基于改进变结构趋近律的机械臂滑模控制系统.pdf

计算机与现代化JISUANJI YU XIANDAIHUA2023年第12期总第340期收稿日期：2022-12-21；修回日期：2023-02-10基金项目：国家自然科学基金资助项目（62133008）作者简介：宋涛涛（1992），男，河南信阳人，硕士研究生，研究方向：智能控制与机器人系统，E-mail：；通信作者：李艳萍（1967），女，山东济南人，教授，硕士生导师，研究方向：智能控制与机器人系统，E-mail：；李洪港（1997），男，山东德州人，硕士研究生，研究方向：智能控制与机器人系统，E-mail：；韩春雪（1999），女，山东德州人，硕士研究生，研究方向：智能控制与机器人系统，E-mail：。文章编号：1006-2475（2023）12-0014-050引言机械臂是一个典型的不稳定、非线性、多变量且具有强耦合性的控制系统1，在各种场景都具有广泛的应用属性。在装配、钻孔、打磨等各个领域，都需要机械臂高精度的轨迹跟踪。但是作为一个复杂性的被控对象，机械臂本身具有模型难确定和易受干扰影响的缺点，使得标准的数学模型较难确定下来。常见的控制器如PID控制在受到外部干扰时，其动态特性和稳定性难以控制。因此，为了保证机械臂的控制效果，国内外的学者提出了许多类型的控制算法，比如鲁棒控制2-4、自适应控制5、滑模控制6-7、模糊控制8-9、智能优化算法控制10-11和多种控制策略结合12-13。其中滑模控制（SMC）以其抗干扰能力强、易实现和控制效果良好的特点得到了广泛的应用。但是，滑模控制的切换特性使得机械臂存在着抖振现象，造成控制精度下降，使系统的鲁棒性下降。因此消除抖振现象势必能够提高系统的控制效果。为了解决滑模控制器内部存在的抖振和收敛速度问题，各领域的学者提出了各种优化方法。文献14 使用改进饱和函数来替代传统切换函数，在保证饱和宽度下，调整指数因子削弱抖振，提高控制精度。但是由于误差为非零值，系统的鲁棒性减弱。文献15 利用幂次趋近律和反双曲正弦函数设计了一种新型变结构幂次趋近律，设计了一种自适应滑模控制减弱了高频震颤现象。但是收敛时间较长，逼近效果降低。文献 16 提出了一种功率指数趋近律降低了到达滑模面的抖振效应，减少了到达时间，但未考虑非线性复杂系统的应用。文献 17 通过分块RBF逼近模型的滑模控制方式，针对不同阶段的趋近律进行基于改进变结构趋近律的机械臂滑模控制系统宋涛涛，李艳萍，李洪港，韩春雪（山东建筑大学信息与电气工程学院，山东 济南 250101）摘要：针对滑模控制在机械臂的应用领域中出现的收敛速度较慢和系统抖振问题，以提高机械臂动态特性为目标，设计一种改进变结构趋近律，利用分组特点与反双曲正弦函数的特性优化收敛速度，同时对系统的抖振作出有效的抑制。利用第二类拉格朗日方程建立二自由度机械臂的数学模型，且针对系统中存在的摩擦和其他不可测干扰问题，以RBF神经网络对系统模型进行逼近。基于Lyapunov函数证明系统跟踪的稳定性。最后在Simulink中与PID、等速趋近律和快速幂次趋近律等方法进行实验对比，验证改进变结构趋近律算法的可行性和稳定性。关键词：机械臂；滑模控制；改进变结构趋近律；RBF神经网络；抖振中图分类号：TP241文献标志码：ADOI：10.3969/j.issn.1006-2475.2023.12.003Sliding Mode Control System of Manipulator Based on ImprovedVariable Structure Reaching LawSONG Tao-tao，LI Yan-ping，LI Hong-gang，HAN Chun-xue（School of Information and Electrical Engineering，Shandong Jianzhu University，Jinan 250101，China）Abstract：Aiming at the problems of slow convergence speed and system chattering in the application field of sliding mode control in the manipulator，an improved variable