常微分方程考试习题.doc

常微分期终考试试卷(1)
一、 填空题（30%）
1、方程有只含的积分因子的充要条件是（　　　　）。有只含的积分因子的充要条件是______________。
２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。
３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。
４、若为阶齐线性方程的个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________。
５、形如___________________的方程称为欧拉方程。
６、若和都是的基解矩阵，则和具有的关系是_____________________________。
７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。
二、计算题（６０％）
1、
２、
３、若试求方程组的解并求expAt
４、
５、求方程经过（0，0）的第三次近似
6.求的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.
三、证明题（１０％）
１、阶齐线性方程一定存在个线性无关解。
　　　　　　　　　试卷答案
一填空题
１、　　　　
２、　　　 　　　　　
３、 　　　　　　　
４、
５、
６、　
７、零　　　　　　稳定中心
二计算题
１、解：因为，所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子，两边同乘得
所以解为
即另外y=0也是解
２、线性方程的特征方程故特征根
是特征单根，原方程有特解代入原方程A=- B=0 不是特征根，原方程有特解代入原方程 B=0
所以原方程的解为
３、解：解得此时 k=1

由公式expAt= 得

４、解：方程可化为令则有（*）
（*）两边对y求导：
即由得即将y代入（*）即方程的 含参数形式的通解为： p为参数
又由得代入（*）得：也是方程的解
５、解：
６、解：由解得奇点（3，-2）令X=x-3,Y=y+2则
因为=1+1 0故有唯一零解（0，0）
由得故（3，-2）为稳定焦点。
三、 证明题
由解的存在唯一性定理知：n阶齐线性方程一定存在满足如下条件的n解：

考虑
从而是线性无关的。
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