常微分方程考试习题(5).doc

常微分方程期末考试试卷一 填空题 （30分）1 称为一阶线性方程，它有积分因子 ，其通解为 _ 。2函数称为在矩形域上关于满足利普希兹条件，如果 _ 。3 若为毕卡逼近序列的极限，则有 _ 。4方程定义在矩形域上，则经过点（0，0）的解的存在区间是 _ 。5函数组的伏朗斯基行列式为 _ 。6若为齐线性方程的一个基本解组，为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为 _ 。7若是的基解矩阵，则向量函数= _是的满足初始条件的解；向量函数= _ 是的满足初始条件的解。8若矩阵具有个线性无关的特征向量，它们对应的特征值分别为，那么矩阵= _ 是常系数线性方程组的一个基解矩阵。9满足 _ 的点，称为驻定方程组。二 计算题 （60分）10求方程的通解。11求方程的通解。12求初值问题 的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。13求方程的通解。14试求方程组的解 15试求线性方程组的奇点，并判断奇点的类型及稳定性。 三证明题 （10分） 16如果是满足初始条件的解，那么 常微分方程期终考试试卷答案一填空题 （30分） 1 2在上连续，存在，使，对于任意 3 4 5 6 7 8 9二计算题 （60分） 10解： 积分因子 两边同乘以后方程变为恰当方程： 两边积分得： 得： 因此方程的通解为： 11解：令 则 得： 那么 因此方程的通解为： 12解： ， 解的存在区间为 即 令 又 误差估计为： 13解： 是方程的特征值， 设 得： 则 得： 因此方程的通解为： 14解： 得 取 得 取 则基解矩阵 因此方程的通解为： 15解： （1，3）是奇点 令 ，那么由 可得： 因此（1，3）是稳定中心三证明题 （10分） 16证明：由定理8可知 又因为 所以 又因为矩阵 所以5 / 5