structure reaching law is designed to improve the dynamic characteristics of the manipulator.The convergence speed and chattering suppression of the system are optimized by using the grouping characteristicsand the inverse hyperbolic sine function.The mathematical model of the two degree of freedom manipulator is established by using the second Lagrange equation，and the RBF neural network is used to approximate the system model for the friction and otherunmeasurable interference problems in the system.The stability of the system tracking is proved by Lyapunov function method.Finally，the feasibility and stability of the improved variable structure reaching law algorithm are verified by the experimentalcomparison with PID，constant rate reaching law and fast power reaching law in Simulink.Key words：manipulator；sliding mode control；improved variable structure approach law；RBF neural network；chattering2023年第12期设计，降低了跟踪误差。文献 18 结合双幂次趋近律和双曲正切趋近律的特点，提出改进趋近律对系统的抖振做出了有效控制，但收敛速度仍然存在一定的降低。考虑到传统滑模控制的趋近律切换函数会造成系统的抖振现象，并且在趋近滑模面的过程是渐进收敛的原因，本文在反双曲正弦函数和快速幂次趋近律的特点上设计一种改进变结构趋近律来提高收敛速度和削弱系统的抖振。本文利用快速幂次趋近律的特点，在远离滑模态时以较大的速度趋近滑模态，同时在趋近滑模时以较小的控制增益趋近滑模态，以降低抖振。同时，当趋近滑模态时，利用反双曲正弦函数光滑连续的特性可使系统在有限时间内到达滑模面，加快收敛速度。通过动力学搭建机械臂数学模型，利用神经网络的万能逼近特性，逼近线性系统的非线性部分、不确定项和未知扰动，可以有效地补偿控制器的干扰。通过Matlab/Simulink对控制算法进行实现，对比其他控制方法，验证了该改进趋近律在加快系统收敛速度和降低抖振方面具有有效性和可行性。1机械臂模型描述拉格朗日法19通过计算控制系统的动能和势能，分别对广义坐标和其导数求导得标准公式为：ddt()Li-Li=i（1）式中：L=K-P，K为系统的总动能，P为系统的总势能；i和i分别为各个关节的角度和角速度，i为各个关节的驱动力矩。图1二自由度机械臂模型图1为二自由度的旋转机械臂，图中忽略了关节连接处质量。令连杆1和连杆2的质量分别为m1与m2，连杆的长度分别为l1与l2，连杆1与x面的夹角为1，连杆2与连杆1的夹角为2。设连杆的重心位于连杆中心处，通过拉格朗日方程建立数学模型为：M()+C(，)+G()+d=（2）其中，M（）为正定的质量惯性矩阵20，C(，)为哥氏力、离心力矩阵，G（）为重力矩阵，d为阻力矩，为机械臂的输入力矩。