常微分方程习题课.doc

_第七章 常微分方程 重点微分方程的基本概念，可分离变量方程，一阶线性方程，二阶线性微分方程的解法难点由实际问题建立微分方程 一阶微分方程一、基本要求1 了解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解等概念2 能正确识别下列几种一阶微分方程：可分离变量方程、齐次方程、线性方程、贝努利方程；可降阶的高阶微分方程3 熟练掌握可分离变量方程和一阶线性方程的解法4 会解齐次方程和贝努利方程，并从中领会用变换代换求解方程的思想5 熟练掌握可降阶的高阶微分方程的解法6 对简单的实际问题能建立一阶微分方程从而求解二、要点1关于常微分方程的基本概念（略）2一阶微分方程的解法 (1)可分离变量的一阶微分方程形如的方程，称为可分离变量的微分方程将上式两边同时积分即可求得通解即其中、在所考察的范围内是连续函数若给定了初始条件，则可求得方程的特解 (2)齐次微分方程形如的方程，称为齐次微分方程令，则，从而有，原方程化为可分离变量的方程：，从而两边积分求得通解 (3)一阶线性微分方程 形如的方程，称为一阶线性微分方程分两步求解 求对应的齐次方程的通解 将分离变量得，从而通解为 用常数变易法求非齐次方程的通解设，代入原方程求得，所以为方程的通解注意在具体解题时，可直接代上述公式求一阶线性微分方程的通解若一阶线性微分方程的标准型，则其通解 (4)贝努利方程 形如的方程，称为贝努利方程两边同除以，令 ，则原方程化为，这是关于的一阶线性方程，代入公式求通解即可(5)可降阶的高阶微分方程型的微分方程对两边积分，有，依次进行次积分即得通解 型的微分方程 方程的特点是右端不显含，令，则，于是原方程化为，是关于的一阶方程，若其解为，即，积分求解即可 型的微分方程方程的特点是右端不显含自变量，令，则，于是原方程化为，是关于的一阶方程，若其解为，即，再积分求解即可二阶线性微分方程一、基本要求1 正确识别二阶常系数线性齐次与非齐次微分方程2 熟练掌握二阶常系数线性齐次与非齐次微分方程的解法3 熟练掌握二阶常系数非齐次微分方程解的结构，掌握非齐次方程当自由项为两种特殊情形时通解的解法4 会解决简单二阶方程的应用问题二、要点关于二阶常系数线性微分方程的解法：1线性齐次方程的通解 解法先解特征方程的根设特征根为，分以下三种情况：（1） 当时，特征方程有两个相异的实根，则方程的通解为（2） 当时，特征方程有重根，则方程的通解为（3） 当时，特征方程有一对共轭的复根，则方程的通解为定理 若为齐次方程的两个解，则亦是齐次方程的解，其中是任意常数又若为线性无关时，则是齐次方程的通解2线性非齐次方程的通解定理 设是非齐次线性方程的一个特解，而是相应的线性齐次方程的通解，则其和为线性非齐次方程的通解具体解法：（1）先求的特解，由下表通过待定系数法可得自由项右端项与特征根特解形式，其中为n次多项式不是特征方程的根是特征方程的单根是特征方程的重根 或不是特征方程的根是特征方程的根其中均为次多项式（2）再求对应线性齐次方程的通解，根据定理相加即可三、典型例题（一）解各类一阶微分方程1判别下列微分方程的类型，并分别求出其通解或特解（1）（2）（3）的特解（4）解（）原方程化为，令，得，此为一阶线性方程按公式求得其通解为，于是原方程的通解为（2）原方程为，即，它属于贝努利方程令，则可化为线性方程，其通解为于是原方程的通解为（3）原方程为，它不属于一阶微分方程的四种类型，可将作自变量，作为函数，于是方程改写成，此为的一阶线性方程，其通解为 代入初始条件，得，故所求特解为（4）原方程整理得，是齐次方程令，则，分离变量 ，积分得所以原方程的通解为 2求下列各微分方程的通解（1）；（2）解 （1）原方程属于类型令，则，原方程可化为，此为的一阶线性方程，其通解为 ，所以，分离变量后得，两边积分，得原方程的通解为（2）原方程为属于类型令，则，代入原方程得，当时，得，即为原方程的解；当时，得，分离变量，两边积分，即，从而，分离变量，再两边积分后，得原方程通解为3. 求方程为常数）的解解变量代换，可将原方程化为可分离变量方程令，则，故原方程化为，即，两边积分得，于是方程所求通解为4求微分方程的通解解 将方程改写为，为贝努利方程（），以乘方程两端，得，令，则，由一阶线性微分方程的公式法，解得，将代回，得原方程的通解为5求的通解解 交换地位，得，或，此为的贝努利方程令，则上式可化为，此为一阶线性微分方程，其通解为，即为原方程的通解6已知方程，其中，试求一连续函数满足条件，且在内满足上述方程的解解当时，方程其解为，因，得，即，当时，方程为，其解为，因，于是得，即，所以，于是所求方程的解为7已知为可微函数，求解在所给方程两边乘得令，得，上式两边对求导，即 此为一阶线性方程，其解为所求8将下列二阶常系数线性非齐次微分方程设出一个特解的形式，并说明理由（1）（2）（3）（4）解（）自由项，特征根为，而不是特征根，于是设特解形式为（）自由项，特征根为，而是单根，于是设特解形式为（） 自由项，特征根，3i不是特征方程的特征根，于是设特解形式为（）自由项，方程右端为之和,由可加性，设，而特征方程的根为，而对的方程，是特征方程的单根，对的方程不是特征方程的根，于是设特解形式为9 设为可微函数，且求 解方程两边对求导，整理得，得 ，代入，求得，于是 。（直接将看作函数）10设连续，且求。解方程两边对求导，得再求导，得，解得 。练习 1 曲线上每点处的切线在轴上的截距为，且曲线过点，求此曲线方程解 设曲线的切线方程为，令，于是切线在轴上的截距为，从而，即为贝努利方程，设，上方程化为，其通解为，所以，因曲线过，代入上式，求得，于是所求的曲线方程为2已知为可微函数，且，求解方程两边对求导，得，为一阶线性微分方程，解得，又因为，代入上式，得，因此所求函数3填空：（1）已知微分方程有一个特解，则此方程的通解为 (2) 以函数（为任意常数，）为通解的微分方程是 4已知及，求解方程两边对求导，得，即 ,此为二阶常系数线性齐次方程，其对应齐次方程的特征方程为，特征根为，所以其对应齐次方程的通解为,又非齐次方程的右端函数为，不是特征根，所以非齐次方程的特解可设为，代入原方程，比较系数得，所以，于是原方程所求通解，又因，代入上式，求得，因此所求函数为Welcome ToDownload !欢迎您的下载，资料仅供参考！精品资料