微分方程习题课.pptx

22基本概念基本概念一阶方程一阶方程 类类 型型1.1.直接积分法直接积分法2.2.可分离变量可分离变量3.3.齐次方程齐次方程4.4.可化为齐次可化为齐次方程方程5.5.线性方程线性方程6.6.伯努利方程伯努利方程可降阶方程可降阶方程线性方程线性方程解的结构解的结构定理定理1;1;定理定理2 2定理定理3;3;定理定理4 4二阶常系数线性二阶常系数线性方程解的结构方程解的结构特征方程的根特征方程的根及其对应项及其对应项f(x)的形式及其的形式及其特解形式特解形式高阶方程高阶方程待待定定系系数数法法特征方程法特征方程法微分方程知识框架微分方程知识框架 33练练 习习 题题写出微分方程：写出微分方程：的待定特解的形式的待定特解的形式.答案：答案：所求特解为：所求特解为：特征根特征根441 1、可分离变量的微分方程、可分离变量的微分方程微分方程求解方法总结微分方程求解方法总结解法解法：分离变量法分离变量法552 2、齐次方程、齐次方程3 3*、可化为齐次方程的方程、可化为齐次方程的方程664 4、一阶线性微分方程、一阶线性微分方程通解为通解为5*5*、伯努利微分方程、伯努利微分方程求出通解求出通解将将 回代即得原方程的通解回代即得原方程的通解.776 6、可降阶的高阶微分方程、可降阶的高阶微分方程直接积分直接积分 y=py=p88如果如果 y1(x),y2(x)是齐次方程是齐次方程(1)的两个解的两个解,则则y=C1y1(x)+C2y2(x)也是也是(1)的解的解.其中其中C1，C2是任意常数。是任意常数。定理定理1(叠加原理叠加原理)若若 y1,y2是二阶方程是二阶方程(1)的两个线性无关的解的两个线性无关的解,则方程则方程(1)的通解为的通解为y=C1 y1+C2 y2其中其中C1,C2为任意常数为任意常数.定理定理2定理定理3设设 y*是是方程方程(2)的一个特解的一个特解,Y 是是(2)对应齐次方程对应齐次方程(1)的通解的通解,则则是方程是方程(2)的通解的通解.y=y*+Y二阶微分方程解的结构定理二阶微分方程解的结构定理99定理定理4的解的解,的解的解.二阶微分方程解的结构定理二阶微分方程解的结构定理可以推广到右端项为多个函数的情形。可以推广到右端项为多个函数的情形。10107 7、二阶常系数、二阶常系数齐次齐次线性方程线性方程11118 8、二阶二阶常系数非齐常系数非齐次次线性微分方程线性微分方程特解形式：特解形式：特解形式：特解形式：1212P353T2P353T22 2 求以为通解的微分方程.提示提示:由通解式可知特征方程的根为故特征方程为因此微分方程为P353T2P353T24 4 提示提示:可知对应齐次方程的两个线性无关的解为故通解为1313P353T2P353T23 3 解答解答:两边同时对自变量x求导，得又x=x0 时，y=0通解为通解为填空题填空题1414P353 T3P353 T3 求下列微分方程的通解提示提示:(6)令则方程变为(变量可分离方程变量可分离方程)特征根:齐次方程通解:令非齐次方程特解为代入方程可得原方程通解为1515P354 P354 题题4(2)4(2)求解解解:令则方程变为积分得利用再解并利用定常数积分得特解为：(变量可分离方程变量可分离方程)1616例例1.设连续函数设连续函数 f(x)满足方程满足方程上式两边关于上式两边关于 x 求导得求导得解：解：将方程写为将方程写为求求 f(x).再求导，得再求导，得设设 y=f(x),则问题可化为求解则问题可化为求解初值问题初值问题：y+y=sinx,y|x=0,y|x=0=1.1717因对应齐次方程的特征方程因对应齐次方程的特征方程 为为r2+1=0Y=C1cosx+C2sinx.又因又因 i =i是特征方程的根，可设特解为是特征方程的根，可设特解为y*=x(acosx+bsinx).代入原方程后解得代入原方程后解得于是于是故原方程的通解为故原方程的通解为将初始条件代入上式，得将初始条件代入上式，得C1=0，从而从而即即特征特征根为根为r1,2=i，故对应齐次线性方程的通解为故对应齐次线性方程的通解为1818P P103103T T4-4-备忘备忘解解分析：分析：1919的解.例例2.2.设函数内具有连续二阶导(1)试将 xx(y)所满足的微分方程 变换为 yy(x)所满足的微分方程;(2)求变换后的微分方程满足初始条件 数,且解解:(1)由反函数的导数公式知(考研题考研题)2020代入原微分方程(2)方程的对应齐次方程的通解为 设的特解为 代入得 A0,从而得的通解:得2121由初始条件 得故所求初值问题的解为 2222写出方程写出方程 y 4y+4y=8x2+e2x+sin2x的一个特解的一个特解 y*的形式的形式.解：解：令令 f1(x)=8x2,f2(x)=e2x,f3(x)=sin2x.r2 4r+4=0,其根为其根为r1=r2=2.于是方程于是方程y 4y+4y=f1(x)对应齐次方程的特征方程是对应齐次方程的特征方程是的特解形式是的特解形式是方程方程 y 4y+4y=f2(x)的特解形式是的特解形式是方程方程y 4y+4y=f3(x)的特解形式是的特解形式是原方程的特解形式为原方程的特解形式为例例3 32323三、计算题三、计算题2424三、计算题三、计算题2525三、计算题三、计算题