常微分方程考试习题(5).doc

常微分方程期末考试试卷

一． 填空题 （30分）
1． 称为一阶线性方程，它有积分因子 ，其通解为 _________ 。

2．函数称为在矩形域上关于满足利普希兹条件，如果 _______ 。
3． 若为毕卡逼近序列的极限，则有 ______ 。
4．方程定义在矩形域上，则经过点（0，0）的解的存在区间是 _______ 。

5．函数组的伏朗斯基行列式为 _______ 。
6．若为齐线性方程的一个基本解组，为非齐线性方
程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为 ________ 。

7．若是的基解矩阵，则向量函数= _______是的满足初始条件的解；向量函数= _____
是的满足初始条件的解。
8．若矩阵具有个线性无关的特征向量，它们对应的特征值分别为，那么矩阵= ______ 是常系数线性方程组的一个基解矩阵。
9．满足 _______ 的点，称为驻定方程组。

二． 计算题 （60分）
10．求方程的通解。
11．求方程的通解。
12．求初值问题 的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。
13．求方程的通解。
14．试求方程组的解

15．试求线性方程组的奇点，并判断奇点的类型及稳定性。

三．证明题 （10分）
16．如果是满足初始条件的解，那么
常微分方程期终考试试卷答案
一．填空题 （30分）
1．
2．在上连续，存在，使，对于任意
3．
4．
5．
6．
7．
8．
9．

二．计算题 （60分）
10．解：
积分因子
两边同乘以后方程变为恰当方程：
两边积分得：

得：
因此方程的通解为：

11．解：令 则
得：
那么

因此方程的通解为：
12．解：
，
解的存在区间为
即
令

又
误差估计为：
13．解：
是方程的特征值， 设
得：
则
得：
因此方程的通解为：

14．解：

得 取
得 取
则基解矩阵

因此方程的通解为：

15．解：
（1，3）是奇点
令

，那么由
可得：
因此（1，3）是稳定中心

三．证明题 （10分）
16．证明：由定理8可知
又因为

所以
又因为矩阵
所以
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