN垂直于AB于N．由于G为FD中点，易证△CDG≌△MFG，得到CD=FM，又因为BE=EF，易证∠EFM=∠EBC，则△EFM≌△EBC，∠FEM=∠BEC，EM=EC，得出△MEC是等腰直角三角形，就可以得出结论．
【详解】（1）在中，为的中点，
∴．
同理，在中，．
∴．
（2）如图②，（1）中结论仍然成立，即EG=CG．
理由：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．
∴∠AMG=∠DMG=90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC=AB，∠ADG=∠CDG．∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°．
在△DAG和△DCG中，
，
∴△DAG≌△DCG（SAS），
∴AG=CG．
∵G为DF的中点，
∴GD=GF．
∵EF⊥BE，
∴∠BEF=90°，
∴∠BEF=∠BAD，
∴AD∥EF，
∴∠N=∠DMG=90°．
在△DMG和△FNG中，
，
∴△DMG≌△FNG（ASA），
∴MG=NG．
∵∠DA∠AMG=∠N=90°，
∴四边形AENM是矩形，
∴AM=EN，
在△AMG和△ENG中，
，
∴△AMG≌△ENG（SAS），
∴AG=EG，
∴EG=CG；
（3）如图③，（1）中的结论仍然成立．
理由：过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F作FN⊥AB于N．
∵MF∥CD，
∴∠FMG=∠DCG，∠MFD=∠CDG．∠AQF=∠ADC=90°
∵FN⊥AB，
∴∠FNH=∠ANF=90°．
∵G为FD中点，
∴GD=GF．
在△MFG和△CDG中
，
∴△CDG≌△MFG（AAS），
∴CD=FM．MG=CG．
∴MF=AB．
∵EF⊥BE，
∴∠BEF=90°．
∵∠NHF+∠HNF+∠NFH=∠BEF+∠EHB+∠EBH=180°，
∴∠NFH=∠EBH．
∵∠A=∠ANF=∠AMF=90°，
∴四边形ANFQ是矩形，
∴∠MFN=90°．
∴∠MFN=∠CBN，
∴∠MFN+∠NFE=∠CBN+∠EBH，
∴∠MFE=∠CBE．
在△EFM和△EBC中
，
∴△EFM≌△EBC（SAS），
∴ME=CE．，∠FEM=∠BEC，
∵∠FEC+∠BEC=90°，
∴∠FEC+∠FEM=90°，
即∠MEC=90°，
∴△MEC是等腰直角三角形，
∵G为CM中点，
∴EG=CG，EG⊥CG．
【点睛】
考查了正方形的性质的运用，矩形的判定就性质的运用，旋转的性质的运用，直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
24、（1）；（2）证明见解析；（3）最小值为
【分析】(1)过C做CF⊥AB，垂足为F，由题意可得∠B=30°，用正切函数可求CF的长，再用正弦函数即可求解；
(2) 如图（2）1：延长BC到G使CG=BC，易得△CGE≌△CAD，可得CF∥GE，得∠CFA=90°，CF=GE再证DG=AD，得CF=DG，可得四边形DGFC是矩形即可；
（3）如图（2）2：设ED与AC相交于G，连接FG,先证△EDF≌△F D'B得BD'=DE，当DE最大时最小，然后求解即可；
【详解】解：（1）如图：过C做CF⊥AB，垂足为F，
∵，
∴∠A=∠B=30°，BF=3
∵tan∠B=
∴CF=
又∵sin∠CDB= sin45°=
∴DC=
∴等边的边长为；
①如图（2）1：延长BC到G使CG=BC
∵∠ACB=120°
∴∠GCE=180°-120°=60°，∠A=∠B=30°
又∵∠ACB=60°
∴∠GCE=∠ ACD
又∵CE=CD
∴△CGE≌△CAD（SAS）
∴∠G=∠ A=30°，GE=AD
又∵EF=FB
∴GE∥FC, GE=FC,
∴∠BCF=∠G=30°
∴∠ACF=∠ACB-∠BCF=90°
∴CF∥DG
∵∠ A=30°
∴GD=AD,
∴CF=DG
∴四边形DGFC是平行四边形，
又∵∠ACF=90°
∴四边形DGFC是矩形，
∴
②）如图（2）2：设ED与AC相交于G，连接FG
由题意得：EF=BF, ∠EFD=∠D'FB
∴△EDF≌△F D'B
∴BD'=DE
∴BD'=CD
∴当BD'取最小值时，有最小值
当CD⊥AB时，BD'min=AC,
设CDmin=a，则AC=BC=2a，AB=2a
的最小值为；
【点睛】
本题属于几何综合题，考查了矩形的判定、全等三角形的判定、直角三角形的性质等知识点；但本题知识点比较隐蔽，正确做出辅助线，发现所考查的知识点是解答本题的关键.
25、1
【解析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA、OC，根据垂径定理得到
根据AB∥CD，得到点M、O、N在同一条直线上，在Rt△AOM中，根据勾股定理求出
进而求出ON，在Rt△CON中，根据勾股定理求出根据垂径定理即可求出弦CD的长．
【详解】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA、OC，
则
∵AB∥CD，
∴点M、O、N在同一条直线上，
在Rt△AOM中，
∴ON=MN﹣OM=3，
在Rt△CON中，
∵ON⊥CD，
∴CD=2CN=1．
【点睛】
考查勾股定理以及垂径定理，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键.
26、证明见解析.
【分析】连接，根据在同圆中，等弧所对的圆心角相等即可证出，然后根据角平分线的性质即可证出结论．
【详解】证明：连接，
∵点是弧的中点，
∴，
∴OC平分∠AOB
∵，，
∴
【点睛】
此题考查的是圆的基本性质和角平分线的性质，掌握在同圆中，等弧所对的圆心角相等和角平分线的性质是解决此题的关键．
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