江西省鹰潭市2020-2021学年高二数学上学期期末质量检测试题-理.doc

江西省鹰潭市2020-2021学年高二数学上学期期末质量检测试题 理

江西省鹰潭市2020-2021学年高二数学上学期期末质量检测试题 理

年级：
姓名：

7

江西省鹰潭市2020-2021学年高二数学上学期期末质量检测试题 理
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．注意事项：
1．第Ⅰ卷的答案填在答题卷方框里，第Ⅱ卷的答案或解答过程写在答题卷指定处，写在试题卷上的无效．
2．答题前，考生务必将自己的“姓名”、“班级’’和“考号”写在答题卷上．
3．考试结束，只交答题卷．

第Ⅰ卷 (选择题共60分)
一、选择题（每小题5分，共12个小题，本题满分60分）
1．已知命题；命题，且是的充分不必要条件，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
2．某厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…38，39．现要从中选出5个，
利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，选出第5个零件编号是（ ）
0647 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6233 2616 8045 6011 1410
9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179
A．36 B．16 C．11 D．14
3．执行如图所示的程序框图，若输出的，则判断框内应填入的条件是（ ）
A． B． C． D．
4．已知命题“，”是假命题，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．某校高一、高二、高三共有2800名学生，为了解暑假学生在家的每天学习情况，
计划用分层抽样的方法抽取一个容量为56人的样本，已知从高二学生中抽取的人
数为19人，则该校高二学生人数为（ ）
A．900 B．950 C．1000 D．1050
6．双曲线的左右焦点分别为、，若是双曲线左支上的一个动点，则的
内切圆的圆心可能是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，梯形中，，，点为空间内任意一点，
，，，向量，则、、分
别是（ ）
A．、、 B．、、
C．、、 D．、、
8．已知双曲线与不过原点且不平行于坐标轴的直线相交于两点，线段的
中点为，设直线的斜率为，直线的斜率为，则（ ）
A． B． C．2 D．-2
9．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是互相独立的，灯亮
的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，点在抛物线上，当
时，的面积为（ ）
A．1 B． C．2 D．
11．如图放置的边长为1的正方形沿轴顺时针滚动一周，设顶点的运动轨迹与轴所围
区域为，若在平面区域内任意取一点，则所
取的点恰好落在区域内部的概率为
A． B． C． D．
12．已知双曲线的右焦点为F，关于原点对称的两点A、B分别在双曲
线左、右两支上，，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
第Ⅱ卷 (非选择题共90分)

二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）
13．已知非零向量及平面向量是平面的一个法向量,则是“向量所在直线在平
面内”的____________条件.
14．某次物理考试，小明所在的学习小组六名同学的分数茎叶图如图所示，发现有一个
数字（茎叶图中的x）模糊不清，已知该组的物理平均分为88分，则数字x的值为
________.
15．如图，在圆心角为，半径为2的扇形AOB中任取一点P，则的
P
B
概率为________.
A
O
16．已知抛物线上一点到焦点F的距离为3，
过焦点F的直线l与抛物线C相交于M、N两点，点P到直线l的距离为d，当
d取得最大值时，的面积等于________．

三、解答题（本大题共6小题，17题10分，18—22题均为12分，共计70分，解答时应写出解答过程或证明步骤）
17．已知命题：，，命题：，.
（1）若为真，求实数的取值范围；
（2）若为假，为真，求实数的取值范围.

18．如图，在三棱柱中，是正方形的中心，，平面，
且．
（1）求与平面所成角的正弦值；
（2）在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，求出
的长；若不存在，说明理由．

19．“中国人均读书本（包括网络文学和教科书），比韩国的本、法国的本、日本的本、
犹太人的本少得多，是世界上人均读书最少的国家”，这个论断被各种媒体反复引用.出现这
样统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国
是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读
书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合
理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天名读书者进行调查，将他
们的年龄分成段：，，，，，
后得到如图所示的频率分布直方图.问：
（1）估计在这名读书者中年龄分布在的人数；
（2）求这名读书者年龄的平均数和中位数；
（3）若从年龄在的读书者中任取名，求这两名读书
者年龄在的人数恰为的概率.

