常微分方程习题课.doc

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第七章 常微分方程
重点
微分方程的基本概念，可分离变量方程，一阶线性方程，二阶线性微分方程的解法．
难点
由实际问题建立微分方程．

一阶微分方程
一、基本要求
1． 了解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解等概念．
2． 能正确识别下列几种一阶微分方程：可分离变量方程、齐次方程、线性方程、贝努利方程；可降阶的高阶微分方程．
3． 熟练掌握可分离变量方程和一阶线性方程的解法．
4． 会解齐次方程和贝努利方程，并从中领会用变换代换求解方程的思想．
5． 熟练掌握可降阶的高阶微分方程的解法．
6． 对简单的实际问题能建立一阶微分方程从而求解．
二、要点
1．关于常微分方程的基本概念（略）
2．一阶微分方程的解法
(1)　可分离变量的一阶微分方程
形如的方程，称为可分离变量的微分方程．
将上式两边同时积分即可求得通解．即
．
其中、在所考察的范围内是连续函数．若给定了初始条件，则可求得方程的特解．
(2)　齐次微分方程
形如的方程，称为齐次微分方程．
令，则，从而有，原方程化为可分离变量的方程：
，
从而两边积分求得通解．
(3)　一阶线性微分方程
形如的方程，称为一阶线性微分方程．分两步求解
① 求对应的齐次方程的通解
将分离变量得，从而通解为．
② 用常数变易法求非齐次方程的通解
设，代入原方程求得，所以为方程的通解．
注意　在具体解题时，可直接代上述公式求一阶线性微分方程的通解．若一阶线性微分方程的标准型，则其通解
．
(4)　贝努利方程
　形如的方程，称为贝努利方程．
两边同除以，令 ，则原方程化为
，
这是关于的一阶线性方程，代入公式求通解即可．
(5)　可降阶的高阶微分方程
①型的微分方程
对两边积分，有
，
，
……
依次进行次积分即得通解．
②型的微分方程
方程的特点是右端不显含，令，则，于是原方程化为，是关于的一阶方程，若其解为，即，积分求解即可．
③型的微分方程
方程的特点是右端不显含自变量，令，则，于是原方程化为，是关于的一阶方程，若其解为，即，再积分求解即可．
二阶线性微分方程
一、基本要求
1． 正确识别二阶常系数线性齐次与非齐次微分方程．
2． 熟练掌握二阶常系数线性齐次与非齐次微分方程的解法．
3． 熟练掌握二阶常系数非齐次微分方程解的结构，掌握非齐次方程当自由项为两种特殊情形时通解的解法．
4． 会解决简单二阶方程的应用问题．
二、要点
关于二阶常系数线性微分方程的解法：
1．线性齐次方程的通解
解法　先解特征方程的根．设特征根为，分以下三种情况：
（1） 当时，特征方程有两个相异的实根，则方程的通解为
．
（2） 当时，特征方程有重根，则方程的通解为
．
（3） 当时，特征方程有一对共轭的复根
，
则方程的通解为　　　　　　　．
定理 若为齐次方程的两个解，则

亦是齐次方程的解，其中是任意常数．又若为线性无关时，则是齐次方程的通解．
2．线性非齐次方程的通解
定理 设是非齐次线性方程的一个特解，而是相应的线性齐次方程的通解，则其和

为线性非齐次方程的通解．
具体解法：
（1）先求的特解，由下表通过待定系数法可得
自由项
右端项与特征根
特解形式
，其中
为n次多项式
λ不是特征方程的根
λ是特征方程的单根
λ是特征方程的重根

或

不是特征方程的根
是特征方程的根

其中均为次多项式．
（2）再求对应线性齐次方程的通解，根据定理相加即可
三、典型例题
（一）解各类一阶微分方程
1．判别下列微分方程的类型，并分别求出其通解或特解．
（1）　　（2）
（3）的特解　　（4）
解　（１）原方程化为　　　　　，
令，得，此为一阶线性方程．按公式求得其通解为
，
于是原方程的通解为
．
（2）原方程为，即，它属于贝努利方程．
令，则可化为线性方程，其通解为

