导数与函数单调性.doc

第十一节导数与函数的单调性考纲传真了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)函数的导数与单调性的关系函数yf(x)在某个区间内可导，则(1)若f(x)0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f(x)0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f(x)0，则f(x)在这个区间内是常数函数1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么在区间(a，b)上一定有f(x)0.()(2)如果函数在某个区间内恒有f(x)0，则函数f(x)在此区间上没有单调性()(3)f(x)0是f(x)为增函数的充要条件()答案(1)(2)(3)2f(x)x36x2的单调递减区间为()A(0,4)B(0,2)C(4，)D(，0)Af(x)3x212x3x(x4)，由f(x)0，得0x4，递减区间为(0,4)3(教材改编)如图2111所示是函数f(x)的导函数f(x)的图象，则下列判断中正确的是()图2111A函数f(x)在区间(3,0)上是减函数B函数f(x)在区间(1,3)上是减函数C函数f(x)在区间(0,2)上是减函数D函数f(x)在区间(3,4)上是增函数A当x(3,0)时，f(x)0，则f(x)在(3,0)上是减函数其他判断均不正确4(2015陕西高考)设f(x)xsin x，则f(x)()A既是奇函数又是减函数B既是奇函数又是增函数C是有零点的减函数D是没有零点的奇函数B因为f(x)1cos x0，所以函数为增函数，排除选项A和C.又因为f(0)0sin 00，所以函数存在零点，排除选项D，故选B.5(2014全国卷)若函数f(x)kxln x在区间(1，)单调递增，则k的取值范围是()A(，2B(，1C2，)D1，)D由于f(x)k，f(x)kxln x在区间(1，)单调递增f(x)k0在(1，)上恒成立由于k，而01时，g(x)0.解(1)由题意得f(x)2ax(x0).2分当a0时，f(x)0时，由f(x)0有x，当x时，f(x)0，f(x)单调递增.7分(2)证明：令s(x)ex1x，则s(x)ex11.9分当x1时，s(x)0，所以ex1x，从而g(x)0.12分求函数的单调区间(2016天津高考节选)设函数f(x)x3axb，xR，其中a，bR.求f(x)的单调区间解由f(x)x3axb，可得f(x)3x2a.下面分两种情况讨论：当a0时，有f(x)3x2a0恒成立，所以f(x)的单调递增区间为(，).5分当a0时，令f(x)0，解得x或x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：xf(x)00f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为，.12分规律方法求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f(x)；(3)在定义域内解不等式f(x)0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f(x)0，得单调递减区间变式训练2已知函数f(x)(x22x)ex，xR，e为自然对数的底数，则函数f(x)的单调递增区间为_(，)因为f(x)(x22x)ex，所以f(x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex.令f(x)0，即(x22)ex0，因为ex0，所以x220，解得x，所以函数f(x)的单调递增区间为(，)已知函数的单调性求参数已知函数f(x)x3ax1. 【导学号：31222082】若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围解因为f(x)在(，)上是增函数，所以f(x)3x2a0在(，)上恒成立，即a3x2对xR恒成立.5分因为3x20，所以只需a0.又因为a0时，f(x)3x20，f(x)x31在R上是增函数，所以a0，即实数a的取值范围为(，0.12分迁移探究1(变换条件)函数f(x)不变，若f(x)在区间(1，)上为增函数，求a的取值范围解因为f(x)3x2a，且f(x)在区间(1，)上为增函数，所以f(x)0在(1，)上恒成立，即3x2a0在(1，)上恒成立，7分所以a3x2在(1，)上恒成立，所以a3，即a的取值范围为(，3.12分迁移探究2(变换条件)函数f(x)不变，若f(x)在区间(1,1)上为减函数，试求a的取值范围解由f(x)3x2a0在(1,1)上恒成立，得a3x2在(1,1)上恒成立.5分因为1x1，所以3x23，所以a3.即当a的取值范围为3，)时，f(x)在(1,1)上为减函数.12分迁移探究3(变换条件)函数f(x)不变，若f(x)在区间(1,1)上不单调，求a的取值范围解f(x)x3ax1，f(x)3x2a.由f(x)0，得x(a0).5分f(x)在区间(1,1)上不单调，01，得0a3，即a的取值范围为(0,3).12分规律方法根据函数单调性求参数的一般方法(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集(2)转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则f(x)0；若函数单调递减，则f(x)0”来求解易错警示：(1)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f (x)0，且在(a，b)内的任一非空子区间上f(x)不恒为0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解(2)函数在其区间上不具有单调性，但可在子区间上具有单调性，如迁移3中利用了(0,1)来求解变式训练3(2016全国卷)若函数f(x)xsin 2xasin x在(，)单调递增，则a的取值范围是()A1,1B.C. D.C取a1，则f(x)xsin 2xsin x，f(x)1cos 2xcos x，但f(0)110，不具备在(，)单调递增的条件，故排除A，B，D.故选C.