20．已知抛物线，是抛物线的焦点，过点的直线与相交于､两点，为
坐标原点
（Ⅰ）设的斜率为1，求以为直径的圆的方程；
（Ⅱ）设，求直线的方程

21．如图，平行六面体的下底面是边长为的正方形,，且点
在下底面上的射影恰为点．
（Ⅰ）证明：面；
（Ⅱ）求二面角的大小．

22．已知的离心率为，、分别为椭圆的左、右焦点，直线过
点与椭圆交于、两点，当直线的斜率为时，线段的长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且与直线垂直的直线与椭圆交于、两点，求四边形面积的最小值.
鹰潭市2020——2021学年度上学期期末质量检测
高二数学试卷（理科）参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
B
A
B
B
C
A
C
C
C
B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13、必要不充分 14、3 15、 16、54
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
解：（1）若为真：，解得 ………（2分）
∵为真，∴为假，∴或. ……（5分）
（2）由（1）得：真，若为真：，，∴，
∵为假，为真，∴、一真一假.
①真假：，∴； ……………（7分）
②假真：，∴. …………（9分）
综上：的取值范围是. …………（10分）
18．（本小题满分12分）
解： （1）以点为坐标在原点建立空间直角坐标系，如图：
则，，，，，
（1），，
设平面的一个法向量
则，即，令得，
设与平面所成角为，
，， ……………（6分）
（2）假设存在点，设，且，
，，
设平面的法向量，
则，即，令得，
平面平面，
，即，得，
存在这样的点使得平面平面，且．………（12分）
19．（本小题满分12分）
解：(1)由频率分布直方图知，年龄在的频率为所以，名读书者年龄分布在的人数为人. ………（3分）
（2）名读书者年龄的平均数为：
设中位数为，解之得，
即名读书者年龄的中位数为岁. ………（7分）
（3）年龄在的读书者有人，记为，；年龄在的读数者有人，记为，，，从上述人中选出人，共有如下基本事件： ,共有基本事件数为个,记选取的两名读者中恰好有一人年龄在中为事件，
则事件包含的基本事件数为个:
故 …………（12分）
20．（本小题满分12分）
解：（1）由题意，得，直线的方程为．代入抛物线方程，得，设，两点坐标为，，，，中点的坐标为，，因为，所以，，且
所以圆心为，由抛物线定义，得（其中．
所以以为直径的圆的方程为； ………（6分）
（2）因为，三点，，共线且点，在点两侧，所以
设，两点坐标为，，，，则，，，，
所以①设直线的方程为或（不符合题意，舍去）．
代入抛物线方程，得，因为直线与相交于，两点，
所以，，，，②
由①②，得方程组，故直线的方程为 ………（12分）
21．（本小题满分12分）
解：(I)点在下底面ABCD上的射影恰为D点,点在下底面ABCD上的射影恰为C点.即面ABCD,又,面,,又,,,即为正方形,,面. ………（6分）
建立空间直角坐标系如图所示,则,,,

设平面的法向量为则即
令,得设平面的法向量为,则即,令,得,,又二面角的为锐二面角,所以其大小为. ………（12分）
22．（本小题满分12分）解：（1）由题意得：，，.
当直线斜率为时，与上顶点重合，，，
设，则，，即，解得：，，解得：，，椭圆的方程为 ……（4分）
（2）由（1）知：.当直线斜率不存在时，将代入椭圆方程得，可得，此时，，四边形面积为；当直线的斜率为零时，同理可得四边形的面积为；当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为，设点，，则直线的方程为，联立，消去并整理得，恒成立，由韦达定理得，，由弦长公式可得，同理可得，所以，四边形的面积为 ………（8分），
当且仅当时，即当时，等号成立.
综上所述，四边形面积的最小值为 ………（12分）