性质1 惯性矩阵M（）为对称的正定矩阵，存在正数m1、m2且满足以下条件：m1 x2 xTM()x m2 x2，x Rn（3）性质2M()-2C(，)是一个斜对称矩阵，满足：xTM()-2C(,)x=0,x Rn（4）求解式（2）中参数为：M()=m11m12m21m22（5）m11=13(m1l21+m2l22)+m2(l21+l1l2cos(2)m12=m21=13m2l22+12m2l1l2cos(2)m22=0C(,)=c11c12c21c22（6）c11=-m2l1l2sin(2)2c12=c21=-12m2l1l2sin(2)2c22=0G()=g1g2（7）g1=gl1cos(1)()12m1+m2+12l2cos(1+2)g2=12m2gl2cos(1+2)表1为本系统中进行仿真时的参数表。表1机械臂参数m1/kg1m2/kg3l1/m1l2/m1g/（m/s2）9.82控制器设计2.1滑模函数假设机械臂的期望轨迹角度为d，实际角度为，定义期望轨迹与实际轨迹之间的误差e和其导数e为：e=d-e=d-（8）将滑模函数定义为线性滑模函数：s=ce+e（9）其中，c=c1，c2，cn-1T，ci 0。在控制过程中，参数c1，c2，cn-1应当满足于Hurwitz判据。设F为关节之间存在的摩擦力，记M=M（）、C=C(，)、G=G（），由式（6）和式（1）推算可得过程为：Ms=M(d-+ce)=M(d+ce)+(C+G+F+d-)=M(d+ce)-Cs+C(d+ce)+G+F+d-=-Cs-+d+f（10）取：f=M(d+ce)+C(d+ce)+G+F（11）2.2趋近律设计滑模控制的运动过程主要分为2个阶段21：趋近运动和滑模运动。趋近运动过程是系统在任意的初始状态逐渐逼近到滑模面的过程，而趋近律可以体现在趋近的速度。同时典型的趋近律有：1）等速趋近律：s=-sgn(s)，0（12）其中，系数 表示趋近滑模面的速率。由式（12）可宋涛涛，等：基于改进变结构趋近律的机械臂滑模控制系统15计算机与现代化2023年第12期知，越大，则速率越低，越小，速率越高，但是抖振会有所增加。2）指数趋近律：s=-sgn(s)-s，0，0（13）指数趋近律具有较大的趋近速度，能够快速到达滑模面，但是仅依靠指数项无法保证能在有限的时间内到达滑模面，因此需要增加等速趋近律项。在趋近滑模面速度不为零的前提下可以保证趋近过程在有限时间内可达，并且可以增大的同时减小，降低消减系统的抖振。3）幂次趋近律：s=-|ssgn(s)，0，0 1-2arsinh(s)-2|ssgn(s)-k2s，|s 1（15）式中，1，（0，1），1、2、1、2、k1、k2为趋近律的正系数参数。收敛性证明：ss=-1|s-1|s+1-k1s2，|s 1-2|s-2|s+1-k2s2，|s 1（16）由于系数均为正数，得证lims 0ss 0，满足收敛条件，s最终收敛至滑模面22。当在初始条件下，运动点偏离滑模面较大时，运动点会被|s 1项控制，占据主导作用，同时幂次趋近律保证快速趋近滑模面。当|s 1时，占据主导作用，仍然使靠近滑模面时依然有快速的趋近速度。同时反双曲正弦函数arsinh（s）保证了趋近过程的顺滑性，降低了抖振的影响。在相同条件下，本文对等速趋近律、幂次趋近律、快速幂次趋近律和改进变结构趋近律趋近过程进行对比实验，如图2所示。图2滑模相轨迹由图2可以看出，改进变结构趋近律在远处和靠近滑模面都表现出了快速趋近的特性，在趋近的同时还能有效地降低系统抖振现象。3神经网络设计径向基函数（RBF）神经网络23是一种基于生物神经的数据处理模型，模拟神经元的传递方式进行不断的学习，其中神经网络包含节点和连接的阈值。RBF是一种监督学习网络，具有收敛速度快、可以逼近非线性函数的特点。RBF的分层图如图3所示。图3RBF神经网络结构由式（11）可知f代表模型信息，同时在运动过程中，需要对其进行非线性逼近。设置输入为xk=x1x2 xn，k 1，2，其中为输入变量x的维数。本文中的核函数选择高斯函数hj，即式（17），其中，m为隐含层的个数。hj=exp -x-aj22b2，j=1，2，m（17）f(x)=WTh（18）其中，a为mn的矩阵，b为标准化的常系数，W为阈值构成的系数矩阵，f（x）为输出矩阵。采用神经网络的输出来逼近机械臂的模型中的f，设得到输出的逼近结果为f(x)，则得式（19）：f(x)=WTh（19）代入式（18）得：f(x)-f(x)=(WT-WT)h+（20）令WT=WT-WT，为逼近的误差。设置本文的控制输入为：=WTh+Kvs-v（21）式中，Kv为正控制系数，v为用来补偿RBF的误差和干扰的力矩d的鲁棒项。