常微分方程考试习题.doc

常微分期终考试试卷(1)一、 填空题（30%）1、方程有只含的积分因子的充要条件是（）。有只含的积分因子的充要条件是_。、_称为黎卡提方程，它有积分因子_。、_称为伯努利方程，它有积分因子_。、若为阶齐线性方程的个解，则它们线性无关的充要条件是_。、形如_的方程称为欧拉方程。、若和都是的基解矩阵，则和具有的关系是_。、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_时，零解是稳定的，对应的奇点称为_。二、计算题（）1、若试求方程组的解并求expAt、求方程经过（0，0）的第三次近似6.求的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.三、证明题（）、阶齐线性方程一定存在个线性无关解。试卷答案一填空题、 、 、零稳定中心二计算题、解：因为，所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子，两边同乘得所以解为 即另外y=0也是解、线性方程的特征方程故特征根 是特征单根，原方程有特解代入原方程A=- B=0 不是特征根，原方程有特解代入原方程 B=0 所以原方程的解为、解：解得此时 k=1 由公式expAt= 得、解：方程可化为令则有（*）（*）两边对y求导：即由得即将y代入（*）即方程的 含参数形式的通解为： p为参数又由得代入（*）得：也是方程的解 、解： 、解：由解得奇点（3，-2）令X=x-3,Y=y+2则因为=1+1 0故有唯一零解（0，0）由得故（3，-2）为稳定焦点。三、 证明题由解的存在唯一性定理知：n阶齐线性方程一定存在满足如下条件的n解：考虑从而是线性无关的。4 / 4