广西河池市2020-2021学年高二数学上学期期末教学质量检测试题-理.doc

广西河池市2020-2021学年高二数学上学期期末教学质量检测试题 理

广西河池市2020-2021学年高二数学上学期期末教学质量检测试题 理

年级：
姓名：

12

广西河池市2020-2021学年高二数学上学期期末教学质量检测试题 理
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
3.本卷命题范围：必修5，选修2－1．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.抛物线的焦点坐标为（ ）
A.（4，0） B.（8，0） C.（－4，0） D.（－8，0）
2.不等式的解集是（ ）
A. B. 或
C. D.或
3.在中，已知，则的面积为（ ）
A. B.或 C. D.
4.已知数列为等差数列，为数列的前项和，，则等于（ ）
A.5 B.15 C.30 D.35
5.已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
6.已知为实数，则下列命题中正确的是（ ）
A.若且，则 B.若且，则
C.若，则 D. 若，则
7.函数的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，，则线段的长度是（ ）

A. B.
C. D.
9.等比数列的前项和为，则（ ）
A.－10 B.－16 C.－22 D.－8
10.设是椭圆的左、右焦点，过点且斜率为的直线与直线相交于点，若为等腰三角形，则椭圆的离心率的值是（ ）
A. B. C. D.
11.已知数列的前项和为，对任意的都有，则（ ）
A. B. C. D.
12.在中，内角所对的边分别为，若，角的角平分线交于点，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.命题“”的否定是 ．
14.直线被抛物线截得的弦长为 ．
15.已知双曲线的右焦点为，过点且与轴垂直的直线与双曲线和双曲线的一条渐近线分别相交于两点（在同一象限内），若为线段的中点，且，则双曲线的标准方程为 ．
16.数列满足，则的最大值为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17.（本小题满分10分）
已知命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题：“曲线表示双曲线”．
（1）请判断是否是的必要不充分条件，并说明理由；
（2）若命题“且”是真命题，求实数的取值范围．
18.（本小题满分12分）
已知的内角的对边分别为，且．
（1）求；
（2）若，如图，为线段上一点，且，求的长．

19.（本小题满分12分）
已知动点到点为常数且的距离与到直线的距离相等，且点在动点的轨迹上．
（1）求动点的轨迹的方程，并求的值；
（2）在（1）的条件下，已知直线与轨迹交于两点，点是线段的中点，求直线的方程．
20.（本小题满分12分）
设数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
21.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，为上的动点．
（1）若平面，请确定点的位置，并说明理由；
（2）设，若，求二面角的正弦值．

22.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，短轴长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点分别为椭圆的左、右顶点，点为椭圆的下顶点，点为椭圆上异于椭圆顶点的动点，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，证明：直线与轴垂直．
河池市2020年秋季学期高二年级期末教学质量检测•数学（理科）
参考答案、提示及评分细则
1.C 由得，故焦点坐标为．
2.A 因为，所以，解得．
3.B 由余弦定理得，解得或，所以的面积或．
4.D 因为为等差数列，，得，所以．
5.B 双曲线的离心率为，即，又，解得：，则其渐近线方程为．
6.D 当时，不符合，故A错误，由于，所以，所以B选项不正确；如，但是，所以C错误；当中至少有一个为零时，；当且时，，有，故D选项正确．
7.A 因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为．
8.C 设，因为，所以．
9.A 根据题意，等比数列中，若，则，由，则，得，解得，又由，则有，解得，所以，有．
10.D 由题意知为等腰三角形，则必有，记直线与轴的交点为，可得，有，得．
11.C 数列满足，对任意的都有，则有，可得数列为常数列，有，得，得，又由，所以．
12.B 由正弦定理可得：，由余弦定理可得：，所以，由，有，得，所以，所以．
13.．
14.5 联立方程，消去后整理为，可得，由直线过抛物线的焦点，故所截得的弦长为．
15. 设焦点的坐标为，点都在第一象限，
代入双曲线的方程，可求得点的坐标为，代入渐近线方程可求得点的坐标为，有，解得，故双曲线的标准方程为．
16.17 由，得有，有；又由，有；再由，有，得，当时，数列为等差数列，由和，可得，此时，，故的最大值为．
17.解：（1）命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，
若为真命题，则满足，…………2分
解得且，即实数的取值范围…………3分
若命题为真，则，即…………5分
由集合与不存在包含关系，故不是的必要不充分条件…………6分
（2）若“且”为真，有，………………8分
可得且
故实数的取值范围为．…………10分
18.解：（1）根据正弦定理得，…………2分
整理得…………4分
因为，所以，可得…………6分
（2）在中，由余弦定理得：…………8分
将（1）中所求代入整理得：，解得或（舍），即…………10分
在中，可知，有………………11分
所以．…………12分
19.解：（1）由题意知，动点的轨迹为抛物线，…………2分
设抛物线的方程为，则，所以，…………4分
所以抛物线的方程为…………5分
故…………6分
（2）设点的坐标分别为，可得…………8分
有，可得，有，可得直线的斜率为，…………11分
故直线的方程为，整理为．…………12分
20.解：（1）数列满足
当时，…………3分
两式作差有，所以…………4分
当时，，上式也成立…………5分
所以…………6分
（2）…………7分
则，
，…………8分
……11分
所以．…………12分
21.解：（1）如图，连接与交于，连接…………1分
平面，平面平面平面，…………2分
此时为的中点．…………4分

（2）由两两垂直，以点为坐标原点，向量方向分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．各点坐标如下：
…………5分
由，有
…………6分
设平面的法向量为
由，有，取，有…………8分
设平面的法向量为，
由，有，取，有…………10分
又由，有
故二面角的正弦值为．…………12分
22.解：（1）设椭圆的焦距为，由题意有：…………2分
解得…………3分
故椭圆的标准方程为．…………4分
（2）证明：由（1）知，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为
设点的坐标为（其中），有，可得…………5分
直线的方程为，整理为
直线的方程为，整理为…………6分
直线的方程为
联立方程，解得，故点的横坐标为…………8分
直线的方程为
联立方程，解得：，故点的横坐标为…………10分
又由

故点和点的横坐标相等，可得直线与轴垂直．…………12分