取：v=-1arsinh(s)-1|ssgn(s)-k1s，|s 1-2arsinh(s)-2|ssgn(s)-k2s，|s 1（22）将式（20）与式（21）代入式（10）可得：Ms=-(Kv+C)+d+WTh-v（23）4稳定性分析李雅普诺夫（Lyapunov）稳定性24可以描述一个动力系统的稳定性。如果该动力系统在任意初始状态下能够回归到平衡态，则称为李雅普诺夫稳定。本滑模面等速趋近律幂次趋近律快速幂次趋近律改进分组趋近律00.020.040.060.080.10.120.14 0.160.18e1.510.50-0.5-1-1.5-2-2.5de162023年第12期文定义李雅普诺夫（Lyapunov）函数L为：L=12sTMs+12tr()WTH-1W（24）其中，tr为矩阵的求迹运算；H为斜对称矩阵diag（h1，h2，h2m），且hi0。对两边求导得：L=-sTKvs+12sT(M-2C)s+trWT()H-1W+hsT+sT(+d+v)（25）取自适应律W为：W=-HhsT（26）代入公式（26）和数学模型的性质1，可得到斜对称物理特性，sT(M-2C)s=0。L=-sTKvs+sT(+d+v)（27）由于sT(+d+v)0可得L 0。且 L0属于正定，L 0属于半负定，证明根据 LaSalle不变性定理，当且仅当s=0，L=0，即闭环系统属于渐进稳定。5仿真分析本文设置2杆角度的初始位置为=3.0 2.0T，而二自由度机械臂的目标期望轨迹角度设置为：d=2sin(0.2t)2sin(0.2t)T；干扰项参数设置为：d=0.1sin(t)0.1sin(t)T，误差项=0.1 0.1T和正常系数参数v=diag(100,100)。同时令RBF神经网络的输入取：x=ededdddT，高斯函数的中心点c=0.5-2-1 0 1 2T，令标准化系数常数 b=3，H=diag（100，100，100）。本文通过基于重力补偿的PID、等速趋近律、快速幂次趋近律与改进变结构趋近律之间进行控制对比实验，针对2轴机械臂模型进行实验仿真。机械臂的角度和角速度的跟踪仿真结果如图4图7所示。图4关节1角度跟踪通过Simulink搭建仿真模型，对模型进行轨迹跟踪分析。如图4和图5所示，针对角度跟踪效果，基于改进的趋近律相较于传统PID控制、等速趋近律控制和快速趋近律控制逼近速度更快，波动性较低。由图6和图7可知，改进分组趋近律对角速度的跟踪效果良好。且由图8和图9的误差效果比较可知，改进型变结构趋近律误差收敛速度更快，保证在较短的时间内快速回归到误差零点，能够有效地降低抖振，而PID和等速趋近律收敛速度较慢，快速幂次PID快速幂次等速幂次改进幂次期望角度2468101214161820time/s关节1角度跟踪43210-1-20121.510.50图5关节2角度跟踪图6关节1角速度跟踪图7关节2角速度跟踪PID快速幂次等速幂次改进幂次期望角度05101520time/s关节2角度跟踪2.521.510.50-0.5-1-1.5-2-2.50121.50.5005101520time/sPID快速幂次等速幂次改进幂次期望角度012320-2-41050-5-10-15关节1角速度跟踪PID快速幂次等速幂次改进幂次期望角度05101520time/s01220-250-5-10-15-20关节2角速度跟踪图8关节1误差曲线PID快速幂次等速幂次改进幂次05101520time/s10.50-0.5-1-1.5-2-2.5-3关节1误差e宋涛涛，等：基于改进变结构趋近律的机械臂滑模控制系统17计算机与现代化2023年第12期趋近律存在速度收敛较慢且具有一定的抖振现象。图9关节2误差曲线6结束语本文建立了一种二自由度机械臂的模型，通过分析机械臂，代入已知参数，计算拉格朗日方程，得到机械臂的数学模型和状态方程。基于等速趋近律和幂次趋近律，提出了改进型变结构趋近律方法。分析了其抖振特性和趋近速率，验证了其能够有效地削弱系统的抖振现象和提高趋近速度。基于Lyapunov稳定性理论证明了系统必然趋于稳定，通过仿真结果表明改进趋近律有着更快的趋近速度和降低抖振的特性。参考文献：1 杨明，张如昊，张军，等.SCARA四轴机器人控制系统综述 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