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中考大题 05 四边形的证明与计算问题四边形在中考数学中是占比较大，考察内容主要有各个特殊四边形的性质、判定、以及其应用:考察题型上从选择到填空再到解答题都有，题型变化也比较多样;并且考察难度也都是中等和中等偏上，难度较大，综合性比较强.所以需要考生在复习这块内容的时候一定要准确掌握其性质与判定，并且会在不同的结合问题上注意和其他考点的融合.题型一：利用四边形的性质与判定求解1（2023广东深圳中考真题）（1）如图，在矩形中，为边上一点，连接，若=，过作 交于点，求证：；若矩形=20时，则 =_ （2）如图，在菱形中，cos=13，过作 交的延长线于点，过作 交于点，若菱形=24时，求 的值 （3）如图，在平行四边形中，=60，=6，=5，点在上，且=2，点为上一点，连接，过作 交平行四边形的边于点，若 =7 3时，请直接写出的长 2（2023甘肃兰州中考真题）综合与实践【思考尝试】（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图 1，在矩形 ABCD 中，E 是边上一点，于点 F，=试猜想四边形的形状，并说明理由；【实践探究】（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图 2，在正方形中，E 是边上一点，于点 F，于点 H，交于点 G，可以用等式表示线段，的数量关系，请你思考并解答这个问题；【拓展迁移】（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图 3，在正方形中，E 是边上一点，于点 H，点 M 在上，且=，连接，可以用等式表示线段，的数量关系，请你思考并解答这个问题 3（2023江苏徐州中考真题）【阅读理解】如图 1，在矩形中，若=,=，由勾股定理，得2=2+2，同理2=2+2，故2+2=2(2+2)【探究发现】如图 2，四边形为平行四边形，若=,=，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由【拓展提升】如图 3，已知为 的一条中线，=,=,=求证：2=22224【尝试应用】如图 4，在矩形中，若=8,=12，点 P 在边上，则2+2的最小值为_ 1.平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：2.平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质+一直角+一组邻边相等+一直角+一直角+一组邻边相等菱形平行四边形矩形正方形+一组邻边相等 四边形边角对角线对称性平行四边形对边平行且相等对角相等两条对角线互相平分中心对称矩形对边平行且相等四个角都是直角两条对角线互相平分且相等轴对称、中心对称菱形对边平行且四条边都相等对角相等两条对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角轴对称、中心对称正方形对边平行且四条边都相等四个角都是直角两条对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角轴对称、中心对称3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定四边形边角对角线平行四边形1）两组对边分别平行2)两组对边分别相等3)一组对边平行且相等两组对角分别相等两组对角线互相平分矩形1）平行四边形+一直角2）四边形+三直角平行四边形+两条对角线相等菱形1）平行四边形+一组邻边相等2）四边形+四条边都相等平行四边形+两条对角线互相垂直正方形矩形+一组邻边相等菱形+一直角两条对角线互相垂直平分且相等的四边形1（2023山东济南模拟预测）如图 1，在矩形中，点，分别在，边上，=，于点 (1)求证：四边形是正方形；(2)延长到点，使得=，判断 的形状，并说明理由(3)如图 2，在菱形中，点，分别在，边上，与相交于点，=，=60，=6，=2，求的长2（2023广东深圳模拟预测）【问题发现】（1）在一次小组合作探究课上，老师将正方形和正方形按如图所示的位置摆放，连接和，请直接写出线段与的数量关系_，位置关系_；【类比探究】（2）若将“正方形和正方形改成“矩形和矩形，且矩形 