思想与方法1已知函数解析式求单调区间，实质上是求f(x)0，f(x)0的解区间，并注意函数f(x)的定义域2含参函数的单调性要分类讨论，通过确定导数的符号判断函数的单调性3已知函数单调性可以利用已知区间和函数单调区间的包含关系或转化为恒成立问题两种思路解决易错与防范1求单调区间应遵循定义域优先的原则2注意两种表述“函数f(x)在(a，b)上为减函数”与“函数f(x)的减区间为(a，b)”的区别3在某区间内f(x)0(f(x)0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件4可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对x(a，b)，都有f(x)0(f(x)0)，且f(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒为零课时分层训练(十四)导数与函数的单调性A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1函数f(x)xln x的单调递减区间为()A(0,1)B(0，)C(1，)D(，0)(1，)A函数的定义域是(0，)，且f(x)1，令f(x)0，解得0x1，所以单调递减区间是(0,1)2已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f(x)的大致图象如图2112所示，则下列叙述正确的是() 【导学号：31222083】图2112Af(b)f(c)f(d)Bf(b)f(a)f(e)Cf(c)f(b)f(a)Df(c)f(e)f(d)C依题意得，当x(，c)时，f(x)0，因此，函数f(x)在(，c)上是增函数，由abc，所以f(c)f(b)f(a)因此C正确3已知函数f(x)x3ax4，则“a0”是“f(x)在R上单调递增”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件Af(x)x2a，当a0时，f(x)0恒成立，故“a0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件4若函数f(x)2x33mx26x在区间(2，)上为增函数，则实数m的取值范围为() 【导学号：31222084】A(，2)B(，2C. D.Df(x)6x26mx6，当x(2，)时，f(x)0恒成立，即x2mx10恒成立，mx恒成立令g(x)x，g(x)1，当x2时，g(x)0，即g(x)在(2，)上单调递增，m2，故选D.5(2016湖北枣阳第一中学3月模拟)函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对任意xR，f(x)2，则f(x)2x4的解集为()A(1,1)B(1，)C(，1)D(，)B由f(x)2x4，得f(x)2x40，设F(x)f(x)2x4，则F(x)f(x)2，因为f(x)2，所以F(x)0在R上恒成立，所以F(x)在R上单调递增，而F(1)f(1)2(1)42240，故不等式f(x)2x40等价于F(x)F(1)，所以x1，故选B.二、填空题6函数f(x)1xsin x在(0,2)上的单调情况是_. 【导学号：31222085】单调递增在(0,2)上有f(x)1cos x0，所以f(x)在(0,2)上单调递增7函数f(x)的单调递增区间是_(0，e)由f(x)0(x0)，可得解得x(0，e)8若函数yaxsin x在R上单调递增，则a的最小值为_1函数yaxsin x在R上单调递增等价于yacos x0在R上恒成立，即acos x在R上恒成立，因为1cos x1，所以a1，即a的最小值为1.三、解答题9已知函数f(x)(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间解(1)由题意得f(x)，又f(1)0，故k1.5分(2)由(1)知，f(x).设h(x)ln x1(x0)，则h(x)0，即h(x)在(0，)上是减函数.8分由h(1)0知，当0x1时，h(x)0，从而f(x)0；当x1时，h(x)0，从而f(x)0.综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，).12分10(2015重庆高考)已知函数f(x)ax3x2(aR)在x处取得极值(1)确定a的值；(2)若g(x)f(x)ex，讨论g(x)的单调性解(1)对f(x)求导得f(x)3ax22x，2分因为f(x)在x处取得极值，所以f0，即3a20，解得a.5分(2)由(1)得g(x)ex，故g(x)exexexx(x1)(x4)ex.8分令g(x)0，解得x0或x1或x4.当x4时，g(x)0，故g(x)为减函数；当4x0，故g(x)为增函数；当1x0时，g(x)0时，g(x)0，故g(x)为增函数综上知，g(x)在(，4)和(1,0)内为减函数，在(4，1)和(0，)内为增函数.12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)f(2x)，且当x(，1)时，(x1)f(x)0，设af(0)，bf，cf(3)，则() 【导学号：31222086】AabcBcbaCcabDbcaC依题意得，当x1时，f(x)0，f(x)为增函数；又f(3)f(1)，且101，因此有f(1)f(0)f，即有f(3)f(0)f，cab.2(2017石家庄质检(二)设f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(2)0，当x0时，xf(x)f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是_(2,0)(2，)令g(x)，则g(x)0，x(0，)，所以函数g(x)在(0，)上单调递增又g(x)g(x)，则g(x)是偶函数，g(2)0g(2)，则f(x)xg(x)0或解得x2或2x0，故不等式f(x)0的解集为(2,0)(2，)3已知函数f(x)ln x，g(x)axb.(1)若f(x)与g(x)在x1处相切，求g(x)的表达式；(2)若(x)f(x)在1，)上是减函数，求实数m的取值范围解(1)由已知得f(x)，f(1)1a，a2.又g(1)0ab，b1，g(x)x1.5分(2)(x)f(x)ln x在1，)上是减函数，(x)0在1，)上恒成立，即x2(2m2)x10在1，)上恒成立，则2m2x，x1，).9分x2，)，2m22，m2.故实数m的取值范围是(，2.12分