《常微分方程》答案 习题2.3.doc

习题2.3
1、验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解。
1.
解： ，=1 .
则
所以此方程是恰当方程。
凑微分，
得 ：
2．
解： ， .
则 .
所以此方程为恰当方程。
凑微分，
得
3．
解：

则 .
因此此方程是恰当方程。
（1）
（2）
对（1）做的积分，则
= （3）
对（3）做的积分，则
=
=
则

故此方程的通解为
4、
解： ， .
.
则此方程为恰当方程。
凑微分，

得 ：
5.(sin-cos+1)dx+( cos- sin+)dy=0
解： M=sin-cos+1 N= cos- sin+
=- sin-cos- cos+sin
=- sin-cos- cos+sin
所以，=，故原方程为恰当方程
因为sindx-cosdx+dx+ cosdy- sindy+dy=0
d(-cos)+d (sin)+dx+d(-)=0
所以，d(sin-cos+x -)=0
故所求的解为sin-cos+x -=C
求下列方程的解：
6．2x(y-1)dx+dy=0
解：= 2x , =2x
所以，=，故原方程为恰当方程
又2xydx-2xdx+dy=0
所以，d(y-x)=0
故所求的解为y-x=C
7.(e+3y)dx+2xydy=0
解：edx+3ydx+2xydy=0
exdx+3xydx+2xydy=0
所以，d e( x-2x+2)+d( xy)=0
即d [e( x-2x+2)+ xy]=0
故方程的解为e( x-2x+2)+ xy=C
8. 2xydx+( x+1)dy=0
解：2xydx+ xdy+dy=0
d( xy)+dy=0
即d(xy+y)=0
故方程的解为xy+y=C
9、
解：两边同除以 得
即，
故方程的通解为
10、
解：方程可化为：
即，
故方程的通解为： 即：
同时，y=0也是方程的解。
11、
解：方程可化为：
即：
故方程的通解为：
12、
解：方程可化为：

故方程的通解为 ： 即：
13、
解：这里 ，
方程有积分因子
两边乘以得：方程是恰当方程
故方程的通解为：

即：
14、
解：这里
因为
故方程的通解为：
即：
15、
解：这里
方程有积分因子： 两边乘以得：
方程为恰当方程
故通解为 ：
即：
16、
解：两边同乘以得：

故方程的通解为：
17、试导出方程具有形为和的积分因子的充要条件。
解：若方程具有为积分因子，
（是连续可导）

令
， .
，
，
，
方程有积分因子的充要条件是：是的函数，
此时，积分因子为 .
令
，

此时的积分因子为
18. 设及连续,试证方程为线性方程的充要条件是它有仅依赖于的积分因子.
证:必要性 若该方程为线性方程,则有 ,
此方程有积分因子,只与有关 .
充分性 若该方程有只与有关的积分因子 .
则为恰当方程 ,
从而 , ,
.
其中 .于是方程可化为
即方程为一阶线性方程.
20.设函数f(u)，g(u)连续、可微且f(u)g(u),\，试证方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0
有积分因子u=(xy[f(xy)-g(xy)])
证：在方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0两边同乘以u得：
uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=0
则=uf+uy+yf=+-yf
==
=
而=ug+ux+xg=+- xg
==
故=，所以u是方程得一个积分因子
21．假设方程（2.43）中得函数M（x,y）N(x,y)满足关系=
Nf(x)-Mg(y),其中f(x),g(y)分别为x和y得连续函数，试证方程（2.43）
有积分因子u=exp(+)
证明：M(x,y)dx+N(x,y)dy=0
即证u+M=u+N
u(-)=N- Mu(-)=Nef(x)
-M eg(y)u(-)=e(Nf(x)-Mg(y))
由已知条件上式恒成立，故原命题得证。
22、求出伯努利方程的积分因子.
解：已知伯努利方程为：
两边同乘以，令，
线性方程有积分因子：
，故原方程的积分因子为：
，证毕！
23、设是方程的积分因子，从而求得可微函数，
使得试证也是方程的积分因子的充要条件是其中是的可微函数。
证明：若，则
又
即为的一个积分因子。
24、设是方程的两个积分因子，且常数，求证（任意常数）是方程的通解。
证明：因为是方程的积分因子
所以 为恰当方程
即 ，
下面只需证的全微分沿方程恒为零
事实上：

即当时，是方程的解。证毕！