矩形，=3，=4，如图，点、三点共线，点在线段上时，若=12 105，求的长 【拓展延伸】（3）若将正方形和正方形改成菱形和菱形，且菱形菱形如图3，=5，=6，平分，点在射线上，在射线上截取，使得=35，连接，当tan=43时，直接写出的长 3（2023福建龙岩模拟预测）综合与实践：过四边形的顶点 A 作射线，P 为射线上一点，连接将绕点 A 顺时针方向旋转至，记旋转角=，连接【探究发现】如图 1，数学兴趣小组探究发现，如果四边形是正方形，且=90，无论点 P 在何处，总有=，请证明这个结论【类比迁移】如图 2，如果四边形是菱形，=60，=15，连接当 ，=6+2时，求的长【拓展应用】如图 3，如果四边形是矩形，=3，=4，平分，=90在射线上截取，使得=43当 是直角三角形时，请直接写出的长 题型二：中点四边形1（2023山西中考真题）阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务瓦里尼翁平行四边形我们知道，如图 1，在四边形中，点,分别是边,，的中点，顺次连接,，得到的四边形是平行四边形 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形瓦里尼翁，16541722 是法国数学家、力学家瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切 当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半此结论可借助图 1 证明如下：证明：如图 2，连接，分别交,于点,，过点作 于点，交于点,分别为,的中点，,=12（依据 1）=，=12四边形是瓦里尼翁平行四边形，即 ，即 ，四边形是平行四边形（依据 2）=12 =12 =，=12同理，任务：(1)填空：材料中的依据 1 是指：_依据 2 是指：_(2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形及它的瓦里尼翁平行四边形，使得四边形为矩形；（要求同时画出四边形的对角线）(3)在图 1 中，分别连接,得到图 3，请猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线,长度的关系，并证明你的结论 【模型介绍】依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形.中点四边形的性质：已知点 E、F、G、H 分别为四边形 ABCD 四条边 AB、BC、CD、AD 的中点，则四边形 EFGH 是平行四边形 CEFGH=AC+BD sEFGH=12sABCD【补充】结论一：顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的四边形是矩形.结论二：顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的四边形是菱形.结论三：顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所组成的四边形是正方形.速记口诀：矩中菱，菱中矩，正中正.1（2022黑龙江哈尔滨模拟预测）在四边形中，对角线与交于点，、分别是、边中点，连接、，分别交两条对角线于点、点、点、点，且=(1)如图 1，求证：四边形是菱形；(2)如图 2，若垂直平分，在不添加任何字母及辅助线的情况下，请直接写出图中锐角，使正弦值等于与的比值2（2023黑龙江齐齐哈尔三模）折纸是一项有趣的活动，有的同学玩过折纸，可能折过小动物、飞机、小船等在折纸过程中，不仅可以得到一些美丽的图形，而且其中还蕴含着丰富的数学知识如图，菱形纸片中，=4,=60 (1)活动一：如图，折叠菱形纸片，使点落在点处，则折痕的长为_；菱形纸片的面积是_；(2)活动二：如图，,分别是菱形纸片各边的中点，分别沿着,折叠并展开猜想四边形是什么特殊四边形，并证明你的猜想；(3)活动三：如图，先将菱形纸片沿折叠再展开，点,分别在边,上且 ，再分别沿着,折叠再展开，若四边形是正方形，则=_；(4)活动四：如图，折叠菱形纸片，使点落在边的中点处，则折痕的长为_题型三：十字架模型1（2022四川乐山中考真题）华师版八年级下册数学教材第 