《常微分方程》答案 习题3.3.doc

习题3.3
1．Proof若（1）成立则及，，使当

时，初值问题
的解满足对一切有,
由解关于初值的对称性，（3，1）的两个解及都过点，由解的存在唯一性
，当时
故
若（2）成立，取定，则，，使当

时,对一切有

因初值问题
的解为，由解对初值的连续依赖性，
对以上，，使当
时
对一切有

而当时，因

故
这样证明了对一切有

2．Proof：因及都在G内连续，从而在G内关于满足局部Lipschitz条件，因此解在它的存在范围内关于是连续的。
设由初值和足够小）所确定的方程解分别为
，
即，
于是

因及、连续，因此

这里具有性质：当时，；且当时，因此对有

即
是初值问题

的解，在这里看成参数0显然，当时，上述初值问题仍然有解。根据解对初值和参数的连续性定理，知是的连续函数，从而存在

而是初值问题

的解，不难求解

它显然是的连续函数。
3．解：这里满足解对初值的可微性定理条件
故：

满足的解为

故

4．解：这是在（1，0）某领域内满足解对初值可微性定理条件，由公式

易见是原方程满足初始条件的解

故