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无理方程的解法
未知数含在根号下的方程叫作无理方程(或根式方程)，这是数学竞赛中经常出现的一些特殊形式的方程中的一种．解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法、配方法、因式分解法、设辅助元素法、利用比例性质法等．本讲将通过例题来说明这些方法的运用．
　　例1 解方程

　　解 移项得

两边平方后整理得

再两边平方后整理得
x2＋3x-28＝0，
所以 x1=4，x2=-7．
　　经检验知，x2=-7为增根，所以原方程的根为x=4．
说明 用乘方法(即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号)来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．

　　例2 解方程　

方公式将方程的左端配方．将原方程变形为

所以

两边平方得 3x2+x=9-6x＋x2，

 两边平方得 3x2+x=x2＋6x＋9，

　　例3 解方程

即

所以

移项得　

　例4 解方程

　　解 三个未知量、一个方程，要有确定的解，则方程的结构必然是极其特殊的．将原方程变形为

配方得

利用非负数的性质得

所以 x=1，y=2，z=3．
　　经检验，x=1，y=2，z=3是原方程的根．

例5 解方程

所以
将①两边平方、并利用②得
x2y2＋2xy-8=0，
(xy＋4)(xy-2)=0．

xy=2．　　　　　　　③

例6 解方程

　　解 观察到题中两个根号的平方差是13，即

②÷①便得

由①，③得　　

例7 解方程

　　分析与解 注意到
　　　　(2x2-1)-(x2-3x-2)=(2x2+2x+3)-(x2-x+2)．
设

则
u2-v2＝w2-t2，　①
u+v=w+t．　　②
因为u+v=w+t=0无解，所以①÷②得
　　　　　　　　　　　　　u-v=w-t． 　　　　　　　　③
②＋③得u=w，即

解得x=-2．
　　经检验，x=-2是原方程的根．

例8 解方程

整理得　　　　　　y3-1=(1-y)2，
即　　　　　　　　(y-1)(y2+2)=0．
解得y=1，即x=-1．
　　经检验知，x=-1是原方程的根．

整理得　　　　　　y3-2y2+3y=0．
解得y=0，从而x=-1．

　例9 解方程

　　边的分式的分子与分母只有一些项的符号不同，则可用合分比定理化简方程．
　　根据合分比定理得

两边平方得

再用合分比定理得

化简得x2=4a2．解得x=±2a．
　　经检验，x=±2a是原方程的根．