121 页习题 19.3 第 2 小题及参考答案2如图，在正方形 ABCD 中，求证：=证明：设 CE 与 DF 交于点 O，四边形 ABCD 是正方形，=90，=+=90 ，=90+=90=某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究(1)【问题探究】如图，在正方形 ABCD 中，点 E、F、G、H 分别在线段 AB、BC、CD、DA 上，且 试猜想的值，并证明你的猜想(2)【知识迁移】如图，在矩形 ABCD 中，=，=，点 E、F、G、H 分别在线段 AB、BC、CD、DA 上，且 则=_(3)【拓展应用】如图，在四边形 ABCD 中，=90，=60，=，点 E、F 分别在线段AB、AD 上，且 求的值【模型介绍】如图，在正方形 ABCD 中，若 EFMN，则 EF=MN 【易错点】正方形内十字架模型，垂直一定相等，相等不一定垂直.【解题技巧】无论怎么变，只要垂直，十字架就相等.1（2023贵州黔东南一模）如图，四边形是正方形(1)问题解决：如图，若，分别是，上的点，且 求证：；(2)类比探究：如图，若点，分别在，上，且 ，求证：=F(3)迁移应用：如图，在 中，=90，=，点是的中点，点是上一点，且 ，求：的值2（2024山东菏泽一模）琅琊中学九年级一班同学利用工具，对几种四边形进行探究【初步认识】同学们所用的工具由两条互相垂直的直线构成，垂足为 O如图 1，同学们将该工具放入正方变形2变形1基础PNBCPFBCPNBCADADDAEFMEEM 形中，该工具与正方形四条边的交点分别为 E、F、G、H（1）若点 O 在边长为 1 的正方形的中心，直接写出+的最大值和最小值（2）试猜想的值，并证明你的猜想【知识迁移】如图 2，同学们又将该工具放入矩形中，该工具与矩形四条边的交点分别为 E、F、G、H若=，=，则=（直接写出答案）【拓展运用】如图 3，同学们将工具放入四边形中，使其经过 C、B 两点，并与边交于点，与边交于点已知=90，=60，=求的值3（2024广东阳江一模）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：【观察猜想】（1）如图1，在正方形中，点，分别是，上的两点，连接，则的值为_（2）如图2，在矩形中，=7，=4，点是上的一点，连接，且 ，则的值为_；【类比探究】（3）如图3，在四边形中，=90，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证：=【拓展延伸】（4）如图4，在Rt 中，=90，=9，tan=13，将 沿翻折，点落在点处得 ，点，分别在边，上，连接，求的值题型四：正方形半角模型 1（2023内蒙古赤峰中考真题）数学兴趣小组探究了以下几何图形如图，把一个含有45角的三角尺放在正方形中，使45角的顶点始终与正方形的顶点重合，绕点旋转三角尺时，45角的两边，始终与正方形的边，所在直线分别相交于点，连接，可得 【探究一】如图，把 绕点 C 逆时针旋转90得到 ，同时得到点在直线上求证：=；【探究二】在图中，连接，分别交，于点，求证：；【探究三】把三角尺旋转到如图所示位置，直线与三角尺45角两边，分别交于点，连接交于点，求的值2（2022贵州黔西中考真题）如图 1，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 BC，CD 边上的点（点 E 不与点B，C 重合），且=45(1)当=时，求证：=；(2)猜想 BE，EF，DF 三条线段之间存在的数量关系，并证明你的结论；(3)如图 2，连接 AC，G 是 CB 延长线上一点，垂足为 K，交 AC 于点 H 且=若=，=，请用含 a，b 的代数式表示 EF 的长 【模型介绍】正方形半角模型分为“正方形内含型半角模型”和“正方形外延型半角模型”，其中前者较为常见.