于是原方程的通解为
．
（3）原方程为，它不属于一阶微分方程的四种类型，可将作自
变量，作为函数，于是方程改写成
，
此为的一阶线性方程，其通解为

代入初始条件，得，故所求特解为
．
（4）原方程整理得
，
是齐次方程．令，则，分离变量
，
积分得　　　　　　　　　　　　．
所以原方程的通解为
．
２．
2．求下列各微分方程的通解
（1）；　　（2）．
解 （1）原方程属于类型．
令，则，原方程可化为
，
此为的一阶线性方程，其通解为
，
所以　　　　　　　　　　，
分离变量后得　　　　　　，
两边积分，得原方程的通解为
．
（2）原方程为属于类型．
令，则，代入原方程得
，
当时，得，即为原方程的解；
当时，得　　　　　　　，
分离变量　　　　　　　　　，
两边积分　　　　　　　　，
即　　　　　　　　　　　　，
从而　　　　　　　　　　，
分离变量，再两边积分后，得原方程通解为
．

3. 求方程为常数）的解．
解　变量代换，可将原方程化为可分离变量方程．
令，则，故原方程化为，即
，
两边积分得　　　　　　，
于是方程所求通解为　　．
4．求微分方程的通解．
解 将方程改写为
，
为贝努利方程（），以乘方程两端，得
，
令，则，由一阶线性微分方程的公式法，解得
，
将代回，得原方程的通解为
．
5．求的通解．
解 交换地位，得，或
　　　　　　　　　　　　　　，
此为的贝努利方程．令，则上式可化为
，
此为一阶线性微分方程，其通解为，即

为原方程的通解．
6．已知方程，其中，试求一连续函数满足条件，且在内满足上述方程的解．
解　当时，方程其解为
，
因，得，即
，
当时，方程为，其解为
，
因，于是得，即，所以
，
于是所求方程的解为　　　　　
7．已知为可微函数，，求．
解　在所给方程两边乘得．
令，得
，
上式两边对求导
，
即 　　　　　　　　　
此为一阶线性方程，其解

为所求．
8．将下列二阶常系数线性非齐次微分方程设出一个特解的形式，并说明理由．
（1）　　（2）　　（3）
（4）
解　（１）自由项，特征根为，而不是特征根，于是设特解形式为
．
（２）自由项，特征根为，而是单根，于是设特解形式为
．
（３） 自由项，特征根，3i不是特征方程的特征根，于是设特解形式为
．
（４）自由项，方程右端为之和,
由可加性，设，而特征方程的根为，而对的方程，是特征方程的单根，对的方程不是特征方程的根，于是设特解形式为
．
9． 设为可微函数，且求．
解　方程两边对求导，整理得
，
得 ，代入，求得，
于是 。（直接将看作函数）
10．设连续，且求。
解　方程两边对求导，得再求导，得
，
解得 。
练习 1． 曲线上每点处的切线在轴上的截距为，且曲线过点，求此曲线方程．
解 设曲线的切线方程为　　　　，
令，于是切线在轴上的截距为，从而
，
即　　　　
为贝努利方程，设，上方程化为
，
其通解为　　　　　　　，
所以　　　　　　　，
因曲线过，代入上式，求得，于是所求的曲线方程为
．
2．已知为可微函数，且，求．
解　方程两边对求导，得
，
为一阶线性微分方程，解得

，
又因为，代入上式，得，因此所求函数
．
3．填空：
（1）已知微分方程有一个特解，则此方程的通解为 ．
(2) 以函数（为任意常数，）为通解的微分方程是 ．
4．已知及，求．
解　方程两边对求导，得，即
,
此为二阶常系数线性齐次方程，其对应齐次方程的特征方程为，特征根为，所以其对应齐次方程的通解为
,
又非齐次方程的右端函数为，不是特征根，所以非齐次方程的特解可设为，代入原方程，比较系数得，所以
，
于是原方程所求通解
，
又因，代入上式，求得，因此所求函数为
．

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