无理方程的解法.doc

无理方程的解法未知数含在根号下的方程叫作无理方程(或根式方程)，这是数学竞赛中经常出现的一些特殊形式的方程中的一种解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法常用的方法有：乘方法、配方法、因式分解法、设辅助元素法、利用比例性质法等本讲将通过例题来说明这些方法的运用 例1 解方程 解 移项得 两边平方后整理得再两边平方后整理得x23x-280，所以 x1=4，x2=-7经检验知，x2=-7为增根，所以原方程的根为x=4说明 用乘方法(即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号)来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根例2 解方程方公式将方程的左端配方将原方程变形为所以两边平方得 3x2+x=9-6xx2， 两边平方得 3x2+x=x26x9，例3 解方程即所以移项得例4 解方程解 三个未知量、一个方程，要有确定的解，则方程的结构必然是极其特殊的将原方程变形为 配方得利用非负数的性质得所以 x=1，y=2，z=3经检验，x=1，y=2，z=3是原方程的根例5 解方程所以 将两边平方、并利用得x2y22xy-8=0，(xy4)(xy-2)=0xy=2例6 解方程解 观察到题中两个根号的平方差是13，即便得由，得 例7 解方程分析与解 注意到(2x2-1)-(x2-3x-2)=(2x2+2x+3)-(x2-x+2)设则u2-v2w2-t2，u+v=w+t因为u+v=w+t=0无解，所以得u-v=w-t 得u=w，即解得x=-2经检验，x=-2是原方程的根例8 解方程整理得y3-1=(1-y)2，即(y-1)(y2+2)=0解得y=1，即x=-1经检验知，x=-1是原方程的根整理得y3-2y2+3y=0解得y=0，从而x=-1例9 解方程边的分式的分子与分母只有一些项的符号不同，则可用合分比定理化简方程根据合分比定理得两边平方得再用合分比定理得化简得x2=4a2解得x=2a经检验，x=2a是原方程的根