正方形内含型半角模型结论：已知正方形 ABCD 中，E，F 分别是 BC、CD 上的点，EAF=45，AE、AF 分别与 BD 相交于点 O、P，则：EF=BE+DF AE 平分BEF，AF 平分DFE CCEF=2 倍正方形边长SABE+SADF=SAEF AB=AG=AD（过点 A 作 AGEF，垂足为点 G）OP2=OB2+OD2 若点 E 为 BC 中点，则点 F 为 CD 三等分点APOAEFDPFBEODAOBPA ABEP 四点共圆、AOFD 四点共圆、OECFP 五点共圆APE、AOF 为等腰直角三角形 (11)EF=2OP (12)SAEF=2SAPO (13)AB2=BPOD(14)CECF=2BEDF (15)EPC 为等腰三角形(16)PX=BX+DP(过点 E 作 EXBD，垂足为点 X)1（2023吉林白城模拟预测）下面是小明同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整【作业】如图，已知正方形中，分别是、边上的点，且=45 求证：=+证明：如图，将 绕点逆时针旋转90，得到 ，则=,=,=四边形是正方形，=90，=+=+=90 =45,=45又 =90，点，在一条直线上 =,，=+=+【探究】（1）在图中，若正方形的边长为3，=1，其他条件不变，求的长解：正方形的边长为3，=1,=2,=1设=，则=,=1,=3 (1)=4 在 中，由22+(4 )2=2，解得=，即=（2）如图，在四边形中，=90,=6,=4，是边上的点，且=45，则=（3）如图，在 中，=45，为边上的高若=2,=3，则的长为2（2024湖北随州一模）【操作与发现】如图，在正方形中，点 N，将 绕点 A 顺时针旋转90，点 D 与点 B 重合，从而可得：+=(1)【实践探究】在图条件下，若=6，=8，则正方形的边长是_(2)如图，在正方形中，点 M、N 分别在边、上，=45，若tan=13，求证：M 是的中点(3)【拓展】如图，在矩形，=12，=16，点M、N分别在边、上，连接、，=4，则的长是 _题型五：四边形对角互补模型1（2023湖北襄阳中考真题）【问题背景】人教版八年级下册数学教材第 63 页“实验与探究”问题 1 如下：如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形111的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形111绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的14.想一想，这是为什么？（此问题不需要作答）九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形的对角线相交于点，点落在线段上，=（为常数）【特例证明】（1）如图 1，将Rt 的直角顶点与点重合，两直角边分别与边，相交于点，.填空：=_；求证：=（提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明 ；也可过点分别作，的垂线构造全等三角形证明请选择其中一种方法解答问题）【类比探究】（2）如图 2，将图 1 中的 沿方向平移，判断与的数量关系（用含的式子表示），并说明理由【拓展运用】（3）如图 3，点在边上，=45，延长交边于点，若=，求的值2（2022湖北武汉中考真题）已知是 的角平分线，点 E，F 分别在边，上，=，=，与 的面积之和为 S(1)填空：当=90，时，如图 1，若=45，=5 2，则=_，=_；如图 2，若=60，=4 3，则=_，=_；(2)如图 3，当=90时，探究 S 与 m、n 的数量关系，并说明理由：(3)如图 4，当=60，=120，=6，=4时，请直接写出 S 的大小 类型一 90对角互补模型如图，在四边形 ABCD 中，若ABC=ADC=90，BD 平分ABC，则AD=CD AB+BC=2BD SABD+SBDC=12BD2类型一 120对角互补模型如图，已知AOB=2DCE=120，OC 平分AOB，则CD=CE OD+OE=OC SDCO+SCOE=34OC21（2024贵州黔南一模）小红在学习了三角形的相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，如图，在Rt 中，=，=90，点 D，E 分别在边，上（不同时在点 A），连接(1)问题解决：如图 1，当点 D，E 分别与点 B，C 重合时，将线段绕点 E 顺时针旋转 90，得到线段，连接，与的位置关系是_，数量关系是_(2)问题探究：如图 2，当点 D，E 不与点 B，C 重合时，将线段绕点 E 顺时针旋转 90，得到线段，连接,与的位置关系是怎样的？