中考专题练习-函数中因动点产生的相似三角形问题(含答案).pdf

-一-综合题讲解综合题讲解 函数中因动点产生的相似三角形问题函数中因动点产生的相似三角形问题 例题例题 如图 1，已知抛物线的顶点为 A（2，1），且经过原点 O，与 x 轴的另一个交点为 B。求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为）xx41y2若点 C 在抛物线的对称轴上，点 D 在抛物线上，且以 O、C、D、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求 D 点的坐标；连接 OA、AB，如图 2，在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 P，使得OBP 与OAB 相似？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，说明理由。分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以O、C、D、B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按 OB 为边和对角线两种情况 2.函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。例 1 题图图 1OAByxOAByx图 2-二-yxEQPCBOA练习练习 1、已知抛物线经过及原点2yaxbxc5 3(33)02PE，(0 0)O，（1）求抛物线的解析式（由一般式得抛物线的解析式为）225 333yxx（2）过点作平行于轴的直线交轴于点，在抛物线对称轴右侧且位于直线下方的抛PxPCyCPC物线上，任取一点，过点作直线平行于轴交轴于点，交直线于点，直线与直QQQAyxAPCBQA线及两坐标轴围成矩形是否存在点，使得与相似？若存在，求出点PCOABCQOPCPQBQ的坐标；若不存在，说明理由（3）如果符合（2）中的点在轴的上方，连结，矩形内的四个三角形QxOQOABC之间存在怎样的关系？为什么？OPCPQBOQPOQA，练习练习 2、如图，四边形 OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，将边 BC 折叠，使点 B 落在边 OA 的点 D 处。已知折叠，且5 5CE。3tan4EDA（1）判断与是否相似？请说明理由；OCDADE（2）求直线 CE 与 x 轴交点 P 的坐标；（3）是否存在过点 D 的直线 l，使直线 l、直线 CE 与 x 轴所围成的三角形和直线 l、直线 CE 与 y 轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由。练习练习 3、在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于两点xOy2(0)yaxbxc axAB，（点在点的左边），与轴交于点，其顶点的横坐标为 1，且过点和AByC(2 3)，(312)，Oxy练习 2 图CBEDA-三-（1）求此二次函数的表达式；（由一般式得抛物线的解析式为）223yxx（2）若直线与线段交于点（不与点重合），则是否存在这样的直线，:(0)l ykx kBCDBC，l使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点的坐标；若BOD，BACD不存在，请说明理由；(10)(3 0),(0 3)ABC，（3）若点是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角与PPCO的大小（不必证明），并写出此时点的横坐标的取值范围ACOPpx练习练习 4(2008 广东湛江市)如图所示，已知抛物线与轴交于 A、B 两点，与轴交于点 C21yxxy（1）求 A、B、C 三点的坐标（2）过点 A 作 APCB 交抛物线于点 P，求四边形 ACBP 的面积（3）在轴上方的抛物线上是否存在一点 M，过 M 作 MG轴于点 G，使以 A、M、G 三点为顶点xx的三角形与PCA 相似若存在，请求出 M 点的坐标；否则，请说明理由练习练习 5、已知：如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，点的坐标分ABC90ACBAC，别为，(3 0)A ，(10)C，3tan4BAC（1）求过点的直线的函数表达式；点，AB，(3 