高一数学复习专题四：点线面之间的平行垂直关系.doc

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专题四《点线面之间的平行垂直关系》

一、四个公理
公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内
公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．
公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
公理4（平行公理）：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

Ø 典型例题

1. 下面四个说法中，正确的个数为（　　）
（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合
（2）两条直线可以确定一个平面
（3）若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l
（4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内
A．1　　 B．2　　 C．3　 D．4

2. 下列命题中正确命题的个数是（ ）
（1） 三点确定一个平面
⑵ 若点P不在平面内，A、B、C三点都在平面内，
则P、A、B、C四点不在同一平面内
⑶ 两两相交的三条直线在同一平面内
⑷ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
A.0 B.1 C.2 D.3
二、线面、面面关系

三、线面角、平面角（书P66）

Ø 典型例题
1. 给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行，
那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，
那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线
不垂直的直线与另一个平面也不垂直.
其中，为真命题的是( )
A．①和② B．②和③
C．③和④ D．②和④

2. 设是两个不同的平面，是一条直线，
以下命题正确的是( )
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则

3. 如果平面 a 外有两点A、B，它们到平面a的距离都是，
则直线AB和平面a的位置关系一定是( )
A、平行 B、相交
C、平行或相交 D、AB Ì a
4. 已知是两条不同直线，是三个不同平面，
5. 下列命题中正确的是( )
A、 B、
C、 D、

6. 在四棱锥中，，，
且DB平分，E为PC的中点，,
（Ⅰ）证明
（Ⅱ）证明
（Ⅲ）求直线BC与平面PBD所成的角的正切值

（1） 证明：设，连结EH，
在中，因为AD=CD，且DB平分，
所以H为AC的中点，
又有题设，E为PC的中点，故,
又,
所以
（2） 证明：因为，，
所以
由（1）知，,
故
(3)解：由可知，
BH为BC在平面PBD内的射影，
所以为直线与平面PBD所成的角。
由,

在中，,
所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为。
7. 如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，
PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，PA＝AD＝a．
（1）求证：MN∥平面PAD；（2）求证：平面PMC⊥平面PCD．

P
N
C
B
M
A

D
E
（1）证明：如答图所示，设PD的中点为E，连结AE、NE，
由N为PD的中点知ENDC，
又ABCD是矩形，∴DCAB，∴ENAB
又M是AB的中点，∴ENAN，
∴AMNE是平行四边形
∴MN∥AE，而AE平面PAD，NM平面PAD
∴MN∥平面PAD
⑵证明：∵PA＝AD，∴AE⊥PD，
又∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，
∴CD⊥PA，而CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥AE， ∵PD∩CD＝D，∴AE⊥平面PCD，
∵MN∥AE，∴MN⊥平面PCD，
又MN平面PMC，∴平面PMC⊥平面PCD.
8. 如图所示，四棱锥中，
底面为正方形，平面，
，E、F、G分别为、、的中点．
（1）求证：平面；（2）求证：面PBC⊥面PDC

A
B
C
D
E
F
G
P
（3）求三棱锥的体积．

证明：（1）∵，，分别为、、的中点．

A
B
C
D
E
F
G
P
∴EF∥DC, EG∥PB
∵PB平面PAB, EG平面PAB
∴EG∥平面PAB
∵底面为正方形
∴DC∥AB ∴EF∥AB
∵AB平面PAB, EF平面PAB
∴EF∥平面PAB
∵EF∩EG＝E，∴面EFG∥平面PAB，
∵PA 平面PAB ∴PA∥平面EFG
（2）∵PD⊥平面, CB平面ABCD
∴PD⊥CB
∵底面为正方形
∴DC⊥CB
∵PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PCD，
∵BC平面PBC ∴面PBC⊥面PCD
(3) ∵底面为正方形,
∴DC=AB=2
∵，，分别为、、的中点,
∴EFDC=1，PF=PD=1,CG=1
∵PD⊥DC ∴EF⊥PD
由（2）得BC⊥平面PCD，且G在BC上
∴CG为三棱锥的高

9. 如图所示：直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，，E为BB1中点，，D为AB的中点
（1）求证：CD平面A1ABB1；
（2）求二面角C—A1E—D的大小；
（3）求三棱锥A1—CDE的体积。

9、答案：（1）略，（2），（3）1

10. 如图，在三棱锥中，底面，
点，分别在棱上，且 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（1）求证：平面；
（2）当为的中点时，求与平面所成的角的大小；
（3）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由.

10、（1）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.
又，∴AC⊥BC.
∴BC⊥平面PAC.
（2）∵D为PB的中点，DE//BC，
∴，
又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，
∴△ABP为等腰直角三角形，∴，
∴在Rt△ABC中，，∴.
∴在Rt△ADE中，，
∴与平面所成的角的大小.
（3）∵AE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，
又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，
∴∠AEP为二面角的平面角，
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴.
∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时，
故存在点E使得二面角是直二面角.

1、A 2、A

Ø 典型例题
1、D
2、C
3、 C
4、D

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