请说明理由FEDDCBBCAANMDBDBOAOACECE (3)拓展延伸：如图 3，当点 E 不与点 C 重合，且 D 为的中点时，将线段绕点 E 顺时针旋转90，得到线段，点 G 是点 C 关于直线的对称点，若点 G，D，F 在一条直线上，求的值2（2023吉林长春二模）【问题呈现】如图，点、分别在正方形的边、上，=45，试判断、之间的数量关系小聪同学延长至点，使=，连接，可证 ，进而得到 ，从而得出、之间的数量关系为_.(不需要证明)【类比引申】如图，四边形中，90，=，+=180，点、分别在边、上，请回答当与满足什么关系时，仍有【问题呈现】中、之间的数量关系，并给出证明【探究应用】如图，在四边形中，=60，=60，=120，=150，点、分别在线段、上，且 ，=30 3 30，直接写出线段的长题型六：正方形对称模型1（2023浙江绍兴中考真题）如图，在正方形中，是对角线上的一点（与点,不重合），,分别为垂足连接,，并延长交于点 (1)求证：=(2)判断与是否垂直，并说明理由口诀：正方形对角线，连接条件对称现.1.如图，在正方形 ABCD 中，E 是射线 CD 上一动点（E 不与 D 重合），连 AE 交射线 BD 于 F 点，过 F作 FGAE 交在射线 BC 于 G(1)当点 E 在线段 CD 上时，求证：AFFG(2)若 BC10，BG4，求 BF 的长；(3)连 EG，当 E 在射线 CD 上移动时，探究线段 BG、EG、DE 之间的数量关系，并说明理由题型七：与正方形有关的三垂直模型1（2022辽宁阜新中考真题）已知，四边形是正方形，绕点旋转（），=90，=，连接，(1)如图1，求证：；(2)直线与相交于点如图2，于点，于点，求证：四边形是正方形；如图3，连接，若=4，=2，直接写出在 旋转的过程中，线段长度的最小值2（2022江苏镇江中考真题）已知，点、分别在正方形的边、上(1)如图 1，当四边形是正方形时，求证：+=；(2)如图 2，已知=，=，当、的大小有_关系时，四边形是矩形；(3)如图 3，=，、相交于点，:=4:5，已知正方形的边长为 16，长为 20，当 的面积取最大值时，判断四边形是怎样的四边形？证明你的结论已知（一线三垂直）图示结论（性质）如图 ABBC，AB=BC，CEDE，ADDEABDBCE，DE=AD+EC如图 ABBC，AB=BC，CEDE，ADDEABDBCE，DE=AD-EC 已知AOC=ADB=CED=90，AB=DCADBDEC延长 DE 交 AC 于点 F，已知DBE=ABC=EFC=90，AC=DEABCDBE1.综合运用（1）如图，在正方形中，为边上一点，连结，过点作 交于点易证：（不需要证明）（2）如图，在矩形中，为边上一点，连结，过点作 交于点求证：若=10，=6，为的中点，求的长（3）如图，在 中，=90，=，=4，为边上一点（点不与点、重合），连结，过点作=45交于点，当 为等腰三用形时，的长为多少？2.【模型引入】我们在全等学习中所总结的“一线三等角、K 型全等”这一基本图形，可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题 【模型探究】如图，正方形 ABCD 中，E 是对角线 BD 上一点，连接 AE，过点 E 作 EFAE，交直线 CB 于点 F（1）如图 1，若点 F 在线段 BC 上，写出 EA 与 EF 的数量关系并加以证明；（2）如图 2，若点 F 在线段 CB 的延长线上，请直接写出线段 BC，BE 和 BF 的数量关系【模型应用】（3）如图 3，正方形 ABCD 中，AB4，E 为 CD 上一动点，连接 AE 交 BD 于 F，过 F 作 FHAE 于 F，过 H 作 HGBD 于 G则下列结论：AFFH；HAE45；BD2FG；CEH 的周长为 8正确的结论有 个 （4）如图 4，点 E 是正方形 ABCD 对角线 BD 上一点，连接 AE，过点 E 作 EFAE，交线段 BC 于点 F，交线段 AC 于点 M，连接 AF 交线段 BD 于点 H给出下列四个结论，AEEF；2DECF；SAEMSMCF；BEDE+2BF；正确的结论有 个【模型变式】（5）如图 5，在平面直角坐标系中，四边形 OBCD 是正方形，且 D（0，2），点 E 是线段 OB 延长线上一点，M 是线段 OB 上一动点（不包括点 O、B），作 MNDM，垂足为 M，交CBE 的平分线与点 N，求证：MDMN（6）如图 6，在上一问的条件下，连接 DN 交 BC 于点 F，连接 FM，则FMN 和NMB 之间有怎样的数量关系？