0)A ，(10)C，B(13)，3944yx（2）在轴上找一点，连接，使得与相似（不包括全等），并求点的坐标；xDDBADBABCD（3）在（2）的条件下，如分别是和上的动点，连接，设，问是否PQ，ABADPQAPDQm存在这样的使得与相似，如存在，请求出的值；如不存在，请说明理由mAPQADBmOyClxBA1x 练习 3 图oCBAx练习 4 图PyACOBxy-四-参考答案参考答案例题例题、解:由题意可设抛物线的解析式为1)2x(ay2抛物线过原点，1)20(a02.41a抛物线的解析式为,即 1)2x(41y2xx41y2如图 1,当 OB 为边即四边形 OCDB 是平行四边形时,CDOB,由得,1)2x(41024x,0 x21B(4,0),OB4.D 点的横坐标为 6 将 x6 代入,得 y3,1)2x(41y2D(6,3);根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点 D,使得四边形 ODCB 是平行四边形,此时 D 点的坐标为(2,3),当 OB 为对角线即四边形 OCBD 是平行四边形时,D 点即为 A 点,此时 D 点的坐标为(2,1)如图 2，由抛物线的对称性可知:AOAB,AOBABO.若BOP 与AOB 相似,必须有POBBOABPO 设 OP 交抛物线的对称轴于 A点,显然 A(2,1)直线 OP 的解析式为 x21y由,xx41x212得6x,0 x21.P(6,3)过 P 作 PEx 轴,在 RtBEP 中,BE2,PE3,PB4.13PBOB,BOPBPO,PBO 与BAO 不相似,同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的 P 点.所以在该抛物线上不存在点 P,使得BOP 与AOB 相似.EAOABPyx图 2COABDyx图 1-五-练习练习 1、解：（1）由已知可得：解之得，333755 30420ababc25 3033abc，因而得，抛物线的解析式为：225 333yxx（2）存在设点的坐标为，则，Q()mn，225 333nmm 要使，则有，即,BQPBOCPPBQCPOC3333nm225 3333333mmm解之得，122 32mm，当时，即为点，所以得12 3m 2n Q(2 3 2)Q，要使，则有，即,BQPBOCPQBPOCCP3333nm225 3333333mmm解之得，当时，即为点，123 33mm，3m P当时，所以得13 3m 3n (3 33)Q，故存在两个点使得与相似QOCPPBQ点的坐标为Q(2 3 2)(3 33)，（3）在中，因为所以RtOCP3tan3CPCOPOC30COP当点的坐标为时，Q(2 3 2)，30BPQCOP 所以90OPQOCPBQAO 因此，都是直角三角形OPCPQBOPQOAQ，-六-又在中，因为所以RtOAQ3tan3QAQOAAO30QOA即有30POQQOAQPBCOP 所以，OPCPQBOQPOQA又因为，QPOPQAOA，30POQAOQ 所以OQAOQP练习练习 2解：（1）与相似。OCDADE理由如下：由折叠知，90CDEB，1290 139023.，又，90CODDAE。OCDADE（2），设 AE=3t，3tan4AEEDAAD则 AD=4t。由勾股定理得 DE=5t。358OCABAEEBAEDEttt由（1），得，OCDADEOCCDADDE，845tCDtt。10CDt在中，DCE222CDDECE，解得 t=1。222(10)(5)(5 5)ttOC=8，AE=3，点 C 的坐标为（0，8），点 E 的坐标为（10，3），设直线 CE 的解析式为 y=kx+b，Oxy图 1CBED312A图 2OxyCBEDPMGlNAF-七-解得1038kbb，128kb，则点 P 的坐标为（16，0）。182yx（3）满足条件的直线 l 有 2 条：y=2x+12，y=2x12。如图 2：准确画出两条直线。