常微分方程习题201.doc

常微分方程期中考试试卷(5)

计算题 .求下列方程的通解或通积分
1.

2.

3.

4.

5．

6．

7．

证明题
8. 在方程中，已知，在上连续，且．求证：对任意和，满足初值条件的解的存在区间必为．

9. 设在区间上连续．试证明方程

的所有解的存在区间必为

10. 假设方程在全平面上满足解的存在惟一性定理条件，且，是定义在区间I上的两个解．求证：若<，，则在区间I上必有 <成立．

答案：1。解 方程化为

令，则，代入上式，得

分量变量，积分，通解为

原方程通解为

2. 解 因为，所以原方程是全微分方程．
取，原方程的通积分为

即
3．解 当时，分离变量得

等式两端积分得

方程的通积分为

4．解 齐次方程的通解为

令非齐次方程的特解为

代入原方程，确定出
原方程的通解为
+
5．解 积分因子为
原方程的通积分为

即
6．解 由于，所以原方程是全微分方程．
取，原方程的通积分为

即
7．解 原方程是克来洛方程，通解为

8．证明 由已知条件可知，该方程在整个 平面上满足解的存在惟一及延展定理条件，又存在常数解 ．
对平面内任一点，若，则过该点的解是，显然是在上有定义．
若,则,记过该点的解为，那么一方面解可以向平面的无穷远无限延展；另一方面在条形区域 内不能上、下穿过解和，否则与解的惟一性矛盾．因此解的存在区间必为．
9. 证明 由已知条件，该方程在整个 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件．
显然 是方程的两个常数解．
任取初值，其中,．记过该点的解为，由上面分析可知，一方面可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过，下方不能穿过，否则与惟一性矛盾．故该解的存在区间必为．
10. 证明 仅证方向，（反之亦然）．
假设存在，使得>（=不可能出现，否则与解惟一矛盾
令=-，那么
=-< 0， =-> 0
由连续函数介值定理，存在，使得
=-= 0
即 =
这与解惟一矛盾 ．

出卷人：沈益斌
02412-36