请给出证明【拓展延伸】（7）已知MON90，点 A 是射线 ON 上的一个定点，点 B 是射线 OM 上的一个动点，且满足 OBOA点 C 在线段 OA 的延长线上，且 ACOB如图 7，在线段 BO 上截取 BE，使 BEOA，连接 CE若OBA+OCE，当点 B 在射线 OM 上运动时，的大小是否会发生变化？如果不变，请求出这个定值；如果变化，请说明理由（8）如图 8，正方形 ABCD 中，AD6，点 E 是对角线 AC 上一点，连接 DE，过点 E 作 EFED，交 AB于点 F，连接 DF，交 AC 于点 G，将EFG 沿 EF 翻折，得到EFM，连接 DM，交 EF 于点 N，若点 F 是AB 边的中点，则EDM 的面积是 题型八：四边形翻折模型1（2023江苏泰州中考真题）如图，矩形是一张4纸，其中=2，小天用该4纸玩折纸游戏游戏 1 折出对角线，将点 B 翻折到上的点 E 处，折痕交于点 G展开后得到图，发现点 F恰为的中点 游戏 2 在游戏 1 的基础上，将点 C 翻折到上，折痕为；展开后将点 B 沿过点 F 的直线翻折到上的点 H 处；再展开并连接后得到图，发现是一个特定的角(1)请你证明游戏 1 中发现的结论；(2)请你猜想游戏 2 中的度数，并说明理由2（2023四川达州中考真题）（1）如图，在矩形的边上取一点，将 沿翻折，使点落在上处，若=6,=10，求的值；（2）如图，在矩形的边上取一点，将四边形沿翻折，使点落在的延长线上处，若 =24,=6，求的值；（3）如图，在 中，=45,，垂足为点,=10,=6，过点作 交于点，连接，且满足=2，直接写出+53的值 1（2023贵州贵阳模拟预测）如图，在边长为的正方形中，点，分别为，边上的点，将模型解读图形已知结论沿着矩形的对角线所在直线进行翻折已知矩形 ABCD 中，以对角线BD为折痕，折叠ABD，点A的对应点为A1)ABDABD2)折痕BD垂直平分AA3)BDE为等腰直角三角形1)BCEBCE2)折痕BE垂直平分CC1)ABEABE2)折痕BE垂直平分AA1)四边形AFED四边形AFED2)折痕BE垂直平分AA1)EFCEFC2)折痕EF垂直平分CC1)四边形AEFD四边形AEFD2)折痕EF垂直平分AA1)四边形BFEC四边形BFEC2)折痕EF垂直平分CC3)GBF为直角三角形沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折已知矩形 ABCD 中，以BE为折痕，点A的对应点为A沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折已知矩形 ABCD 中，以点E,F为折痕，点A的对应点为A，点C的对应点为CECDABAECDABAECADBCC(A)ADBEDFGFACADBEDCCDABFEGBCCADBEF 正方形沿翻折，点的对应点为，点恰好落在边的点处(1)【问题解决】如图，连接，则与折痕的位置关系是_，与的数量关系是_；(2)【问题探究】如图，连接，在翻折过程中，平分，试探究 的面积是否为定值，若为定值，请求出 的面积；若不是定值，请说明理由；(3)【拓展延伸】若=3，求出+的最小值2（2023吉林松原模拟预测）【感知】如图，Rt 中，=90,=12，则的度数为_；【探究】如图，四边形是一张边长为 4 的正方形纸片，E，F 分别为，的中点，沿过点的折痕将纸片翻折，使点落在上的点处，折痕交于点，试求的度数和的长；【拓展】若矩形纸片按图所示的方式折叠，B，D 两点恰好重合于对角线的中点 O(如图)，则四边形为_；当=9时，则四边形的面积为_（用含 a 的代数式表示）题型九：与四边形有关的新定义问题1（2023江苏中考真题）综合与实践定义：将宽与长的比值为221 12（为正整数）的矩形称为阶奇妙矩形（1）概念理解：当=1时，这个矩形为 1 阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽（）与长()的比值是_（2）操作验证：用正方形纸片进行如下操作（如图（2）：第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为，连接；第二步：折叠纸片使落在上，点的对应点为点，展开，折痕为；第三步：过点折叠纸片，使得点、分别落在边、上，展开，折痕为试说明：矩形是 