练习练习 3解：（1）二次函数图象顶点的横坐标为 1，且过点和，(2 3)，(312)，由解得1242393212.baabcab，123.abc，此二次函数的表达式为223yxx（2）假设存在直线与线段交于点（不与点重合），使得以为顶:(0)l ykx kBCDBC，BOD，点的三角形与相似BAC在中，令，则由，解得223yxx 0y 2230 xx1213xx，(10)(3 0)AB，令，得0 x 3y(0 3)C，设过点的直线 交于点，过点作轴于点OlBCDDDExE点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为B(3 0)，C(0 3)，A(10)，4345.ABOBOCOBC，22333 2BC要使或，BODBACBDOBAC已有，则只需，BB BDBOBCBA或.BOBDBCBAyxBEAOCD1x l-八-成立若是，则有3 3 29 244BO BCBDBAA而45OBCBEDE，在中，由勾股定理，得RtBDE222229 224BEDEBEBD解得（负值舍去）94BEDE93344OEOBBE点的坐标为D3 94 4，将点的坐标代入中，求得D(0)ykx k3k 满足条件的直线 的函数表达式为l3yx或求出直线的函数表达式为，则与直线平行的直线 的函数表达式为此时AC33yxACl3yx易知，再求出直线的函数表达式为联立求得点BODBACBC3yx 33yxyx ，的坐标为 D3 94 4，若是，则有3 42 23 2BO BABDBCA而45OBCBEDE，在中，由勾股定理，得RtBDE222222(2 2)BEDEBEBD解得（负值舍去）2BEDE321OEOBBE点的坐标为D(12)，将点的坐标代入中，求得D(0)ykx k2k 满足条件的直线 的函数表达式为l2yx存在直线或与线段交于点（不与点重合），使得以为顶点的:3l yx2yxBCDBC，BOD，-九-三角形与相似，且点的坐标分别为或BACD3 94 4，(12)，（3）设过点的直线与该二次函数的图象交于点(0 3)(10)CE，3(0)ykxkP将点的坐标代入中，求得(10)E，3ykx3k 此直线的函数表达式为33yx 设点的坐标为，并代入，得P(33)xx，223yxx 250 xx解得（不合题意，舍去）1250 xx，512xy，点的坐标为P(512)，此时，锐角PCOACO 又二次函数的对称轴为，1x 点关于对称轴对称的点的坐标为CC(2 3)，当时，锐角；5px PCOACO 当时，锐角；5px PCOACO 当时，锐角25pxPCOACO 练习四练习四解：（1）令，得 解得0y 210 x 1x 令，得0 x 1y A B C (1,0)(1,0)(0,1)（2）OA=OB=OC=BAC=ACO=BCO=145APCB，PAB=45过点 P 作 PE轴于 E，则APE 为等腰直角三角形x令 OE=，则 PE=Pa1a(,1)a a点 P 在抛物线上 21yx211aa 解得，（不合题意，舍去）12a 21a PE=3xBEAOC1x PC图 1CPByAox-十-四边形 ACBP 的面积=ABOC+ABPE=S1212112 12 3422 (3)假设存在PAB=BAC=PAAC45MG轴于点 G，MGA=PAC=x90在 RtAOC 中，OA=OC=AC=12在 RtPAE 中，AE=PE=AP=33 2设 M 点的横坐标为，则 M m2(,1)m m 点 M 在轴左侧时，则y1m ()当AMG PCA 时，有=AGPAMGCAAG=，MG=即 1m21m 2113 22mm解得（舍去）（舍去）11m 223m()当MAG PCA 时有=AGCAMGPA即 解得：（舍去）21123 2mm1m 22m M(2,3)点 M 在轴右侧时，则 y1m()当AMG PCA 时有=AGPAMGCAAG=，MG=1m21m 解得（舍去）2113 22mm11m 243m M 4 7(,)3 9()当MAGPCA 时有=AGCAMGPA即 21123 2mm解得：（舍去）11m 24m GM图 3CByPAoxGM图 2CByPAox-十一-M(4,15)存在点 M，使以 A、M、G 三点为顶点的三角形与PCA 相似M 点的坐标为，(2,3)4 7(,)3 9(4,15)练习练习 5、解：（1）点，(3 0)A ，(10)C，点坐标为4AC3tan434BCBACACB(13)，设过点的直线的函数表达式为，AB，ykxb由 得，直线的函数表达式为0(3)3kbkb 34k 94b AB3944yx（2）如图 1，过点作，交轴于点，BBDABxD在和中，RtABCRtADB ，BACDABRtRtABCADB点为所求又，D4tantan3ADBABC，49tan334CDBCADB134ODOCCD1304D，（3）这样的存在m在中，由勾股定理得如图 1，当时，RtABC5AB PQBDAPQABD则，解得133413534mm259m 如图 2，当时，PQADAPQADB则，解得133413534mm12536m ABCDQOyx图 1PABCDQOyx图 2P