1 阶奇妙矩形 （3）方法迁移：用正方形纸片折叠出一个 2 阶奇妙矩形要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注（4）探究发现：小明操作发现任一个阶奇妙矩形都可以通过折纸得到他还发现：如图（4），点为正方形边上（不与端点重合）任意一点，连接，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形的周长与矩形的周长比值总是定值请写出这个定值，并说明理由2（2023浙江宁波中考真题）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角 (1)如图 1，在四边形中，,=90，对角线平分求证：四边形为邻等四边形(2)如图 2，在 65 的方格纸中，A，B，C 三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，请画出所有符合 条件的格点 D(3)如图 3，四边形是邻等四边形，=90，为邻等角，连接，过 B 作 交的延长线于点 E若=8,=10，求四边形的周长1（2023吉林松原模拟预测）【图形定义】有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”【问题探究】：（1）如图，已知矩形是“等邻边四边形”，则矩形_（填“一定”或“不一定”）是正方形；（2）如图，在菱形中，=120，=4，动点、分别在、上（不含端点），若=60，试判断四边形是否为“等邻边四边形”？如果是“等邻边四边形”，请证明；如果不是，请说明理由；并直接写出四边形的周长的最小值；【尝试应用】：（3）现有一个平行四边形材料，如图，在中，=17，=6，tan=4，点在上，且=4，在边上有一点，使四边形为“等邻边四边形”，请直接写出此时的长2（2023陕西西安模拟预测）如图，在矩形中，点 F 是矩形边上一动点，将线段绕点 F 顺时针旋转一定的角度，使得与矩形的边交于点 E（含端点），连接，把 定义为“转角三角形”(1)由“转角三角形”的定义可知，矩形的任意一个“转角 ”一定是一个_三角形；(2)如图，在矩形中，=2，=3，当点 F 与点 C 重合时，画出这个“转角 ，并求出点 E的坐标；(3)如图，在矩形中，=2，=3，当“转角 面积最大时，求点 F 的坐标 1（2023 柳州市二模）如图 1，正方形和正方形，M 是正方形的对称中心，交于E(1)猜想：与的数量关系为 _；(2)如图 2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，且=，直接写出：线段与线段的数量关系为 _；(3)如图 3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且:=1:2，探索线段与线段的数量关系，并说明理由；(4)如图 4，若将原题中的“正方形”改为平行四边形，且=，:=其它条件不变，直接写出：的值 _2（2023河南平顶山一模）（1）如图 1，在正方形中，点，分别在边，上连接，=45，将 绕点顺时针旋转90，点与点重合，得到 易证：，从而可得：线段，与的关系：_（请直接写出结论，不必说明理由）（2）如图 2，在正方形中，点，分别在边，上，连接，=45，若tan=13，求证：tan=12（3）如图 3，在矩形中，=12，=16，点，分别在边，上，连接，已知=45，=4，则的长是_ 3（2024浙江杭州模拟预测）正方形中，P 是对角线所在直线上一点若 P 在对角线上(如图1)，连接，过点 P 作 交于点 Q若=2 2，=6，则的长为 ；若 P 在的延长线上(如图 2)，连接，过点 P 作 交延长线于点 E，连接，若=8，的面积是 20，则的长为 4（2023广东云浮三模）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图 1，在Rt 中，=90，=，点 D、E 在边上，=45若=3，=1，求的长小明发现，将 绕点 A 按逆时针方向旋转90，得到 ，连接（如图 2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及=45，可证 ，得=解 ，可求得（即）的长(1)请回答：在图 2 中，=，=；(2)参考小明思考问题的方法，解决下列问题：已知：如图 3，正方形，分别平分正方形的两个外角，且满足=45，连接，若以、为三边围成三角形，则该三角形的形状是 如图 4，在四边形中，=，+=180，E、F 分别是边、上的点，且=12猜想线段、之间的数量关系并说明理由1（2021山东枣庄中考真题）如图 1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形（1）概念理解：如图 2，在四边形中，=，=，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图 1，垂美四边形的对角线，交于点猜想：2+2与2+2有什么关系？并证明你的猜想（3）解决问题：如图 3，分别以Rt 的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结，已知=4，=5，求的长2（2023湖南中考真题）问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形的边上任意取一点 G，以为边长向外作正方形，将正方形绕点 B 顺时针旋转 特例感知：（1）当在上时，连接，相交于点 P，小红发现点 P 恰为的中点，如图针对小红发现的结论，请给出证明；（2）小红继续连接，并延长与相交，发现交点恰好也是中点 P，如图，根据小红发现的结论，请判断 的形状，并说明理由；规律探究：（3）如图，将正方形绕点 B 顺时针旋转，连接，点 P 是中点，连接，的形状是否发生改变？请说明理由3（2022湖北襄阳中考真题）矩形 ABCD 中，2（k1），点 E 是边 BC 的中点，连接 AE，过点 E作 AE 的垂线 EF，与矩形的外角平分线 CF 交于点 F(1)【特例证明】如图（1），当 k2 时，求证：AEEF；小明不完整的证明过程如下，请你帮他补充完整证明：如图，在 BA 上截取 BHBE，连接EHk2，ABBCB90，BHBE，1245，AHE180-1135CF 平分DCG，DCG90，312DCG45ECF3+4135（只需在答题卡对应区域写出剩余证明过程）(2)【类比探究】如图（2），当 k2 时，求的值（用含 k 的式子表示）；(3)【拓展运用】如图（3），当 k3 时，P 为边 CD 上一点，连接 AP，PF，PAE45，=5，求 BC的长4（2023山东烟台中考真题）【问题背景】如图 1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形进行如下操作：分别以点,为圆心，以大于12的长度为半径作弧，两弧相交于点，作直线交于点，连接；将 沿翻折，点的对应点落在点处，作射线交于点 【问题提出】在矩形中，=5，=3，求线段的长【问题解决】经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：方案一：连接，如图 2经过推理、计算可求出线段的长；方案二：将 绕点旋转180至 处，如图 3经过推理、计算可求出线段的长请你任选其中一种方案求线段的长5（2023江苏中考真题）对于平面内的一个四边形，若存在点，使得该四边形的一条对角线绕点旋转一定角度后能与另一条对角线重合，则称该四边形为“可旋四边形”，点是该四边形的一个“旋点”例如，在矩形中，对角线、相交于点，则点是矩形的一个“旋点”(1)若菱形为“可旋四边形”，其面积是4，则菱形的边长是_；(2)如图 1，四边形为“可旋四边形”，边的中点是四边形的一个“旋点”求的度数；(3)如图 2，在四边形中，=，与不平行四边形是否为“可旋四边形”？请说明理由6（2023山东东营中考真题）（1）用数学的眼光观察如图，在四边形中，=，是对角线的中点，是的中点，是的中点，求证：=（2）用数学的思维思考如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：=（3）用数学的语言表达如图，在 中，点在上，=，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若=60，试判断 的形状，并进行证明
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